Plenum Johannes-Kepler- Gymnasium Hinweis für den Lehrer: Eingangsfolie. Die Schüler nehmen Platz

Wir beginnen mit etwas wirklich Spannendem Monotonie

Was bedeutet noch mal monoton steigend/fallend, was war doch gleich strenge Monotonie ? streng monoton fallend streng monoton steigend monoton steigend Was bedeutet das für die Ableitung der Funktion?

Wir fassen die Ergebnisse zusammen:

Hoch- und Tiefpunkte Hinweis für den Lehrer: Eingangsfolie. Die Schüler nehmen Platz

Hochpunkte und Tiefpunkte finden

und Vorzeichenwechsel (VZW ) von f´(x) von - nach + VZW von – nach + f´(4)=0 und Vorzeichenwechsel (VZW ) von f´(x) von - nach +  Tiefpunkt (TP) bei x=4

und Vorzeichenwechsel (VZW ) von f´(x) von + nach – VZW von + nach - f´(2)=0 und Vorzeichenwechsel (VZW ) von f´(x) von + nach –  Hochpunkt (HP) bei x=2

und Vorzeichenwechsel (VZW ) von f´(x) von + nach – VZW von + nach - f(x)=x³-9x²+24x f´(x)=3x²-18x+24 f‘(2)=0 + f‘(1)=9 f‘( )= 2,5 -2,25 - f´(2)=0 und Vorzeichenwechsel (VZW ) von f´(x) von + nach –  Hochpunkt (HP) bei x=2

Beispiel - + f(x)=0,05(x4+x3-18x2-16x+32) f‘(x)=0,05(4x3+3x2-36x-16) VZW von + nach – also hat f‘ an der Stelle x0=-0,438 einen Hochpunkt.

Liegt in allen Fällen ein Minimum oder Maximum vor, falls f´(x0)=0 ? Es gilt zwar f´(1)=0 , aber f´(x) hat an der Stelle x0= 1 keinen VZW  An der Stelle x0 liegt ein Sattelpunkt vor!

Zusammenfassung So sucht man Extrema: Suche alle Stellen mit f´(x)=0. Untersuche f´(x) an diesen Stellen auf VZW. f´(x0)=0 und VZW von f´(x) von + nach -  HP bei x0 f´(x0)=0 und VZW von f´(x) von - nach +  TP bei x0 f´(x0)=0 und kein VZW  SP bei x0

Beispielaufgabe Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 3x4 - 8x3 + 6x2, x  R Suche alle Stellen mit f´(x)=0: f´(x)= 12x3 - 24x2 + 12x f´(x)=0 0= 12x3 - 24x2 + 12x │ :12  0= x3 - 2x2 + x 0= x(x2 -2x + 1) 0=x(x-1)2 Damit ist x=0 eine einfache und x=1 eine doppelte Nullstelle von f´(x).

- + + + Beispielaufgabe 2. Untersuche f´(x) an diesen Stellen auf VZW: von – zu +  TP + Hinweis für den Lehrer: Eingangsfolie. Die Schüler nehmen Platz + kein VZW  SP +

Die drei Fragen: Wie findet man Punkte, die als Hoch- bzw. Tiefpunkte in Frage kommen? Warum ist die Bedingung f `(x) = 0 zwar notwendig, aber nicht aus reichend, um die Frage nach den Extrema zu klären? Was sollte man auch untersuchen, damit man in der Beurteilung der Extrema sicher ist?

Hausaufgabe LS11 Seite 139: A 2 e,f + VZW prüfen Seite 142: A 2 a,b + VZW prüfen

Stunde 1 BASICs LS11 Seite 142: A2 c-f Hausaufgabe zur nächsten Plenumsstunde: LS11 Seite 139: A3 d-f TOPs LS11 Seite 139: A 4 Seite 139: A 5a Literatur: LS11 Seite 136-140