Zeitreihenanalyse M.Wagner

Einführung Zeitreihe: (zeitabhängige) Folge von Datenpunkten Datenpunkte können 1- oder auch d- dimensional sein Typische Zeitreihen weisen regelmäßiges (Trend, Saison) & zufälliges Verhalten auf monatlichen Zeitreihe der Anzahl der tödlichen Verkehrsunfälle in Deutschland Anfang 1991 Statistisches Bundesamt, Wiesbaden

Einführung Zeitreihe: Zeitlich komplex Komplexe Strukturen werden beschrieben durch Frage: Beispiel: Verkehr

Einführung Zeitreihe: Räumlich komplex: Komplexe Strukturen können durch lokale Unordnung beschrieben werden, z.B. durch skalenabhängige Größen Inkrement q(l,x) Beispiel: Turbulenz, Finanzmarkt

Einführung Fokker-Planck-Gleichung D(1): Driftvektor; D(2): Diffusionsmatrix Beschreibt die zeitliche Entwicklung der Übergangswahrscheinlichkeit Zeitreihenanalyse Billeter/Vlach

Einführung Langevin Gleichung D(1): Driftvektor; D(2): Diffusionsmatrix Beschreibt die Entwicklung einer möglichen Trajektorie Brown‘sche Bewegung

Stochastische Prozesse Aus der Langevin-Gleichung erhält man mit X(t): Zustandsvektor des d-dimensionalen Phasenraums {x} N: (nichtlineare) Funktion Integration über kleine, aber endliche Zeitinkremente t liefert Problem: t zwar klein, aber immer noch groß gegen Fluktuationen G

Stochastische Prozesse Mit dem Zentralen Grenzwertsatz folgt: mit h(t): gaußverteilte, statistisch unabhängige Zufallsvariable mit Mittelwert 0 Es bleibt also:

Stochastische Prozesse Markov-Prozesse Wichtige Klasse von stochastischen Prozessen Wahrscheinlichkeit d. zukünftigen Zustandes unabhängig von der Vergangenheit des Systems Wahrscheinlichkeit hängt nur von der Gegenwart ab Damit ergibt sich für die N-Punkt-Wahrscheinlichkeitsverteilung f: Kenntnis der Übergangswahrscheinlichkeiten zusammen mit der Anfangswahrscheinlichkeitsverteilung reicht aus, um die N-Punkt-Wahrscheinlichkeitsverteilung zu bestimmen

Stochastische Prozesse Bisher: Übergangswahrscheinlichkeit für infinitesimale Zeitdifferenzen ti - ti-1 = t Frage: Übergangswahrscheinlichkeiten p(x,t | x‘,t‘) für t – t‘ >> t Lösung: direkt aus der Fokker-Planck-Gleichung

Stochastische Prozesse Es gilt: Definition:

Stochastische Zeitreihenanalyse Ziel: das zugrundeliegende deterministische System in Form von DGL zu bestimmen In der Regel nicht möglich Analyse von Zeitreihen von Stochastischen Systemen mit Markov-Eigenschaften wie folgt: Überprüfen der Markov-Eigenschaften Bestimmen der Übergangswahrscheinlichkeiten Rekonstruktion der Daten

Stochastische Zeitreihenanalyse Markov-Eigenschaften überprüfen Im Allgemeinen schwer Für kleine Inkremente t sind Markov-Eigenschaften oft verletzt Rauschen korreliert Messrauschen zerstört Markov-Eigenschaften Dennoch gibt es verschiedene Methoden Direkte Bestimmung Überprüfen der Chapman-Kolmogorov Gleichung (notw. Bed.) …

Stochastische Zeitreihenanalyse Bestimmen der bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilung Driftvektor & Diffusionsmatrix sind 1. & 2. Moment der bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilung Diese lassen sich wie folgt direkt aus den experimentellen Daten bestimmen: Daten im d-dimensionalen Phasenraum darstellen Phasenraum in kleine, aber endliche d-dimesionale Volumina a um xa unterteilen Bestimme alle x(tj+1) - x(tj) für jede Partition a

Stochastische Zeitreihenanalyse Bestimmen der bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilung Nun lassen sich Driftvektor und Diffusionsmatrix am Ort xa direkt bestimmen Wie wir wissen, gilt: Entsprechend für D(2) Ergebnis hängt entscheidend von der Größe der Partitionen ab Möglichst klein -> bessere Auflösung Die Daten sollten einen „Limes t -> 0“ erlauben

Anwendungen Verkehrsfluss Viel-Teilchen-Problem Theoretische Modelle basieren auf einem sog. fundamentalen Schema, das besagt q = Q(v) Sehr viele Daten verfügbar Gemessen werden Geschwindigkeit v & Frequenz q = pv Messung an einer festen Stelle auf dem Highway Annahme: Dynamik wird beschrieben durch stochastische DGL

Anwendungen Verkehrsfluss Bei Berücksichtigung der Daten aller drei Spuren: 2 stabile Fixpunkt, 1 Sattelpunkt Die Daten sind ein Indiz für für die Existenz des fundamentalen Schemas q = Q(v) Betrachtet man nun ausschließlich Vans (rechte Seite des Highways): 1 Fixpunkt und: Ab ca. 80 km/h ist ein metastabiles Plateau erreicht, welches eine quasi interaktionsfreie Dynamik beschreibt. Deterministic dynamics of the twodimensional traffic states (q, v) given by the drift vector for (a) right lane of freeway with vans and (b) all three lanes.Bold dots indicate stable fixed points and open dots saddle points. Complexity in the View of Stochastic Processes authors: R. Friedrich, J. Peinke and M. Reza Rahimi Tabar

Anwendungen Verkehrsfluss Deterministic dynamics of the twodimensional traffic states (q, v) given by the drift vector for (a) right lane of freeway with vans and (b) all three lanes.Bold dots indicate stable fixed points and open dots saddle points. Complexity in the View of Stochastic Processes authors: R. Friedrich, J. Peinke and M. Reza Rahimi Tabar

Anwendungen Stromkreis mit Rauschen Elektrischer Stromkreis mit chaotischem Verhalten Dynamik wird beschrieben durch einen gedämpften Oszillator mit nichtlinearer Energiezufuhr und Rauschen 100 000 Datenpunkte wurden analysiert und dann mit den errechneten verglichen. Die Dynamik wird beschrieben durch

Anwendungen Stromkreis mit Rauschen Xi: Spannungsterm Daten wurden analysiert Die Dadurch bestimmte deterministische Dynamik entspricht einem Vektorfeld im 3 Dimensionalen Phasenraum Für die Darstellung wurden 2d- und 1d-Schnitte gewählt Trajectory for the Shinriki oscillator in the phase space without noise Complexity in the View of Stochastic Processes authors: R. Friedrich, J. Peinke and M. Reza Rahimi Tabar

Anwendungen Stromkreis mit Rauschen Trajectory for the Shinriki oscillator in the phase space without noise Complexity in the View of Stochastic Processes authors: R. Friedrich, J. Peinke and M. Reza Rahimi Tabar Cuts of the function D(1)(x) reconstructed from experimental data of the electric circuit in comparison with the expected functions according to the known differential (eqn. (75),(76)). In part a the cut g1(X1,X2), g2(X1,X2,X3 = 0) is shown as a two-dimensional vector field. Thick arrows represent values determined by data analysis, thin arrows represent the theoretically expected values. In areas of the state space where the trajectory did not show up during the measurement no estimated values for the functions are obtained. Figure b shows the one dimensional cut g1(X1,X2 = 0). Crosses represent values estimated numerically by data analysis. Additionally, the affiliated theoretically curve is printed as well authors: R. Friedrich, J. Peinke and M. Reza Rahimi Tabar

Anwendungen Skalen-Prozesse Wahrscheinlichkeitsverteilung: Oft multifraktales Verhalten Haben die selbe Statistik Wird durch multifraktale Skalierung beschreiben

Anwendungen Turbulenz Betrachte Inkremente Statistische Beschreibung durch: Für stationäre, homogene und isotrope Turbulenz:

Anwendungen Turbulenz Von oben nach unten: l = L0, 0.6L0, 0.35L0, 0.2L0 and 0.1L0 Intermittenz Für große l gaußverteilt Bei kleinen l treten heftige Ereignisse öfter auf Ähnliches Verhalten bei Finanzmarktdaten Complexity in the View of Stochastic Processes authors: R. Friedrich, J. Peinke and M. Reza Rahimi Tabar

Anwendungen Finanzmarkt Wechselkurs-Inkremente Dollar-DM 1992 & 1993 q(t,t) =Y (t + t) − Y (t) Von unten nach oben t = 5120, 10240, 20480, 40960s Bestimmung des zugrundeliegenden Prozesses ist ein ähnlich prominetes Rätsel, wie bei Turbulenz Complexity in the View of Stochastic Processes authors: R. Friedrich, J. Peinke and M. Reza Rahimi Tabar

Anwendungen Finanzmarkt Berechnete Übergangswahrscheinlichkeiten stimmen gut mit den experimentellen Daten überein Ab einer gewissen Schrittgröße können Turbulenz und Finanzmarkt-Dynamik als Markov-Prozess betrachtet werden Drift und Diffusion sind Skalenabhängig und nichtstationär Beschreibung von q(x,l) für festes l kein adäquates Mittel Comparison of the numerical solution of the Fokker-Planck equation for the conditional pdf p(q, l|q0, l0) denoted in this figure as p(v, r|v0, r0) with the experimental data. Cuts through p(v, r|v0, r0) for v0 = +σ∞ and v0 = −σ∞ respectively. Open symbols: experimental data, solid lines: numerical solution of the Fokker- Planck equation

Quellen Importance of Fluctuations: Complexity in the View of Stochastic Processes R. Friedrich, J. Peinke, M. Reza Rahimi Tabar Zeitreihenanalyse Kreiß, Neuhaus Billeter, Vlach

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