Vorlesung im Rahmen des Diplomstudiengangs Energie- und Anlagentechnik Numerische Methoden Vorlesung im Rahmen des Diplomstudiengangs Energie- und Anlagentechnik Version 2, SS 2001 F. Schmidt Teil 1: Modellierung technischer Probleme Teil 2: Rechner als endliche Maschine Teil 3: Grundoperationen auf diskretisierte Funktionen Teil 4: Differentialgleichungen Ergänzung: Übungen zu numerischen Methoden

Vorbemerkung Numerische Methoden Die Vorlesung versteht sich als Experimentalvorlesung. Sie besteht daher aus drei wesentlichen Einheiten: In diesem Skript sind Grundideen und Eigenschaften numerischer Verfahren zur Lösung von Basisproblemen des Maschinenbaus zusammengestellt. Sie werden in den Vorlesungen erläutert und durch Computerexperimente veranschaulicht. Diese Computerexperimente bilden die zweite wichtige Einheit. Elemente aus ihr werden zum einen in der Vorlesung verwendet und stehen zum anderen auf dem CIP-Pool für ergänzende Unter-suchungen zur Verfügung. Sie sind dort zusätzlich mit erläuternden Texten versehen. Die dritte Einheit bilden die Übungen parallel zur Vorlesung. In ihnen wird der Stoff anhand ausgewählter Computerexperimente vor allem auf Basis von Excel, Matlab und eigenem Software vertieft. Außerdem wird gezeigt, wie man nach Software zur Lösung numerischer Probleme im Internet suchen kann.

Ansprechpartner Vorlesung Praktikum und Übungen: Priv.Doz. Dr.-Ing. habil. F. Schmidt Telefon: 0711/685-2116 E-Mail: fritz.schmidt@ike.uni-stuttgart.de Anschrift: Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Abt. Wissensverarbeitung und Numerik (WN) Universität Stuttgart Pfaffenwaldring 31 D-70569 Stuttgart Praktikum und Übungen: Rolf Hirschberg Telefon: 0711/685-2134 E-Mail: hirschberg@ike.uni-stuttgart.de Telefax: 0711/685-2010 http://www.ike.uni-stuttgart.de/~www_wn/wnhome.html Folgende Informationen finden Sie auch im Netz: Grundstruktur der Vorlesung Hinweise auf numerische Bibliotheken und Numerik im INTERNET Unterlagen zu Computerexperimenten Vorgehensmodell Studien- und Diplomarbeiten Themen für Studien- und Diplomarbeiten

Inhalt: Teile 1 und 2 Teil 1: Modellierung technischer Probleme Zur Vorbereitung des Kurses empfehlen wir die Teilnahme am Matlab-Kurs der Fakultät Mathematik: V 57.01 je am 23.04. / 26.04. / 30.04. und 03.05. jeweils von 15.45 - 17.15 Uhr V1: Lösung technischer Probleme auf Rechnern 07.05.01 • Modellierung auf Rechnern • Warum Computerrechnungen immer fehlerbehaftet sind • Vom Rechner mit Zahlen, Modulen und Komponenten Ü1: Teilnahme Matlab Kurs Teil 2: Rechner als endliche Maschine V2: Modellieren auf endlichen Maschinen 14.05.01 Endlichkeit von Rechnern Vom Problem zum Programm Bessere Rechner via bessere Verfahren V3: Rechnen auf endlichen Maschien 21.05.01 • Rundungsfehler • Diskretisierung von Funktionen Punkte und Interpolation mit Lagrange Polynomen Entwicklung nach Polynomen: Taylorreihen Stückweise stetige Darstellung E zu V3: Berechnung der Zahl e, Fehlerfortpflanzung E zu V3: Näherung eines Polynomes nach verschiedenen Ansätzen

Inhalt: Teil 3 Teil 3: Grundoperationen auf diskretisierte Funktionen V4: Endliche Operatoren am Beispiel iterativen Verfahrens zur Nullstellensuche 28.05.01 • Nullstellensuche • Nichtlineare Gleichungen E zu V4: Bestimmung von x aus ax2 - b = 0 • nach verschiedenen Verfahren • Begründung für konvergentes Verhalten Teil 3: Grundoperationen auf diskretisierte Funktionen V5: Integration 11.08.01 • Verfahren nach Newton • Verfahren nach Gauss E zu V5: Integration einer Funktion nach verschiedenen Verfahren, Untersuchung des Fehlers in Abhängigkeit von Verfahren, Ü2: Matlab am Rechner V6: Differenzieren von Funktionen 18.06.01 • Differenzenverfahren • Vorwärts-Rückwärts- und zentrale Differenzen Ü3: Numerik mit Excel

Inhalt: Teil 4 Teil 4: Differentialgleichungen V7: Gewöhnliche Differentialgleichungen 25.06.01 • Das Anfangswertproblem • Die Diskretisierung der Zeit • Euler-Verfahren • Runge-Kutta-Verfahren E zu V7: Stationäre Wärmeleitung in einer Dimension V8: Partielle Differentialgleichung 02.07.01 • Grundbegriffe • Diskretisierung nach dem Differenzenverfahren Ü4: Experimente zur Lösung von Differentialgleichungen Transiente Wärmeleitgleichung in einer Dimension, Stationäre Wärmeleitung in 2 Dimensionen V9: Lösung von linearen Gleichungssystemen 1 09.07.01 • Direkte Verfahren Ü5: Gleichungslöser im Vergleich V10: Lösung von linearen Gleichungssystemen 2 16.07.01 • Iterative Verfahren Ü6: Numerik im Internet • Wichtige Adressen und ihre Angebote

Literatur / 1/ Böhm, Gose, Kahman: Methoden der Numerischen Mathematik. Vieweg / 2/ Björck, Dahlquist: Numerische Methoden. Oldenburg Verlag. / 3/ Becker, et al.: Numerische Mathematik für Ingenieure. Teubner. / 4/ Engeln-Müllges, Reuter: Numerische Mathematik für Ingenieure. BI / 5/ Richter: Numerische Lösung partieller Differentialgleichungen mit der Finite-Elemente-Methode. Vieweg. / 6/ Maess: Vorlesung über numerische Mathematik 1. UTB - Große Reihe. / 7/ Schwarz: Numerische Mathematik. Teubner. / 8/ Schwarz: Methode der finiten Elemente. Teubner. /9/ Schwarz: Fortran Programme zur Methode der finiten Elemente. Teubner. /10/ Stiefel: Einführung in die numerische Mathematik. Teubner. /11/ Noble: Numerisches Rechnen. Band 1 und Band 2. BI. /12/ Stoer: Einführung in die numerische Mathematik. Heidelberger Taschenbücher. /13/ Press et al.: Numerical Recipies. Cambridge University Press. /14/ Young, Gregory: A Survey of Numerical Mathematics. Addison-Wesley. /15/ Carnahan et al.: Applied Numerical Methods. John Wiley + Sons, Inc. /16/ Schäfer: Numerik im Maschinenbau, Springer Lehrbuch. /17/ Cheney, Kincaid: Numerical Mathematics and Computing. Brooks/Cole Pub. Comp.

Numerische Methoden Teil I: Modellierung technischer Probleme zur Bearbeitung auf endlichen Maschinen Kap. 1: Modelle als Basis numerischen Rechnens Inhalt: Modellierung Simulation Grundmodelle technischer Systeme Übung: Einführung in Matlab Teilnahme am Matlab-Kurs der Fakultät Mathematik

Konsistenz, Konvergenz Analyse und Darstellung Bildung von Modellen Problem physikalisches Modell mathematisches Modell Analyse des mathe- matischen Modells Existenz und Lösungen numerisches Modell Konsistenz, Konvergenz Entwurf und Implementierung eines Programmes Simulation Daten- Beschaffung Modul Verknüpfung Analyse und Darstellung der Ergebnisse

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Wärmebedarf eines Wohngebäudes Ta Transmissions- verluste Solare Wärmegewinne Lüftungs- Ti Interne Wärmebedarf

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Physikalisches Modell Zonenweise stationäre Energiebilanz bei vorgegebener Sollinnentemperatur

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Mathematisches Modell Transmissionsverluste: Lüftungsverluste: Interne Wärmegewinne: Solare Wärmegewinne bleiben unberücksichtigt Mittlere interne Wärmegewinne auf der Basis eines durchschnittlichen 2,7-Personenhaushaltes pro Tag und Wohnraumfläche Die Differenzengleichungen können auch als Differentialgleichungen oder als Integralgleichungen formuliert werden Je nach Art der mathematischen Formulierung werden andere Aspekte des physikalischen Modells betont.

Grundmodelle technischer Vorgänge Basismodell Erhaltungsgleichungen für Masse, Energie und Impuls in komponentenspezifischer Formulierung Grundform zeitliche Änderung einer Systemgröße y = Differenz aus Quellen und Senken Simulationsmodelle erfordern mathematische Modelle und darauf abgestimmte Daten Datenmodelle müssen Semantik des Weltausschnittes und der Modellierung seines Verhaltens enthalten (Ontologie) Mathematische Modelle a) differentielle Betrachtungsweise Das ist gewöhnliche Differentialgleichung am Ort xi b) Integrale Betrachtungsweise an Zeitpunkten tn und tn+1 Das ist eine Integralgleichung c) Systeme von Differentialgleichungen erhält man, wenn - mehrere Systemgrößen und - mehrere Ortspunkte zu berücksichtigen sind.

Komponentenbasiertes Modell eines Kreislaufes

Eigenschaften von Modellen - beschreiben Ausschnitt der Welt - haben beschränkte Gültigkeit - unterliegen vielen Fehlerquellen Ÿ Modelle sind - nicht wahr, aber brauchbar - nicht verifizierbar, aber validierbar - nicht richtig, aber nützlich Ÿ Modellergebnisse benötigen - Interpretation - Validierung - Daten

Nutzen besserer Modelle Interpolation zwischen Meßwerten (Verringerung teuerer Messungen) Korrelation verschiedener Bereiche (Gesamtschau statt Einzeleffekt) Untersuchung von alternativen Lösungen (Variantenkonstruktion) Optimierung des Betriebs unter aktuellen Randbedingungen Untersuchungen in Grenzbereichen (Störfallsimulation)

VDI-Definitionen zur Modellierung durch Simulation -1 VDI-Richtlinie 3633 (Beuther Verlag, Berlin 1996) definiert den Begriff des Systems “Abgegrenzte Anordnung von Komponenten, die miteinander in Beziehung stehen. Es ist gekennzeichnet durch: - Systemgrenze, Systemein- und ausgangsgrößen - Subsysteme, Systemelemente, - Aufbaustruktur - Ablauflogik - Zustandübergänge und -größen“, den Begriff des Modells „Ein Modell ist eine vereinfachte Nachbildung eines existierenden oder gedachten Systems mit seinen Prozessen in einem anderen begrifflichen oder gegenständlichen System. Es unterscheidet sich hinsichtlich der unter-suchungsrelevanten Eigenschaften nur innerhalb eines vom Untersuchungsziel abhängigen Toleranzrahmens vom Vorbild“. Es wird genutzt, um eine bestimmte Aufgabe zu lösen, deren Durchführung mittels direkter Operationen am Original nicht möglich oder zu aufwendig wäre. - Gedankliches Modell: Modell, das noch nicht in ein Simulationsmodell umgesetzt wurde. - Experimentierbares Modell oder Simulationsmodell: Reales Modell, das aus dem gedanklichen Modell entstand und mit dem Experimente durchgeführt werden können.“

VDI-Definitionen zur Modellierung durch Simulation -2 Den Prozeß der Modellierung „Die Modellierung umfaßt bei der Simulation das Umsetzen eines existierenden oder gedachten Systems in ein experimentierbares Modell“, und der Begriff der Simulation: „Simulation ist ein Verfahren zur Nachbildung eines Systems mit seinen dynamischen Prozessen in einem experimentierbaren Modell, um zu Erkenntnissen zu gelangen, die auf die Wirklichkeit übertragbar sind. Im weiteren Sinne wird unter Simulation das Vorbereiten, Durchführen und Auswerten gezielter Experimente mit einem Simulationsmodell verstanden. Mit Hilfe der Simulation kann das zeitliche Ablaufverhalten komplexer Systeme untersucht werden“. Auf Basis des Modells vom Verhalten eines Systems können Entwurf und Steuerung von Anlagen geplant werden. Die Steuerung geschieht über die Leittechnik. Die VDI-Richtlinie 3814 definiert als Aufgaben und Zielsetzung beim Einsatz von Gebäudeleittechnikanlagen das Leiten (DIN 19222) von betriebstechnischen Anlagen, d.h. die "Übernahme oder Unterstützung folgender Aufgaben: - Anlagenautomation - Betriebskontrolle - Betriebsführung - Archivierung - Betriebsanalyse - Energiemanagement - Instandhaltungsmanagement." Als wesentlichstes Element wird der Erhalt der Selbständigkeit der betriebstechnischen Anlagen gefordert.