Unterrichtsvorbereitung Graphentheorie Thema: Isomorphie von Graphen Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Fakultät für Mathematik Institut für Algebra und Geometrie Vorlesung: Algorithmenorientierte Graphentheorie Dozent: apl. Prof. Dr. Heidemarie Bräsel Referent: Torsten Wagner Datum:

Was die Schüler bisher über Graphen wissen: Was ist ein Graph? Darstellungsmöglich- keiten von Graphen einfache Eigenschaften von Graphen (schlicht, gerichtet, Baum, ect.)

Neuer Aspekt: Isomorphie von Graphen Können Graphen irgendwie gleich sein, obwohl sie unterschiedlich aussehen? a b d c ? =

Isomorphie: Ein lohnendes Thema für den Unterricht? JA, denn Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens Modellieren und Mathematisieren von Problemen Kategorisieren

2 Definitionen von Isomorphie anschauliche Definition 2 Graphen sind isomorph (gleichwertig), wenn sie elastisch ineinander überführt werden können mathematische Definition 2 Graphen sind isomorph, wenn es eine umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen den Knotenmengen von 2 Graphen gibt, sodass 2 Knoten im Graphen 1 genau dann miteinander verbunden (adjazent) sind, wenn die beiden zugeordneten Knoten im Graphen 2 es auch sind.

umkehrbar eindeutige Zuordnungen umkehrbar eindeutig: Bei eine umkehrbar eindeutigen Zuordnung zwischen den Knotenmengen der Graphen G und G* wird jedem Knoten aus G genau ein Knoten aus G* zugeordnet und zu jedem Knoten aus G* gibt es genau einen Knoten aus G, dem er zugeordnet ist. Urmenge Bildmenge

Bedingungen für Isomorphie Notwendige Bedingungen (nicht hinreichend): gleiche Knotenanzahl gleiche Kantenanzahl übereinstimmende Knotenvalenzen (Anzahl der Kanten, die an einem Knoten enden) Achtung! Alle notwendigen Bedingungen erfüllt, aber trotzdem nicht isomorph. Wichtigste Bedingung - Existenz einer bijektiven Zuordnung

mögliche Aufgabenstellungen 2 Graphen gegeben (z.B. als Adjazenzliste, Matrix, ect.) Isomorphie nachweisen (Zuordnungsvorschrift angeben) Begründen, warum beide Graphen nicht isomorph zueinander sind (durch notwendige Bedingungen) 1 Graph hat einen oder mehrere Knoten weniger und Schüler muss diesen so ergänzen, dass er isomorph zum anderen Graphen ist

mögliche Aufgabenstellungen Isomorphieklassen Zeichne alle möglichen Bäume mit n Knoten, die nicht isomorph zueinander sind (Isomorphieklassenvertreter) Spiel entwerfen Graphen-Domino Steine, auf denen jeweils 2 Graphen abgebildet sind Anlegen nur dann, wenn die Graphen isomorph zueinander sind

Beispiel Welche Eigenschaften von Graphen geben Auskunft, ob diese isomorph sind? Stelle eine Liste von Kriterien zusammen und vergleiche diese mit deinen Mitschülern! Welche Graphen in der Abbildung sind isomorph zueinander?

Graphen-Domino ?

Danke für ihre Aufmerksamkeit!