Die Chaos-Theorie Oder warum das Apfelmännchen sich selbst ähnlich ist und Computer einfach anfangen, falsch zu rechnen...

Der Weg ins Chaos Was ist Chaos? Ist Fortpflanzung so einfach? Der Flügelschlag des Schmetterlings Seltsame Attraktoren Das Apfelmännchen stellt sich vor Ist unser Sonnensystem stabil?

Was ist Chaos? „Es ist eine metaphysische Doktrin, dass gleiche Ursachen gleiche Wirkungen nach sich zögen. Niemand kann sie bestreiten. Ihr Nutzen aber ist gering in einer Welt wie dieser, in der gleiche Ursachen niemals wieder eintreten und nichts zum zweiten Mal geschieht.“ James Clerk Maxwell 1879 „(...) es kann vorkommen, dass kleine Abweichungen in den Anfangsbedingungen schließlich große Unterschiede in den Phänomenen erzeugen. Ein kleiner Fehler zu Anfang wird später einen großen Fehler zur Folge haben. Vorhersagen werden unmöglich, und wir haben ein zufälliges Ereignis.“ Poincaré 1899 „Theorie komplexer Systeme“: behandelt die Dynamik deterministischer Systeme und ihre Unvorhersehbarkeit (Chaos). 19. Jh doch erst mitte des 20. Besonders in d 80er Chaostheorie -> theorie komplexer Systeme , dynamische systeme Detreminierte systeme driften ins unvorhersagbare, man weiß anfangsbdg Viele verschiedene teilgebiete

Entwicklung einer Population Verhulst-Prozess kaninchen viel komplizierter, aber hier vereinfacht + =

Population Folie voll

 je mehr Kaninchen, desto geringer der Zuwachs Population Der Raum ist begrenzt  je mehr Kaninchen, desto geringer der Zuwachs

Rückkopplung der Funktion Population Rückkopplung der Funktion (Bevölkerungsbremse gegeben durch den begrenzten Raum r) Diskrete funktion Wiederholung dieser schritte bis n->oo, Iteration Fazit: rückkopplung als wichiges kriterium für chaotisches verhalten der systeme Pfeifen bei mikro+lautsprecher Die Gleichung ist jetzt nicht-linear.

 Chaos r<3 xn pendelt sich auf 1 Wert ein Population r<3 xn pendelt sich auf 1 Wert ein 3<r<3,449 xn pendelt zwischen 2 Werten 3,499<r<3,544 xn pendelt zwischen 4 Werten 3,544<r<3,56441 xn pendelt zwischen 8 Werten 3,56441<r<3,568757  16 Werten 3,568757<r<3,5696911  32 Werten usw... 3,57<r Die Werte für xn sind nicht mehr vorraussagbar periodenverdoppelung  Chaos

Population Exeltabelle, 3,8 rauslassen, Nichtlineare Gleichung -> verhalten seltsam, gleichungen schießen an kritischen Punkten in völlig andere bereiche

Population

Bifurkationspunkt: Wert ri der Periodenverdoppelung Population Bifurkationspunkt: Wert ri der Periodenverdoppelung Irr Zahl, ordnung im Chaos Feigenbaum-Zahl („Konstante des Chaos“): f=4,190610296620...

Population Attraktorwerte stabiliätsinsel

Intermittenz r=3,82 Population Beobachtet man bei zusammengeschalteten rechnern auch -> chaos in der Ordnung -> fehler

Bifurkationsdiagramm des Feigenbaumszenarios Population Bifurkationsdiagramm des Feigenbaumszenarios Intermittenz  Intermittenz: inseln der ordnung im Chaos Steiges ausfüllen bis 1 -> ordnung Ausschnitt betrachen Die Geburtenrate b ist gleichzusetzten mit dem Raum r.

Population Selbstähnlichkeit Ein attraktorwert,phasenraum -> attraktoren

Attraktoren Beschreibung des Verhaltens eines Systems Das Pendel im Phasenraum gedämpft: Ort Ort Impuls Impuls Phasenraum streben Systeme mit verschiedenen Anfangsbedingungen zu dem selben Verhalten. Pendel malen nulldimensionaler Attraktor Im zweidimensionalen Raum

eindimensionaler Attraktor im zweidimensionalen Raum Attraktoren Vakuum: Ort Ort Impuls Impuls eindimensionaler Attraktor im zweidimensionalen Raum

Torus  zweidimensionaler Kopplung zweier Pendel Attraktoren Torus Kopplung zweier Pendel  zweidimensionaler Attraktor im dreidimensionalen Raum Linie um Torus, irr u rat Beliebig viele dimensionen Pendel mit störung chaotisch Chaos seltsamer attraktor, in einem begrenzten Gebiet des Phasenraumes aufhalten,unendlich lang und nicht periodisch Turbulenz durchläuft auch diese schritte, hochkompliziertes teilgebiet der chaosforschung seltsamer Attraktor des chaotischen Zustandes (nicht dreidimensional)

Empfindlichkeit der Systeme Iteration: Verdoppelung, ausschließlich Dezimalstellen 0,707070; 0,414141; 0,828282; 0,656565; 0,313131; 0,626262; 0,252525; 0505050; 0,010101; 0,707170; 0,414341; 0,828682; 0,657365; 0,314731; 0,629462; 0,258924; 0,517849; 0,035698; 0,020202; 0,040404; 0,080808 0,071396; 0,142792; 0,285584 „Kann der Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien einen Tornado in Texas hervorrufen?“ 1 Der Meteorologe und Mathematiker Edward N. Lorenz 1960 ließ comp nichtlineare gl lösen um erdathmosphäre zu modellieren, rundetete auf 3 nachkommast statt 6 -> völlig anderes wetter Eiskristalle bei best flügelformen lösen turbulenz aus,bei anderen nicht. Bdg auf system abgestimmt

Fraktale Wie lang ist die Küstenlinie Irlands? Abhängig von der Genauigkeit der Messung kann sie sogar unendlich lang sein. Kommen wir auf selbstähnlichkeit zurück, geometrische Art, das zu beschreiben Bäume, Berge, Galaxien, Polymere, Flüsse, Wettermuster, Gehirne, Blutkreisläufe, Wolken usw... Selbstähnlichkeit ist in der Natur sehr häufig zu finden.

Idee: Mandelbrot in den 70er und 80er Jahren Fraktale Idee: Mandelbrot in den 70er und 80er Jahren Fraktal von lat.: frangere = brechen Mandelbrot entwickelte aktienkurse, markt: große rezessionen wie tägliche preisschwankungen Sagte astronomische bilder der Galaxieverteilung vorraus. Erzeugung durch Iteration mit dem Merkmal der Selbstähnlichkeit  chaotisches System lässt sich mit fraktaler Geometrie beschreiben.

Das Apfelmännchen endlich: C ist teil der „Mandelbrotmenge“; schwarz Fraktale Das Apfelmännchen Iteration eines algebraischen Ausdruckes mit komplexer Zahlen: Ein Computer iteriert den Ausdruck bis zu 1000mal, prüft, ob die Zahl endlich bleibt und trägt C im Koordinaten- system auf. endlich: C ist teil der „Mandelbrotmenge“; schwarz im Koordinatensystem unendlich: Grau abgestuft, je nach Geschwindigkeit Berühmtestes fraktal Mandelbrot 1980 Vom computer erfassbare zahlengröße

Fraktale

Fraktale Grautöne zeigen an, wie viele rechenschritte der computer braucht -> unendlich Reihenfolge der grautöne umgekehrt 2: knospe, minimandelbrot richtung rechte ecke 3: minimandelbrot, verbindungsfaden zum großen apfelmännchen 2500-fach

50000-fach 833333-fach 833333-fach Fraktale 4: arschritze des minimandelbrots, faden sichtbar 5: “perle auf faden“ zum minimandelbrot, comp 7 h gearbeitet 6 u 7: mikromandelbrote, filament nicht zu sehen -> endlich, aber unendlich klein, können anfangsbdg nicht festlegen 833333-fach

Bifurkationsdiagramm Fraktale Bifurkationsdiagramm 8: kante des mandelbrots 9: mandelbrot in welle 10: mamamandelbrot -> abstand erde - mond 11:zahlen iteriert, periodenverdoppelung -> periodenverdoppelung 2 702 702 702-fach

Ist das Sonnensystem stabil? Poincaré: Erste Fragestellung zur Chaosforschung Ende 19. Jh. Zwei Objekte sind stabil, auch bei gravitativer Störung eines weiteren Planeten, sofern Umlaufzeiten nicht ein einfaches Verhältnis bilden (1/3, 2/3....) Einfaches Verhältnis: Störung wird immens verstärkt, der Planet verlässt seine Bahn Diese Frage Poincaré Ende 19. Jh Zwei Planeten stabil, mit gravitativen Einfluss eines 3. Auch Umlaufzeiten ein einfaches verhältnis -> umlauf um torus periodisch, verstärkung der störung des 3. Immens Verlässt die umlaufbahn Asteroidengürtel Veränderung durch gezeiteneffekte Veränderung durch

Quellen Die Entdeckung des Chaos; John Briggs, F. David Peat Metzler Physik Deterministisches Chaos; Jahresarbeit von Jörg Stadlinger www.wikipedia.de http://www.ginko.de/user/kremer/karsten/ap-gal/fract011.htm