3.3 Lösungsstrategien für mündliches und halbschriftliches Rechnen 3.3.1 Halbschriftliche Addition und Subtraktion 3.3.2 Halbschriftliche Multiplikation und Division

Rahmenplan Rahmenplan Hessen S. 154: Das halbschriftliche Rechnen wird auch bei den multiplikativen Operationen zur Entlastung des Gedächtnisses und zur übersichtlichen Darstellung von Rechenschritten eingesetzt. Dabei ist eine rigorose Formalisierung zu vermeiden; Zwischenschritte notiert jedes Kind nur so lange, wie es dies selbst für notwendig hält. Problem für die Unterrichtspraxis: Der Rahmenplan macht keine klaren Aussagen zu Aufgabentypen bzw. zur Größe der Zahlen.

Aufgabentypen Multiplikation und Division mit Zehnerzahlen Multiplikation einer einstelligen Zahl mit gemischten Zehnerzahlen Multiplikation einer einstelligen Zahl mit gemischten Hunderterzahlen Multiplikation zweier zweistelliger Zahlen (beide Faktoren ≤ 20)

Lösungsstrategien Multiplikation: Division: Analogieaufgaben Schrittweises Rechnen Vereinfachen Hilfsaufgabe Malkreuz Division:

Lösungsstrategien Analogieaufgaben 20 · 7 2 · 7 = 14 20 · 7 = 140 (beonders beim Rechnen mit Zehnern und Hundertern) Beispiele: 20 · 7 2 · 7 = 14 20 · 7 = 140 1800 : 3 18 : 3 = 6 1800 : 3 = 600

Lösungsstrategien

Lösungsstrategien zur Multiplikation Schrittweises Rechnen 9 · 28 9 · 20 = 180 9 · 8 = 72 9 · 28 = 252 8 · 237 8 · 200 = 1600 8 · 30 = 240 8 · 7 = 56 8 · 237 = 1896 Kurzform: 1600 + 240 + 56 = 1896

Lösungsstrategien Schrittweises Rechnen 13 · 14 13 · 10 = 130 13 · 4 = 52 13 · 14 = 182

Lösungsstrategien zur Multiplikation Hilfsaufgabe 17 · 19 = 340 – 17 = 323 17 · 20 = 340 38 · 99 = 3800 – 38 = 3762 38 · 100 = 3800

Lösungsstrategien zur Multiplikation Vereinfachen 16 · 50 = 800 8 · 100 = 800 28 · 25 = 700 14 · 50 7 · 100

Lösungsstrategien zur Multiplikation

Lösungsstrategien zur Multiplikation Malkreuz Beispiel: 13 · 16 · 10 3 100 30 130 6 60 18 78 160 48 208

Lösungsstrategien zur Multiplikation Arbeitsmittel: Vierhunderterfeld

Lösungsstrategien zur Multiplikation Multiplizieren am Vierhunderterfeld - Malkreuz

Lösungsstrategien zur Division Schrittweises Rechnen 693 : 3 600 : 3 = 200 90 : 3 = 30 3 : 3 = 1 693 : 3 = 231

Lösungsstrategien zur Division Schrittweises Rechnen 237 : 3 Problem: Wie kann man zerlegen? 237 : 3 = 210 : 3 = 70 27 : 3 = 9 237 : 3 = 79 237 : 3 = 180 : 3 = 60 30 : 3 = 10 27 : 3 = 9 237 : 3 = 79 237 : 3 = 240 : 3 = 80 3 : 3 = 1 237 : 3 = 79

Häufige Schülerfehler beim Multiplizieren und Dividieren 8 · 60 = 488 Multiplikation der Null als 8 · 0 = 8 40 · 20 = 80 Vernachlässigen einer Null 6 · 60 = 660 Perseverationsfehler (Nachwirken von Zahlen)

Häufige Schülerfehler beim Dividieren 800 : 20 = 400 oder 800 : 20 = 4 Fehlerhaftes Nullenstreichen 400 : 80 = 20 Vertauschen der ersten Ziffern bei Dividend und Divisor 400 : 80 = 51 Fehlerhafte Division durch Null (gerechnet: 40 : 8 = 5, 0 : 0 =1)

Rechnen mit Kommazahlen

Division mit Rest In Deutschland gab (gibt) es eine Diskussion um die Schreibweise der Division mit Rest. Möglichkeiten: Restschreibweise 13 : 5 = 2 Rest 3 Zerlegungsschreibweise 13 : 5; 13 = 5 · 2 +3 Divisionsschreibweise 13 : 5 = 2 + (3 : 5)

Division mit Rest Argumente gegen die Restschreibweise: (1) Gleichheitszeichen wird nicht korrekt im Sinne der mathematischen Identität gebraucht. (2) Die Restschreibweise verstößt gegen die Transitivität der Gleichheitsrelation. 14 : 4 = 3 Rest 2 und 11 : 3 = 3 Rest 2 Aber es gilt nicht: 14 : 4 = 11 : 3

Verknüpfung von Rechenoperationen Gewinnung der Regel „Punktrechnung geht vor Strichrechnung“ Beispiel: 2 + 3 · 5 Methodischer Weg: Ausprobieren und Überprüfen am Sachverhalt 2 + 3 · 5 = 25 ?oder 2 + 3 · 5 = 17 ? Möglicher Sachverhalt: Zwei einzelne Joghurtbecher und 3 x 5 Joghurtbecher in einer Palette werden “zusammengezählt”

Übungsformen Automatisierendes Üben Einprägendes Üben Operatives Üben Ziel: Fertigkeiten Merkmal: schnelles und sicheres Beherrschen von Handlungen (teilweise automatisiert) Einprägendes Üben Ziel: Kenntnisse Merkmal: abrufbares Wissen Operatives Üben Ziel: Fähigkeiten Merkmal: flexibles Anwenden beim Problemlösen

Beispiele für Operative Übungen Nachbaraufgaben (Handbuch produktiver Rechenübungen, Bd. 2, S. 71)

Beispiele für Operative Übungen Ist das immer so?

Beispiele für Operative Übungen Zifferntausch Aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 sollen je zwei zweistellige Zahlen gebildet und multipliziert werden. 1. Frage: Wie viele verschiedene Aufgaben gibt es? 2. Frage: Versucht die Aufgaben nach der Größe ihrer Ergebnisse zu ordnen! Ihr braucht nicht unbedingt auszurechnen, wenn ihr es anders entscheiden könnt.

Beispiele für Operative Übungen Zifferntausch

Beispiele für Operative Übungen „Immer 22“ Wähle aus den Ziffernkärtchen mit den Zahlen 0 bis 9 drei beliebige aus. Es lassen sich damit sechs verschiedene zweistellige Zahlen bilden. Addiere die sechs Zahlen. Dividiere anschließend durch die Summe der drei ausgewählten Zahlen. Das Ergebnis der Divisionsaufgabe ist immer 22. Warum?

Beispiele für Operative Übungen „Immer 22“ Beispiel: 3, 4, 6 Zehner Einer 3 4 6 2 · 13

Beispiele für Operative Übungen Rechenketten Beispiel: Merke dir eine Zahl Multipliziere die Zahl mit 6! Addiere zum Ergebnis 3! Dividiere das neue Ergebnis durch 3! Subtrahiere vom neuen Ergebnis 1! Vergleiche Endergebnis und Startzahl! Das Endergebnis ist doppelt so groß wie die Startzahl.

Alternative Multiplikationsverfahren Verdopplungs- /Halbierungsverfahren („Russisches Bauernmultiplizieren) Verdopplungsverfahren Die Neperschen Streifen / Gittermethode Diese Verfahren sind vor allem als Alternativen zum schriftlichen Normalverfahren zu verstehen.

Alternative Multiplikationsverfahren Verdopplungs- /Halbierungsverfahren „Russisches Bauernrechnen“ Grundidee: Ein Faktor wird verdoppelt, der andere halbiert. Beispiel: 346 · 36 346 · 36 = 692 · 18 = 1384 · 9 > 2768 · 4 = 5536 · 2 = 11072 · 1 346 · 36 692 · 18 1384 · 9 2768 · 4 5536 · 2 11072 · 1 +1384 11072 + 1384 12456 Also: 346 · 36 = 12456

Alternative Multiplikationsverfahren Verdopplungsverfahren Es muss nur das Verdoppeln und das Multiplizieren mit Zehnerpotenzen beherrscht werden. Beispiel: 4379 · 86 · 8 35032 · 4 17516 · 2 8758 · 1 4379 · 86 4379 · 80 = 350320 4379 · 4 = 17516 4379 · 2 = 8758 4379 · 86 = 376594

Alternative Multiplikationsverfahren