V 12: Systemen partieller Differentialgleichungen Teil 4: Systeme partieller Differentialgleichungen V 12: Systemen partieller Differentialgleichungen Inhalt: Numerik der nichtlinearen Transportgleichung Bedingungen für die Stabilität von Euler-Gleichungen Bedingungen für die Konsistenz der Diskretisierung der Euler-Gleichungen Lösungverhalten Weitere Beispiele von Systemen Experiment: Wellengleichung mit Gauß’schem Impuls

Das sollten Sie heute lernen Was ist ein System von Differentialgleichung ? Wie kann man es diskretisieren Was ist dabei zu beachten Wie lautet das System der Eulergleichungen Wie findet man stabile Diskretisierungen Was ist numerische Diffusion

Systeme allgemein Erhaltungsgleichungen haben die Form Bei Systemen von Erhaltungsgleichungen wird aus den Abhängigen n ein Vektor U und aus f(u) eine Matrix A(U). A kann nichtlinear sein. Dabei gilt 1. Charakteristiken der verschiedenen Ausbreitungsprozesse im System haben verschiedene Geschwindigkeiten. 2. Geschwindigkeiten können von Ort und Zeit abhängen. 3. Koeffizienten der diskretisierten Systeme sind bei Nichtlinearität von A nur iterativ bestimmbar.

Analyse am Beispiel der Euler-Gleichung Lösungen nur für Eigenwerte  möglich. Bestimmung von  aus Für adiabate Zustandsänderungen erhält man als Eigenwerte und entsprechend 3 Stabilitätsbedingungen der Form

Diskretisierung Euler-Gleichung Für die Diskretisierung der Euler-Gleichung versucht man den Druck zu eliminieren.

Lösung der Euler-Gleichung nach Leap-Frog-Schema Das Leap-Frog-Schema hat folgende Form Diskretisierungsfehler wegen zentraler Differenzen Ordnung 2 (Diffusion)  2-2 Leap-Frog Verbesserung durch Einbinden weiterer Ortspunkte  2-4 Leap-Frog Untersuchung an Experiment.

Diese Fragen sollten Sie beantworten können Diskretisierungsmöglichkeiten der Eulergleichungen Eigenschaften hyperbolischer Gleichungen und ihre Auswirkung auf System Stabile Verfahren zur Lösung von Systemen von Dglen Voraussetzungen für Stabilität

Wellengleichung mit einem Gaußschen Impuls Die Wellengleichung lautet: . Wir überführen die DGL. 2.Ordnung in 2 DGLn. der 1.Ordnung mit . Die Integrabilitätsbedingung und die Differentialgleichung müssen gelten. Dies führt zu Die Eigenwerte sind charakteristische Geschwindigkeiten die den Abhängigkeitsraum und Totraum abgrenzen. Eigenwerte müssen bei Hyperbolischen DGLs real sein und einen Schnittpunkt besitzen (well posed). Mit den Anfangswerten und deren Ableitungen ist das Problem komplet beschrieben. Die Berechnung erfolgt im Interval . Die Randbedingungen werden extrapoliert und sind von geringerer Genauigkeit als im restlichen Lösungsgebiet. Das Lösungsgebiet ist in 3 äquidistante Bereiche geteilt, in denen unterschiedliche Werte für c angegeben werden können. Der Gaußsche Impuls startet bei t=0, x=0 und bewegt sich nach links in negativer Wegrichtung, wegen dem negativen Vorzeichen der t-Ableitung.

Wellengleichung mit einem Gaußschen Impuls Beachten Sie das die Dimension 1/Länge hat, also die inverse Impulsbreite darstellt. Das Lösungsgebiet muß bei schmallen Impulsbreiten entsprechent fein diskretisiert werden. Ausserdem geht c in allen Verfahren quadratisch in die Stabilitätsbedingung ein. Die Folge ist, daß die Zeitschritte überproportional wachsen für c>1. Für das Leap Frog 2-2 Verfahren gilt: Der Algorithmus benötigt 2 gespeicherte Zeitebenen und eine Startrechnung mit einem anderen Verfahren (Lax oder Zwischenschrittverfahren). Der Versuch wird durch Klick gestartet mit Hilfs- größen