WE-HERAEUS-FERIENKURS Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastik im Forschungsverbund Berlin e.V., Mohrenstraße 39, 10117 Berlin Mitglied der Stationäre und instationäre Simulation Peter Philip WE-HERAEUS-FERIENKURS SiC und GaN – Materialien für Leistungs- und Optoelektonik Cottbus, 3.-14. September, 2001

Übersicht • Allgemeine Gundlagen der Simulation • Anwendungsbeispiel: Mitglied der • Anwendungsbeispiel: SiC Gasphasenzüchtung • Gegenüberstellung: Stationäre Simulation / zeitabhängige Simulation • Arbeitsschritte bei der Entwicklung einer Simulation an Hand der SiC Gasphasenzüchtung • Darstellungen von Simulationsergeb- nissen: Diagramme, Bilder, Filme - 1 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Allgemeine Grundlagen Simulation: Allgemeine Grundlagen Mitglied der • Physikalische Pozesse werden am Computer nachgestellt • Voraussetzungen: · physikalische Modellbildung · Bestimmung von Materialdaten durch Messung oder Berechnung · numerische Verfahren zur Lösung der physikalischen Gleichungen · Software zur Umsetzung am Rechner · Experimentelle Verifikation - 2 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Allgemeine Grundlagen Simulation: Allgemeine Grundlagen Mitglied der • Ziele der Simulation: · Theoretisches Verständnis des Prozessablaufs · Beobachtung und Untersuchung experimentell unzugänglicher Vorgänge · Ersetzen von physikalischen durch numerische Experimente (Kosten- und Zeitersparnis ! ) · Optimierung der Bedingungen für den Prozessablauf - 3 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

SiC-Gasphasenzüchtung nach der Modifizierten Lely Methode Anwendungsbeispiel: SiC-Gasphasenzüchtung nach der Modifizierten Lely Methode Mitglied der Sackloch zur Kühlung und Messung • polykristallines SiC-Pulver verdampft in induktions- beheiztem Graphittiegel bei 2000 bis 3000 K und ca. 20 hPa Graphit- tiegel SiC Ein- kristall- keim Gasgemisch • eine Gasmischung aus Ar (Inertgas), Si, SiC2 und Si 2C entsteht SiC-Pulver • Wachstum eines SiC-Einkristalls auf einem gekühlten Keim Induktions- spule - 4 - Schema des Reaktors Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Produktionsziele • Bei der Züchtung Vermeidung von Kristalldefekten wie z. B. Mitglied der · Wachstum falscher Polytypen · Micropipes (röhrenartige Hohlräume im μm-Bereich) · Leerstellen · Versetzungen · Verunreinigungen (z. B. S, B und metallische Elemente) - 5 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

6H-SiC Kristall gezüchtet am IKZ, 1 inch Durchmesser Produktionsziele Mitglied der 6H-SiC Kristall gezüchtet am IKZ, 1 inch Durchmesser • Vergrößerung des Durchmessers (zur Zeit 2.5 – 10 cm laut CREE) • Erhöhung der Wachstumsrate von zur Zeit 0.2 – 4 - 6 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Prozesssteuerung Interne Steuergrößen • Temperaturverteilung Mitglied der • Temperaturverteilung · Temperatur am Keim · Temperaturdifferenz zwischen Keim und Quelle • Massentransport • Druckverteilung in der Gasmischung • Konzentrationsverteilung der Gaskomponenten - 7 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

(zur Beeinflussung der internen Steuergrößen ) Prozesssteuerung Externe Steuergrößen (zur Beeinflussung der internen Steuergrößen ) Mitglied der • Geometrie der Züchtungsapparatur • Leistung der Induktionsheizung • Position der Heizungsspule • Druck des Inertgases - 8 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

die Simulation erfordern Schwierigkeiten, die Simulation erfordern Mitglied der • Durch die hohen Temperaturen sind experimentelle Beobachtungen der Züchtungskammer extrem aufwendig • Die Zusammenhänge zwischen den externen und den internen Steuer- größen sind äußerst kompliziert • Ein Verständnis der zeitlichen Entwick- lung des Temperatur- und Druckfeldes sowie der Stöchiometrie ist wichtig => stationäre und zeitabhängige Simulationen - 9 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Stationäre Simulation / zeitabhängige Simulation Gegenüberstellung: Stationäre Simulation / zeitabhängige Simulation Mitglied der • Stationäre (oder zeitunabhängige) Simulation • Quasistationäre Simulation • Zeitabhängige (oder transiente) Simulation - 10 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Stationäre Simulation Mitglied der • Gesucht wird ein zeitunabhängiger Gleichgewichtszustand des Systems • Physikalische Gleichungen (oft in Form partieller Differentialgleichungen mit Kopplungs- und Randbedingungen, ohne Zeitableitung) beschreiben die räumliche Verteilung der system- bestimmenden Größen - 11 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Stationäre Simulation Vor- und Nachteile • Vorteil: · die Berechnung der stationären Lösung erfordert in der Regel eine um Größen- ordnungen geringere Computerzeit als die des entsprechenden zeitabhängigen Problems Mitglied der • Nachteile: · oft ist das stationäre Problem numerisch schwieriger · nicht in jedem Fall existiert ein Gleichgewicht -> Poblem nicht lösbar · es können mehrere Gleichgewichtszustände existieren -> mehrdeutige Lösung des Problems · zeitliche Entwicklung zum Gleichgewicht bleibt unbekannt · zeitabhängige Randbedingungen und/oder Steuerung ist nicht behandelbar - 12 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Stationäre Simulation Beispiel: Stationäre Wärmeleitung Mitglied der - 13 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Transiente Simulation • Die zeitliche Entwicklung des Systems aus einem Anfangszustand wird simuliert Mitglied der • Physikalische Gleichungen (oft in Form partieller Differentialgleichungen mit Kopplungs- und Randbedingungen, mit Zeitableitung) beschreiben die zeitlich-räumliche Abhängigkeit der systembestimmenden Größen • In Abhängigkeit des physikalischen Systems ergibt sich eine Konvergenz gegen ein Gleichgewicht oder auch nicht - 14 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Transiente Simulation Vor- und Nachteile Mitglied der • Vorteile: · oft ist das zeitabhängige Problem bei gegebenem Anfangszustand eindeutig lösbar, auch wenn das System mehrere oder keinen Gleich- gewichtszustand besitzt · die zeitliche Entwicklung kann verfolgt werden · zeitliche Steuerung simulierbar • Nachteile: · lange Rechenzeiten des Computers · es werden zusätzliche Informationen zur Bestimmung und Berechnung der zeitab- hängigen Terme benötigt (z. B. Materialdaten) - 15 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Transiente Simulation Beispiel: Transiente Wärmeleitung Mitglied der - 16 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Quasistationäre Simulation • Die zeitliche Entwicklung des Systems wird durch eine Folge stationärer Simulationen approximiert Mitglied der • Berücksichtigung der Zeitabhängigkeit durch Variation der · Rechengebiete (z. B. beim Kristallwachstum) · stationären Gleichungen (z. B. durch Anpassung der Materialfunktionen) · Randbedingungen • Voraussetzung: Die zeitliche Entwick- lung des Systems lässt sich durch eine Folge von Gleichgewichtszuständen darstellen - 17 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Quasistationäre Simulation Vor- und Nachteile Mitglied der • Vorteile: · kurze Rechenzeiten · die zeitliche Entwicklung kann näherungsweise verfolgt werden · zeitliche Steuerung näherungsweise simulierbar • Nachteile: · nur bedingte Anwendbarkeit (Existenz von Gleichgewichtszuständen notwendig) · numerische Schwierigkeiten wie bei stationärer Simulation (Mehrdeutigkeit, Lösbarkeit) · zeitliche Entwicklung zum Gleichgewicht bleibt unbekannt, Steuerung nicht simulierbar - 18 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Quasistationäre Wärmeleitung Qusistationäre Simulation Beispiel: Quasistationäre Wärmeleitung Mitglied der - 19 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulation des Temperaturfeldes bei der SiC-Gasphasenzüchtung Mitglied der • Physikalische Modellbildung: · Wärmeleitung · Wärmetransport durch Strahlung in Hohlräumen · Induktionsheizung - 20 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulation des Temperaturfeldes Modellbildung: Wärmeleitung Mitglied der Im Gas: Dichte der Gasmischung, innere Engergie, Wärmeleitfähigkeit der Mischung SiC-Pulver SiC Ein- kristall- keim Gasgemisch Graphit- tiegel Molekulargewicht Konfigurationszahl allgemeine Gaskonstante für einatomige Moleküle, für zweiatomige Moleküle, für mehratomige Moleküle. - 21 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulation des Temperaturfeldes Modellbildung: Wärmeleitung Mitglied der SiC Ein- kristall- keim Gasgemisch Graphit- tiegel In den Festkörpern (Graphit, Kristall, Pulver, ...): f: Wärmequellen durch Induktionsheizung in Leitern Übergang Gas/Festkörper: J: Einstrahlung R: Abstrahlung - 22 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulation des Temperaturfeldes Modellbildung: Wärmestrahlung in Hohlräumen (Festkörper undurchsichtig) Mitglied der Graphit- tiegel Übergang Gas/Festkörper: SiC Ein- kristall- keim E: emittierte Strahlung Hohlraum : Emissivität R: Abstrahlung J: Einstrahlung - 23 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulation des Temperaturfeldes Modellbildung: Semitransparenz im Bandmodell Mitglied der Graphit- tiegel · Zerlegung des Spektrums in ein transmitives Band und ein reflektives Band semitransparenter SiC Einkristall · Strahlung aus wechsel- wirkt nicht mit dem Kristal Hohlraum · Strahlung aus wird an der Kristalloberfläche emitiert, absorbiert und reflektiert SiC-Pulver · Die Beiträge der beiden Bänder werden ähnlich wie zuvor (im undurchsichtigen Fall) bestimmt und aufaddiert - 24 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulation des Temperaturfeldes Modellbildung: Abstrahlung Mitglied der SiC-Pulver SiC Ein- kristall- keim Gasgemisch Graphit- tiegel Abstrahlungsbedingung des Tiegels gegenüber eines großen isothermen Raumes als äußere Rand- bedingung nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz: - 25 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulation des Temperaturfeldes Modellbildung: Induktionsheizung Mitglied der Voraussetzungen: Sinusförmiger Wechselstrom, Zylindersymmetrie · induzierte Wärmequellen: Graphit- tiegel SiC Ein- kristall- keim Gasgemisch SiC-Pulver - 26 - Induktions- spule Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulation des Temperaturfeldes Transiente Simulation der Aufheizphase Mitglied der • Gründe für die Simulation der Aufheizphase : · Kristalldefekte wie das Wachstum falscher Polytypen oder die Bildung von Micropipes können bereits während der Aufheizphase erfolgen · thermische Spannungen im Kristall während der Aufheizphase können Defekte verursachen · Simulation der zeitabhängigen Steuerung von Heizleistung, Spulenposition und Argondruck - 27 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulation des Temperaturfeldes Bestimmung von Materialdaten: Allgemein Mitglied der · Messung benötigter Daten (z. B. Wärmeleit- fähigkeit von Argon in Abhängigkeit der Temperatur) · Theoretische Herleitung funktionaler Zusam- menhänge · Anfitten von Funktionen an die gemessenen Daten (Fälle: a) theoretische Funktion stimmt mit Messdaten überein, b) Parameter der theoretischen Funktion lassen sich aus den Messdaten bestimmen, c) kein theoretischer Zusammenhang bekannt -> Fit stückweise linear, durch Splines, ...) · Extrapolation in der Messung unzugängliche Bereiche - 28 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulation des Temperaturfeldes Bestimmung von Materialdaten: Schwierigkeiten Mitglied der · Experimentelle Bestimmung der Daten nicht möglich oder zu aufwendig · Theoretische funktionale Zusammenhänge sind nicht verfügbar, enthalten unbekannte Parameter oder sind zu kompliziert, um sie numerisch auszuwerten · Instabilität der Daten zwischen verschiedenen Experimenten (z. B. verändern sich die Wär- meleitfähigkeiten des Pulvers und der Wände bei Alterung der SiC-Züchtungsapparatur) - 29 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulation des Temperaturfeldes Bestimmung von Materialdaten: Beispiel: Wärmeleitfähigkeit von Ar Mitglied der Gemessene Daten (Vargafik, 75): Stoßtheorie: Fit: Zwischen 500 K und 600 K differenzierbare Interpolation durch Polynom 5. Ordnung - 30 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulation des Temperaturfeldes der Wärmeleitgleichung Numerische Verfahren Mitglied der Beispiel: Finite Volumendiskretisierung der Wärmeleitgleichung Zerlegung des Gebietes : Integration über : 1 1 2 3 5 Gaußscher Integralsatz: 4 5 6 - 31 - 9 7 8 Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulation des Temperaturfeldes der Wärmeleitgleichung Numerische Verfahren Mitglied der Beispiel: Finite Volumendiskretisierung der Wärmeleitgleichung Gebiet Nullflussrandbedingung: Gegebenenfalls Randterme bei anderen Randbedingungen. - 32 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulation des Temperaturfeldes der Wärmeleitgleichung Numerische Verfahren Mitglied der Beispiel: Finite Volumendiskretisierung der Wärmeleitgleichung Differentialquotient und Quadraturformeln: Gebiet - 33 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulation des Temperaturfeldes der Wärmeleitgleichung Numerische Verfahren Mitglied der Beispiel: Finite Volumendiskretisierung der Wärmeleitgleichung Lösung des i. A. nichtlinearen Gleichungssystems für die : (je eine Gleichung für jedes ) Interpolation der diskreten Lösung (z. B. linear auf jedem Dreieck). - 34 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulation des Temperaturfeldes Numerische Verfahren Mitglied der Beispiel: Zeitliche Diskretisierung der transienten Wärmeleitgleichung Folge von Zeitpunkten: Die Zeitableitung wird durch einen Differenzenquotienten ersetzt: implizit: oder explizit: Räumliche Diskretisierung z. B. durch finite Volumen wie zuvor. - 35 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulation des Temperaturfeldes Transiente Simulation der Aufheizphase: Vorgehensweise Mitglied der · Implizite zeitliche Diskretisierung, Emissivitäten explizit · Räumliche Diskretisierung mit finiter Volumen Methode · Quasistationäre Simulation der Induktions- heizung in jedem Zeitschritt, um Änderungen der Spulenpositionen oder temperatur- abhängige Materialdaten berücksichtigen zu können - 36 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Implementation, Erstellung von Computercode Mitglied der • Effizienz · Speichereffizienz · Geschwindigkeitseffizienz · Programmiereffizienz Sich widersprechende Anforderungen (z. B. Neuberechnung versus Abspeicherung, oft großer Programmieraufwand für kleine Speicherreduktionen oder Geschwindigkeits- steigerungen). · Laufzeitanalyse zur Feststellung von Bottlenecks - 37 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Implementation, Erstellung von Computercode Mitglied der • Modularität · Strukturierung des Codes in Moduln, d. h. Gruppen von Funktionen und Variablen, die gemeinsam einer bestimmten Funktionalität dienen (z. B. Lösung linearer Gleichungs- systeme, graphische Ausgabe etc.). · Dabei sollten für Funktionen Schnittstellen definiert und dokumentiert werden, möglichst in stabiler Form, so dass sie bei Fortentwick- lung des Programmes unverändert bleiben • Lesbarkeit · Im Idealfall sollte der Code, so geschriben bzw. dokumentiert sein, dass er nachvollziehbar und verständlich ist - 38 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulation des Temperaturfeldes Benötigte Funktionalitäten des Codes Mitglied der • Gitterverwaltung · Gittergenerierung · Qualitätskontrolle (stumpfe Winkel etc.) · Informationsverwaltung auf Knoten, Kanten, Flächen (Funktionsauswertungen, Normalen- vektoren, Materialeigenschaften) • Löser · Lineare Gleichungssysteme · Nichtlineare Gleichungssysteme • Sichtfaktorenbestimmung - 39 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulation des Temperaturfeldes Benötigte Funktionalitäten des Codes Mitglied der • Eingabe · Materialfunktionen · Auswahl von Gleichungen, Termen in Gleichungen (z. B. mit / ohne Strahlung) · Ausgabesteuerung (s. u.) · Einstellungen zur Laufzeit • Ausgabe · Graphische oder numerische Ausgabe zur Laufzeit · Speicherung numerischer Daten zur Weiter- verarbeitung · Graphische Speicherung (ps, gif, ...) · Videoaufzeichnung - 40 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulationssoftware • Anforderungen Mitglied der • Anforderungen · Nachvollziehbarkeit der implementierten Theorie und Algorithmen, gute Dokumentation (Bereich der Verwendbarkeit, Fehleranalyse) · Einfache Bedienung durch gut dokumentierte Skripten oder GUI · Kontinuität der Funktionalitäten bei Fortent- wicklung des Programms · Robustheit gegenüber Benutzerfehlern - 41 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulation des Temperaturfeldes Auswertung und experimentelle Verifikation Mitglied der • Durchführung eines Züchtungsexperi- mentes als Benchmark, möglichst genaue Bestimmung der experimentellen Bedingungen: · Aufbau der Apparatur · Daten der verwendeten Materialien · Zeitabhängige Messung der Steuergrößen (Heizspannung oder Leistung, Argondruck) · Zeitabhängige Messung der Temperatur, z. B. am oberen und unteren Messloch - 42 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulation des Temperaturfeldes Auswertung und experimentelle Verifikation Mitglied der • Nachfahren des Benchmarkexperimentes in der Simulation · Materialdaten und Steuergrößen werden möglichst genau übernommen · Ausgabe der Berechneten Temperaturen an den Messlöchern · Vergleich der gemessenen und berechneten Daten, Fehleranalyse · Fehlerquellen der Simulation: Materialdaten falsch, Modelle fehlerhaft oder ungenau, Feh- ler und Ungenauigkeiten in der Numerik (z. B. schlechtes Gitter etc.), Programmfehler (Bugs) - 43 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulation des Temperaturfeldes Auswertung und experimentelle Verifikation Mitglied der • Benutzung der verifizierten Software zur Optimierung des Experimentes · Ermittlung der Zeit, die zum Durchheizen des Quellpulvers benötigt wird · Geometrieoptimierung für ein die Züchtung begünstigendes Temperaturfeld - 44 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulationsergebnisse (Simulation derAufheizphase) Mitglied der Annahmen · Zylindersymmetrie von Geometrie und Feldern (insbesondere: Spulenringe) · Gas besteht nur aus Argon (stimmt zu Beginn, später Strahlungsdominanz) · Keine Konvektion (Gasströmung) · Effektive Spannung der Induktionsheizung: 230 V, Frequenz: 10000 Hz, gleichmäßige Aufteilung auf die Ringe · Diffus-graue Strahlung (Emissivität hängt nicht von Einfallswinkel und Frequenz ab), Kristall ist semitransparent, sonst sind Festkörper undurchsichtig · Großer Außenraum bei Zimmertemperatur - 45 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulationsergebnisse (Simulation derAufheizphase) Mitglied der Benutzte Software • WIAS-HiTNIHS (sprich: ~nice) · Entwickelt unter Benutzung von pdelib · Verwendet den Gittergenerator triangle und den Matrixlöser pardiso - 46 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulationsergebnisse • Evolution der Temperatur am oberen und am unteren Messloch, am Keim sowie an der Oberfläche und in der Mitte des Pulvers • Evolution der Temperaturdifferenz zwischen Pulveroberfläche und Keim Mitglied der Windun- Graphittiegel Kühlung und gen der Induk- spule tions- Messung Sackloch zur Pulver Keim Iso- Gas tion la- 20 -20 2000 -60 1000 -100 -140 - 47 - 2000 4000 6000 2000 4000 6000 Konfiguration: Pons et al.: Mater. Sci. Eng. B 61-62 (1999) p. 21 Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulationsergebnisse · Die Temperatur in der Pulvermitte läuft anfangs deutlich nach Mitglied der · Vorzeichenwechsel der Temperaturdifferenz zwischen Quelle und Keim – Temperatur des Pulvers am Ende höher wie für die Züchtung benötigt · Temperaturdifferenz zwischen unterem und oberem Loch hat am Ende das selbe Vorzeichen wie die Temperaturdifferenz Quelle – Keim Windun- Graphittiegel Kühlung und gen der Induk- spule tions- Messung Sackloch zur Pulver Keim Iso- Gas tion la- 2000 4000 6000 1000 20 -20 -60 -100 -140 - 48 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation

Simulationsergebnisse Mitglied der Wärmequellen Temperaturverteilungen t=900 s Gesamtheizleistung: 5028 W in Apparatur 1681 W in der Spule t=30 000 s Gesamtheizleistung: 5285 W in Apparatur 1665 W in der Spule - 49 - Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation