Zelluläre Automaten Wo,Yaoliang IMT 9920836

Gliederung Einführung Bausteine eines Zellulären Automaten Eindimensionale Zelluläre Automaten Zusammenfassung

Einführung Zelluläre Automaten sind mathematische Systeme, die durch einfache Regeln beschrieben werden und hochkomplexes Verhalten zeigen. Die erste Simulation von Zellpopulationen: -- in den 50er Jahren John von Neumann "GAME OF LIFE": --1968 John Horton Conway -- der berühmteste zelluläre Automat. eindimensionale zelluläre Automaten: -- Systematisierung in den 80er Jahren durch Wolfram -- mit vollkommen deterministischen Regeln und Betrachtung der Raum- und Zeitdimension durch das Aneinanderreihen der räumlichen Zustände in ihrem zeitlichen Verlauf.

Die Grundcharakteristika eines zellulären Automaten nach Gerhard und Schuster (1995, S. 18f.): Seine Entwicklung findet in Raum und Zeit statt. Sein Raum ist eine diskrete Menge zahlreicher Zellen. Jede dieser Zellen hat nur eine endliche Anzahl möglicher Zustände. Die Zustände der Zellen verändern sich in diskreten Zeitschritten. Alle Zellen sind identisch und verhalten sich nach den gleichen Entwicklungsregeln. Die Entwicklung einer Zelle hängt nur von ihrem Zustand und dem ihrer lokal umgebenden Nachbarzellen ab.

Bausteine eines zellulären Automaten Zellraum 1. Diskrete Struktur 2. unterschiedliche Dimension (ein-, zwei- oder dreidimensional) 3. Unterschiedliche Geometrie der Zellen (z. B. rechteckig, hexagonal, dreieckig) 4. Die Größe (z. B ein zweidimensionaler zellulärer Automat mit 10*10 rechteckigen Zellen )

Bausteine eines zellulären Automaten Die Nachbarschaft abhängig von der Dimension und Geometrie des zellulären Automaten der Radius ob „Eck-Zellen“ als Nachbarn gezählt werden

Bausteine eines zellulären Automaten Randbedingungen Probleme diskreter Zellraum die andere lokale Umgebung an den Rändern ein großes Gewicht von einem kleinen Zellraum

Bausteine eines zellulären Automaten 2. Strategien Die periodische Randbedingung die Ränder des Zellraums sind miteinander zu verkleben Aus einem eindimensionalen Zellulären Automaten wird ein „Ring“, in dem die Zelle am rechten Rand zu der am linken benachbart ist. Die symmetrische Randbedingung entspricht einer Spiegelung der Randzellen

Bausteine eines zellulären Automaten Zustandsmenge nur wenige Zustände (oft nur 2 Zustände 0 und 1) die Definition muss genau festgelegt werden Anzahl der Zustände des Automaten beträgt kN (k Zellzustände, N Zellen) Zustandensentwicklung Abhängig nur von dem Selbstzustand und den Zuständen der Zellen der Nachbarschaft Die Anzahl der möglichen Spielregeln beträgt Kkn . Abhängig nur von der Anzahl der Zellzustände k und der Größe der Nachbarschaft n.

Eindimensionale zelluläre Automaten (Wolfram-Automaten) In der 80er Jahren untersuchte und systematisierte Wolfram die Eigenschaften von zellulären Automaten. Um Systematisierung zu erreichen, beschränkte er sich auf eindimensionale zelluläre Automaten mit vollkommen deterministischen Regeln und betrachtete die Raum- und Zeitdimension durch das Aneinanderreihen der räumlichen Zustände in ihrem zeitlichen Verlauf. Eine Zelle hat nur 2 Zustände (Wert 0 oder 1).

Eindimensionale zelluläre Automaten (Wolfram-Automaten) Wird eine Zelle an der Position i im Zellraum zum Zeitpunkt t mit Zi(t) beschrieben, dann ist eine mögliche Formel für eine Entwicklungsregel: Zi(t+1)=(Zi-1(t)+ Zi+1(t)) mod 2. Der Wert der Zelle Zi(t+1) ergibt sich aus der Summe der Werte ihrer beiden Nachbarzellen im vorherigen Zeitschritt modulo 2. Zi(t+1)= 0, wenn (Zi-1(t)+ Zi+1(t)) gerade 1, wenn (Zi-1(t)+ Zi+1(t)) ungerade Anzahl möglicher Spielregeln: Kkn

Eindimensionale zelluläre Automaten (Wolfram-Automaten) Das Verhalten der grünen Zelle wird durch die benachbarten blauen Zellen bestimmt. Das Pascalsche Dreieck NB: Anzahl der Nachbarn K: Anzahl der möglichen Zustände jeder Zelle Das Pascalsche Dreieck NR. 1 2 3 4 5 6 7 8 Nachbarschaft 000 001 010 011 100 101 110 111 Folgezustand

Eindimensionale zelluläre Automaten (Wolfram-Automaten) Z.B für k = 2 heißt dies, jede Zelle hat 2 Zustände (entweder 0 oder 1). 1 ist durch schwarzen Gitterplatz gekennzeichnet. 0 ist durch weißen Gitterplatz gekennzeichnet RuleHex:12 (Wolfram's Hexadezimal-Code) RuleBinary: 00010010 = (00010010)2 = (12)16 Mögliche Spielregeln: Kkn = 2^2^3=256. Das heißt, dass es außer dieser Spielregel noch 255 mögliche Spielregeln gibt.

Eindimensionale zelluläre Automaten (Wolfram-Automaten) Bermuda Triangle Rule NB=5 (R=2) K=2 Bermuda Triangle Rule RuleBinary = 00111000111001000100000100111101, RuleHex = BC82271C NR. 1 2 3 4 5 6 7 8 Nachbarschaft 00000 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 Folgezustand NR. 9 10 11 12 13 14 15 16 Nachbarschaft 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 Folgezustand 1

Eindimensionale zelluläre Automaten (Wolfram-Automaten) mögliche Spielregeln sind 225 = 4,294,967,296 NR. 17 18 19 20 21 22 23 24 Nachbarschaft 10000 10001 10010 10011 10100 10101 10110 10111 Folgezustand 1 NR. 25 26 27 28 29 30 31 32 Nachbarschaft 11000 11001 11010 11011 11100 11101 11110 11111 Folgezustand 1

Eindimensionale zelluläre Automaten (Wolfram-Automaten) 4 Klassen Nach einer großen Anzahl von Computersimulationen fanden Wolfram und seine Mitarbeiter heraus, dass man die eindimensionalen Automaten in 4 Klassen unterteilen kann.

Eindimensionale zelluläre Automaten (Wolfram-Automaten) 1. In der ersten Klasse befinden sich alle Automaten, die sich aus fast allen möglichen Anfangszuständen nach kurzer Zeit zu einem unveränderlichen Endzustand entwickeln werden.

Eindimensionale zelluläre Automaten (Wolfram-Automaten) 2. Klasse 2 enthält alle Automaten, welche periodische Muster ausbilden. Anders als in der ersten Klasse überleben nur einzelne mehr oder weniger breite Stränge von Zellen. Diese sehen am Schluss wie ein Strichcode aus. 

Eindimensionale zelluläre Automaten (Wolfram-Automaten) 3. Klasse 3: Automaten mit diesen Regeln zeigen ständige Veränderungen ohne eindeutigen Endzustand, Eigenschaften chaotischen Verhaltens.

Eindimensionale zelluläre Automaten (Wolfram-Automaten) Klasse 4: Automaten entwickeln komplizierte, räumlich voneinander getrennte Muster, die sich im Laufe der Zeit durch den Zellraum bewegen.

Eindimensionale zelluläre Automaten (Wolfram-Automaten) Unterschiede zwischen den vier Klassen durch Aussehen und Gestalt der letztlich entstehenden Musterbildungen und jeweils einen eigenen Grad der Vorhersagbarkeit Klasse 1 : das gesamte Verhalten ist ohne genaue Kenntnis eines Anfangszustands vorhersagbar Klasse 2 : im Anfangszustand sind nur kleine, begrenzte Bereiche relevant, um den Zustand einer bestimmten Zelle im Endzustand vorherzusagen Klasse 3 und Klasse 4 : die gesamte Musterbildung kann durch die Änderung eines einzelnen Zellenzustands beeinflusst werden.

Eindimensionale zelluläre Automaten (Wolfram-Automaten) "Magische Parameter" Ein wichtiger Parameter λ wurde von Christopher Langton gefunden, damit man einen Automaten nur nach seiner Produktionsregel in eine der Klassen einteilen kann. Dieser Parameter drückt die Wahrscheinlichkeit aus, mit welcher eine Zelle mit Zustand 1 ("lebend") in der nächsten Runde überlebt oder nicht. Klasse 1: λ=0, alles Leben wird sofort aussterben; mit λ=1 sind alle Zellen auf Dauer am Leben. Klasse 3: z.B. bei λ=0,5; das ergibt ein großes Wirrwarr von toten und lebendigen Zellen.

Eindimensionale zelluläre Automaten (Wolfram-Automaten) Klasse 2: Teil der Bereiche 0<λ<0,5 bzw. 0,5<λ<1. (Die Werte von toten und lebendigen Zellen können einfach vertauscht werden.) Das Gebiet der Automaten zweiter Klasse entspricht Werten von λ zwischen den Grenzen 0 und 0,3 Klasse 4: die magische Schwelle, wo die viertklassigen Automaten angesiedelt sind, findet sich etwa bei λ=0,273 Begrenzung der 4 Klassen durch λ.

Ausblick Man kann trotz der einfachen Regeln der Zellulären Automaten vieles mit ihnen simulieren. Zelluläre Automaten eignen sich besonders gut für Modelle, bei denen die räumliche Komponente wichtig ist. Viele Forscher nennen Zelluläre Automaten “Software der Natur“, und man geht davon aus, dass diese Modellierungsmethode insbesondere in den Geowissenschaften und in der Ökologie immer mehr angewendet wird.

Literatur Martin Gerhardt, Heike Schuster: Das digitale Universum. Zelluläre Automaten als Modelle der Natur. Vieweg, Braunschweig 1995. Stephen Wolfram: Celluar Automata and Complexity. Collected Papers. Addison-Wesley, Reading 1994.