Das Keplerproblem (Teil 2) Annette Eicker 11.11.2011 27.03.2017

Wiederholung: Keplerproblem Bewegungsgleichung 2. Keplersches Gesetz: In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. Bahndrehimpuls ist konstant Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht auf C => Konstante Bahnebene 27.03.2017

Wiederholung: Keplerproblem Bewegungsgleichung 2. Keplersches Gesetz: In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. Bahndrehimpuls ist konstant Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht auf C => Konstante Bahnebene Zusammenhang zwischen Abstand und Winkelgeschwindigkeit 27.03.2017

Wiederholung: Transformation in das Bahnsystem Position im Bahnsystem Wahre Anomalie 27.03.2017

Wiederholung: Bestimmung des Abstands Position Geschwindigkeit gleichsetzen umstellen Ellipsengleichung 27.03.2017

Wiederholung: Ellipse a große Halbachse b kleine Halbachse E exzentrische Anomalie p Halbparameter 27.03.2017

Was haben wir bis jetzt? Bahnform: Ellipse Große Halbachse: a Exzentrizität: e Geschwindigkeit Position Abstand Ort des Sat. auf der Ellipse Wahre Anomalie: Lage der Ellipse im Raum: Inklination (Bahnneigung): Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens: Argument des Perigäums: Transformation in das Inertialsystem 27.03.2017

Keplerelemente Zeit: Form: Lage: Perigäumsdurchgangszeit Perigäum Grosse Halbachse Exzentrizität Lage: Inklination Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens Argument des Perigäums Knotenlinie 27.03.2017

Was haben wir bis jetzt? Bahnform: Ellipse Große Halbachse: a Exzentrizität: e Geschwindigkeit Position Abstand Ort des Sat. auf der Ellipse Wahre Anomalie: Lage der Ellipse im Raum: Inklination (Bahnneigung): Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens: Argument des Perigäums: Transformation in das Inertialsystem 27.03.2017

Wir kennen den zeitlichen Verlauf der wahren Anomalie noch nicht! Was haben wir bis jetzt? Bahnform: Ellipse Große Halbachse: a Exzentrizität: e Wir kennen den zeitlichen Verlauf der wahren Anomalie noch nicht! Ort des Sat. auf der Ellipse Wahre Anomalie: Lage der Ellipse im Raum: Inklination (Bahnneigung): Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens: Argument des Perigäums: 27.03.2017

Position, Geschwindigkeit Zwischenfazit Keplerelemente Die Position des Satelliten kann durch 6 Parameter dargestellt werden 1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt Zeit Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. Keplerelemente Position, Geschwindigkeit 27.03.2017

Zeitlicher Verlauf des Satelliten in der Bahnkurve 27.03.2017

Herleitung der Keplergleichung Abstand (Ellipsenglg.) - Integration schwierig - Liefert nur die Umkehrung Integration Variablensubstitution -> Exzentrische Anomalie E (≠ lineare Exzentrizität E) 27.03.2017

Kreisbahn 27.03.2017

Ellipse 27.03.2017

Ellipse 27.03.2017

Ellipse 27.03.2017

Exzentrische Anomalie Ellipsengleichung Wahre Anomalie <=> Exzentrische Anomalie 27.03.2017

Herleitung der Keplergleichung Variablensubstitution benötigt Umstellen 27.03.2017

Herleitung der Keplergleichung Variablensubstitution + nach kurzer Umformung folgt... 27.03.2017

Herleitung der Keplergleichung Variablensubstitution Keplergleichung 27.03.2017

Umlaufzeit Keplergleichung Ein Umlauf: Umlaufszeit 27.03.2017

Die Umlaufszeit hängt nur von der großen Halbachse ab Umlaufzeit Keplergleichung Die Umlaufszeit hängt nur von der großen Halbachse ab Ein Umlauf: Umlaufszeit 27.03.2017

Umlaufzeit Keplergleichung Ein Umlauf: Umlaufszeiten zweier Planeten 3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. Umlaufszeit Mittlere Bewegung (mittlere Winkelgeschwindigkeit) Mittlere Anomalie Umrechnung 27.03.2017

Anomalien Mittlere Anomalie Exzentrische Anomalie Wahre Anomalie Die letzte der 6 gesuchten Integrationskonstanten: Entweder - mittlere Anomalie M zum Zeitpunkt t oder - Perigäumsdurchgangszeit: 27.03.2017

Position, Geschwindigkeit Zwischenfazit Keplerelemente Die Position des Satelliten kann durch 6 Parameter dargestellt werden 1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt Zeit Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. Keplerelemente Position, Geschwindigkeit 27.03.2017

Kommunikationssatellit Anwendung: Kommunikationssatellit 27.03.2017

ASTRASatEarth-1G-1H-2A-2C Fernsehsatellit ASTRASatEarth-1G-1H-2A-2C www.ses-astra.com 27.03.2017

Geostationärer Satellit http://www2.jpl.nasa.gov/basics/bsf5-1.html 27.03.2017

Keplerelemente Zeit: Form: Lage: Perigäumsdurchgangszeit Perigäum Grosse Halbachse Exzentrizität Lage: Inklination Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens Argument des Perigäums Knotenlinie 27.03.2017

Geostationärer Satellit Umlaufszeit Erde heute Erde nach 23h 56min Sternenlicht aus dem Unendlichen Konstante Erdrotation mit einem Sterntag: 27.03.2017

Geostationärer Satellit Umlaufszeit Grosse Halbachse Konstante Erdrotation mit einem Sterntag: Exzentrizität Kreisbahn Kein Perigäum Argument des Perigäums nicht definiert Perigäumsdurchgangszeit nicht definiert Kein Wechsel auf die Nord- und Südhalbkugel Inklination Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens nicht definiert 27.03.2017

Satellitenbahnen http://science.nasa.gov/Realtime/jtrack/3d/JTrack3D.html 27.03.2017

Erderkundungssatellit Anwendung: Erderkundungssatellit 27.03.2017

GRACE (Gravity Recovery and Climate Experiment ) Anforderungen an die Bahn: Niedrige Flughöhe Globale Überdeckung => Polbahn => i≈90° Gleichmäßige Überdeckung: => Verhältnis von Erddrehung und Umlaufzeit sollte nicht ganzzahlig sein => große Halbachse passend wählen JPL 27.03.2017

Bodenspuren 27.03.2017

Bodenspuren 1 Tag 15 Tage 30 Tage 27.03.2017

GOCE - Orbit 27.03.2017

Anwendung: Repeat Orbits 27.03.2017

Prinzip Altimetrie W. Bosch 27.03.2017

Repeat Orbit nach 9,916 Tagen TOPEX/Poseidon Repeat Orbit nach 9,916 Tagen (127 Umläufe) 27.03.2017

GRACE Juli 2003 Juli 2004 27.03.2017

Position, Geschwindigkeit Zwischenfazit Keplerelemente Die Position des Satelliten kann durch 6 Parameter dargestellt werden 1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt Zeit Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. Keplerelemente Position, Geschwindigkeit 27.03.2017