Kapitel 2 Natürliche und ganze Zahlen

Inhalt 2.1 Teiler 12  60 2.2 Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, .... 2.3 Zahldarstellungen 17 = (1 0 0 0 1)2 2.4 Teilbarkeitsregeln QS, AQS 2.5 ggT

2.1 Teilbarkeit Erinnerung: Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen 0, 1, 2, ...; die Menge der natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet. Die Menge der ganzen Zahlen wird mit Z bezeichnet: Z = {... , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}. Wichtige Eigenschaft: Die Summe, die Differenz und das Produkt beliebiger ganzer Zahlen ist wieder eine ganze Zahl. Der Quotient zweier ganzer Zahlen ist aber nur in Ausnahmefällen wieder eine ganze Zahl. Dies ist einer der Ausgangspunkte der Zahlentheorie.

Teilerbeziehung Definition. Seien a und b ganze Zahlen. Wir sagen “a teilt b” (geschrieben a  b), falls es eine ganze Zahl z gibt mit b = za. Man nennt a einen Teiler von b, und b ein Vielfaches von a. Die Aussage “a teilt b” heißt also, dass a die Zahl b ohne Rest teilt! Beispiele. Es gelten die folgenden Aussagen: 2  10, –3  21, 8  –16, –15  –135, 2000  0. Folgende Aussagen sind hingegen nicht richtig: 2  11, –3  20, 8  –106, –14  –100, 0  1.

Erste Erkenntnisse 2.1.1 Hilfssatz. (a) Für jede ganze Zahl a gilt a  a, a  –a und –a  a. (b) Wenn a  b gilt, so folgt auch a  bc für jede ganze Zahl c. (c) Jede ganze Zahl wird durch 1 und sich selbst geteilt. (d) Die einzigen Teiler der Zahl 1 sind 1 und –1. Beweis. (a) Aus a = 1a folgt a  a, aus –a = –1a folgt a  –a, ... (b) Wegen a  b, gibt es eine ganze Zahl z mit b = za. Daraus folgt bc = (za)c = (zc)a = z'a mit z' = zc  Z. Das heißt a  bc. (c) Sei a eine beliebige ganze Zahl. Nach (a) gilt a  a. Wegen a = 1a folgt auch 1  a. (d) Übungsaufgabe. 

Die wichtigste Eigenschaft 2.1.2 Hilfssatz. Seien a, b und b' ganze Zahlen. (a) Wenn a  b und a  b' gilt, so gilt auch a  b–b'. (b) Wenn a  b und a  b' gilt, so gilt auch a  b+b'. Konsequenz: Die Zahl b–b' ist in der Regel kleiner als b oder b'; damit kann man die Teilbarkeit auf kleinere Zahlen zurückführen. Beispiel: Sei a eine natürliche Zahl, die 1001 und 2001 teilt. Wenn wir b = 2001 und b' = 1001 setzen, folgt mit 2.1.2 (b) auch a  1000. Nun setzen wir b = 1001 und b' = 1000 und erhalten a  1. Daraus folgt a = 1.

b–b' = za – z'a = (z – z')a = z"a Beweis Beweis. (a) Da a ein Teiler von b ist, gibt es nach Definition eine ganze Zahl z mit b = za. Entsprechend folgt aus a  b', dass es eine ganze Zahl z' gibt mit b' = z'a. Zusammen ergibt sich b–b' = za – z'a = (z – z')a = z"a mit z" = z–z' Î Z. Das heißt a  b–b'. (b) folgt ganz ähnlich wie (a): Übungsaufgabe. 

Primzahlen Definition: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl > 1, die als natürliche Teiler nur 1 und sich selbst hat. Anders ausgedrückt: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau (nur!) zwei positive Teiler hat. Beispiel: 11 ist eine Primzahl, da die einzigen natürlichen Zahlen, die 11 teilen, 1 und 11 sind. Aber 12 ist keine Primzahl, da 12 neben 1 und 12 auch 2, 3, 4 und 6 als positive Teiler hat. Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ... Die größte heute bekannte Primzahl ist 220.996.011 – 1, eine Zahl mit 6.320.430 Dezimalstellen.

Das Sieb des Eratosthenes Wie findet man Primzahlen? Schwieriges Problem! Bis heute kennt man keine Formel für Primzahlen! 2.2.1 Das Sieb des Eratosthenes (Eratosthenes von Kyrene 284 - 200 v. Chr.). Um alle Primzahlen  n zu finden, geht man wie folgt vor: 1.Schreibe die Zahlen 2, 3, ..., n auf. 2. Die erste Zahl ist eine Primzahl. Streiche alle Vielfachen dieser Zahl! 3. Die erste freie Zahl ist die nächste Primzahl. Streiche alle Vielfachen dieser Zahl. Usw.

Wichtige Eigenschaft von Primzahlen 2.2.2 Hilfssatz. Jede natürliche Zahl n  2 ist durch mindestens eine Primzahl teilbar. Beweis. 1. Schritt: Entweder ist n eine Primzahl, und wir sind fertig (denn n wird von sich selbst geteilt), oder n ist keine Primzahl. Dann gilt n = n1m1 mit 1 < n1, m1 < n. 2. Schritt: Entweder ist n1 eine Primzahl, und wir sind fertig, oder n1 ist keine Primzahl. Dann gilt n1 = n2m2 mit 1 < n2, m2 < n1. 3. Schritt: Entweder ist n2 eine Primzahl, und wir sind fertig (denn n2 teilt n1 und damit n), oder ... Da die ni in jedem Schritt kleiner werden, aber > 1 sind, muss der Prozess nach endlich vielen Schritten eine Primzahl nj liefern. 

Effizienz des Siebs des Eratosthenes 2.2.3 Satz. Um alle Primzahlen  n zu finden, muss man die Zahlen von 1, ..., n nur auf Teilbarkeit durch die Primzahlen  n zu testen. Beispiel: Um die Primzahlen  120 zu finden, muss man die Zahlen von 1 bis 120 nur auf Teilbarkeit durch 2, 3, 5, und 7 zu testen. Beweis. Sei a eine Zahl zwischen 1 und n. Wenn a nicht prim ist, so gibt es Zahlen b und c mit a = bc und 1 < b, c < a. Die kleinere der beiden Zahlen b, c muss dann  n sein. (Denn, wenn z.B. b  c ist, so folgt bb  bc = a  n, also b  n .) Nach 2.2.2 wird b von einer Primzahl p geteilt. Es folgt p  n. 

Darstellung einer nat. Zahl durch Primzahlpotenzen 2.2.4 Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie. Für jede natürliche Zahl n  2 gibt es eindeutig bestimmte Primzahlen p1, p2, ..., pr und eindeutig bestimmte positive ganze Zahlen e1, e2, ..., er, so dass gilt: n = p1e1p2e2...prer. Bemerkungen. 1. Es ist möglich, dass r = 1 ist. Dann ist n = pe eine Primzahlpotenz. 2. Es ist auch möglich, dass ei = 1 ist. Dann ist die entsprechende Potenz von pi gleich pi, also eine Primzahl.

Faktorisierungsweltrekord (2003) 18819.881292.060796.383869.723946.165043.980716.356337. 941738.270076.335642.298885.9715234.665485.319060.606504. 743045.317388.011303.396716.199692.321205.734031.879550. 656996.221305.168759.307650.257059 = 3980.750864.24064.937397.125500.550386.491199.064362. 342526.708406.385189.575946.388957.261768.583317 × 472.772146.107435.302536.223071.973048.224632.914695. 302097.116459.852171.130520.711256.363590.397527

Unendlichkeit der Primzahlen 2.2.5 Satz (Euklid). Es gibt unendlich viele Primzahlen. Mit anderen Worten: Die Folge der Primzahlen bricht nie ab. Nochmals anders gesagt: Es gibt keine größte Primzahl! Zu jeder vorgegebenen Grenze gibt es immer noch eine Primzahl, die größer als diese Grenze ist! Beweis. Der Beweis erfolgt durch Widerspruch. Wir nehmen an, dass die Aussage des Satzes falsch ist, dass es also nur endlich viele, sagen wir s, Primzahlen gibt. Man kann also prinzipiell die Folge der s Primzahlen hinschreiben: p1 (= 2), p2 (= 3), p3, ..., ps; die Zahl ps wäre also die größte Primzahl. Diese Annahme müssen wir zu einem Widerspruch führen.

pi  p1p2...ps + 1 – (p1p2...ps) = 1. Euklids Trick Wir betrachten die Zahl n = p1p2...ps + 1. Nach 2.2.2 wird n durch eine Primzahl geteilt. Dafür kommen nach Annahme nur die Zahlen p1, p2, ..., ps in Frage (weil es keine anderen Primzahlen gibt)! Also gibt es ein solches pi, das n teilt: pi  n = p1p2...ps + 1. Ferner teilt pi auch das Produkt p1p2...ps. Das heißt: pi  p1p2...ps. Nach 2.1.2 teilt pi auch die Differenz dieser beiden Zahlen: pi  p1p2...ps + 1 – (p1p2...ps) = 1. Also müßte die Primzahl pi die Zahl 1 teilen: Widerspruch! 

Bemerkungen Man kann mit Satz von Euklid auch Primzahlen finden: Seien p, p2, ..., ps Primzahlen. Dann ist jede Primzahl, die die „magische Zahl“ n = p1p2...ps + 1 teilt, eine neue Primzahl, das heißt, eine, die unter den p1, p2, ..., ps nicht vorkommt. Beispiel: p1 = 2, p2 = 3. Dann ist n = 7, also p3 = 7. Im nächsten Schritt erhalten wir n = 237 + 1 = 43, also p4 = 43. Bemerkungen: 1. Die Zahl n ist nicht immer eine Primzahl. 2. Man erhält durch dieses Verfahren nicht alle Primzahlen. 3. Die neue Primzahl muss nicht größer als p1, p2, ..., ps sein.

2.3 Zahlendarstellungen Historisch gibt es eine ganze Reihe von Zahlensystemen: Zehnersystem (Dezimalsystem) mit den Ziffern 0, 1, ..., 9. 60-er System: Babylonier vor 3000 Jahren (Gradeinteilung, Minuten, Sekunden). 20-er System: Mayas und Gallier. Binärsystem (Zweiersystem) mit den Ziffern 0 und 1. Sechzehnersystem (Hexadezimalsystem) mit den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (= 10), B (= 11), C (= 12), D (= 13), E (= 14), F (= 15). Elfersystem mit den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X (röm. Zehn).

Ziele von Zahlendarstellungen 1. Darstellbarkeit. Man möchte Zahlen (Anzahlen) dauerhaft speichern. (Beispiel: Strichliste) 2. Ökonomie. Man möchte große Zahlen so schreiben (und sprechen) können, dass man möglichst wenig Platz (und Zeit) dafür braucht. (Beispiel: römische Zahlen) 3. Man möchte mit den so dargestellten Zahlen gut rechnen können. (Beispiel: Dezimalsystem). Das zweite Ziel impliziert nicht das dritte. Mit dem römischen Zahlensystem kann man große Zahlen darstellen, aber praktisch nicht rechnen.

Beispiel: Dezimaldarstellung Wie erhalten wir die Einerziffer einer Zahl n? Wir teilen n mit Rest durch 10; der Rest, der sich dabei ergibt, ist die Einerziffer z0: n = n010 + z0 mit 0  z0 < 10. Beispiel: n = 234.567. Dann 234.567 = 2345610 + 7. Einerziffer = 7. Wie erhalten wir die Zehnerziffer? Die Zehnerziffer ist die Einerziffer der vorher berechneten Zahl n0. Regel: Die Zehnerziffer ist diejenige Zahl z1 mit n0 = n110 + z1 mit 0  z1 < 10. Entsprechend ergibt sich die Hunderterziffer z2 durch n1 = n210 + z2 mit 0  z2 < 10.

Die wichtigste Eigenschaft der ganzen Zahlen 2.3.1 Division mit Rest. Seien a und b ganze Zahlen (b  0). Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r mit a = bq + r und 0  r  b–1. Beispiele. a = 13, b = 4  13 = 43 + 1 (q = 3, r = 1) a = –13, b = 4  –13 = 4 –4 + 3 (q = –4, r = 3) a = 13, b = –4  13 = –4 –3 + 1 (q = –3, r = 1) a = –13, b = –4  –13 = –44 + 3 (q = 4, r = 3). Bemerkung: Die Eindeutigkeit kommt erst durch beide Eigenschaften (a = bq + r und 0  r  b–1) zustande.

Darstellung von natürlichen Zahlen zur Basis b 2.3.2 Satz. Sei b eine natürliche Zahl mit b  1. Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl n  1 eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahlen z0, z1, ..., zk (die Ziffern) so dass gilt n = zkbk + zk–1bk–1 + ... + z1b + z0 und 0  zi < b. Wir schreiben (zk zk–1 ... z1 z0)b und nennen dies die Darstellung von n zur Basis b; die Zahlen zi heißen die Ziffern dieser Darstellung. Beispiele: Die Zahl 47 hat im Zehnersystem die Darstellung (4 7)10, im Zweiersystem hat sie die Darstellung (1 0 1 1 1 1)2, im Sechzehnersystem hat sie die Darstellung (2 F)16.

nk–1 = nkb + zk mit 0  zk < b. Beweis Beweis. (a) Existenz. Wir berechnen die Ziffern wie vorher. Zunächst bestimmen wir z0 durch n = n0b + z0 mit 0  z0 < b. Dann bestimmen wir z1 durch n0 = n1b + z1 mit 0  z1 < b. Die Ziffer z2 wird bestimmt durch n1 = n2b + z2 mit 0  z2 < b. Usw. Wenn wir zu einer Stelle k kommen mit nk = 0, erhalten wir die letzte („höchste”) Ziffer zk. Diese ist so bestimmt: nk–1 = nkb + zk mit 0  zk < b.

Beweis (Fortsetzung) Einsetzen: n = n0b + z0 = (n1b + z1) b + z0 = n1b2 + z1 b + z0 = (n2b + z2)b2 + z1 b + z0 = n2b3 + z2b2 + z1 b + z0 = ... = (nkb + zk)bk–1 + zk–1bk–1 + ... + z2b2 + z1 b + z0 = zkbk + zk–1bk–1 + ... + z1b + z0. (b) Eindeutigkeit (ohne Beweis). 

Beispiele Beispiele. (a) Wir wandeln folgende Zahlen ins Zehnersystem um: (1 0 0 1)2 = 18 + 04 + 02 + 11 = 9 (2 1 0 1)3 = 227 + 19 + 03 + 11 = 64 (2 F)16 = 2 16 + 15 1 = 47 (1024)11 = 11331 + 0121 + 211 + 41 = 1357 (b) Wir wandeln die im Zehnersystem dargestellte Zahl 600 in das 2-er, 5-er und 16-er System um: 600 = 512 + 64 + 16 + 8, also 600 = (1 0 0 1 0 1 1 0 0 0)2 600 = 4125 + 425, also 600 = (4 4 0 0)5 600 = 2 256 + 5 16 + 8 1, also 600 = (2 5 8)16 .

Bemerkungen zum Rechnen Unsere Techniken zum schriftlichen Addieren, Multiplizieren und Dividieren beruhen entscheidend auf dem Stellenwertsystem: Wir bearbeiten jeweils nicht die vollständigen Zahlen, sondern jeweils nur eine Stelle (eventuell mit Übertrag von der vorherigen Stelle). Diese Operationen funktionieren in jedem Stellenwertsystem ähnlich. Beispiel: Addition im 2-er System: 1 0 1 1 1 + 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0

I, II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, VIIII, X, XI , ... Die römischen Zahlen Gibt es ein 1-er System? Ja! Man benutzt nur die Ziffer 0 (und schreibt dafür 1). Beispiel 5 = 11111. (Eine Zahl wird durch die entsprechende Anzahl von Strichen wiedergegeben.) Addition ist einfach: Man braucht die Zahlen nur hintereinander zu schreiben. Das römische Zahlensystem ist im Prinzip ein solches 1-er System. Die Römer haben nur zur Abkürzung großer Zahlen andere Zeichen verwendet: V, X, L, C, D, M. Zunächst begann die Zahlenreihe so: I, II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, VIIII, X, XI , ... Damit ist Addition immer noch einfach: man schreibt die zwei Zahlen nebeneinander, ordnet um und fasst gegebenenfalls zusammen.

2.4 Teilbarkeitsregeln Frage: Sei eine natürliche Zahl n in einem Stellenwertsystem, z.B. im Dezimalsystem gegeben. Kann man an den Ziffern erkennen, ob n durch eine bestimmte Zahl teilbar ist? „David-Goliath-Sätze“ Beispiel: Um zu erkennen, dass eine Zahl durch 2 teilbar ist, brauchen wir nur eine einzige Stelle anzuschauen! Endstellenregel: Man erkennt die Teilbarkeit an der Endstelle (Einerziffer) oder an den Endstellen. Quersummenregel: Man erkennt die Teilbarkeit an der Quersumme (oder einer Variante der Quersumme).

Teilbarkeit durch 2 2.4.1 Satz. Eine natürliche Zahl ist genau dann gerade (d. h. teilbar durch 2), wenn ihre Endziffer (“Einerziffer”) im Dezimalsystem gerade ist (also eine der Zahlen 0, 2, 4, 6, 8 ist). Beweis. (a) Vorbereitung. Sei n eine beliebige natürliche Zahl, und sei z0 ihre Endziffer. Dann hat n folgende Darstellung: n = zk10k + zk–110k–1 + ... + z110 + z0. Da die Zahl 2 ein Teiler von 10 ist, teilt 2 auch die Zahl zk10k + zk–110k–1 + ... + z110, in Formeln: 2  zk10k + zk–110k–1 + ... + z110. (*)

2  (zk10k + zk–110k–1 + ... + z110) + z0 = n. Eigentlicher Beweis (b) Eigentlicher Beweis: Wir müssen beide Richtungen zeigen. Zunächst sei n gerade. Zu zeigen: z0 ist gerade. Da n gerade ist, gilt 2  n. Formal heißt dies: 2  zk10k + zk–110k–1 + ... + z110 + z0. Wegen Hilfssatz 2.1.2 (a) und (*) ist folgende Zahl gerade: (zk10k+zk–110k–1+...+ z110 + z0) – (zk10k+zk–110k–1 +...+ z110) = z0. Also ist z0 gerade. Sei nun umgekehrt z0 gerade, also 2  z0. Es folgt 2  (zk10k + zk–110k–1 + ... + z110) + z0 = n. Also ist n gerade. 

Teilbarkeit durch 5 und 10 2.4.2 Satz. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre Endziffer im Dezimalsystem durch 5 teilbar ist, also eine der Zahlen 0 oder 5 ist). 2.4.3 Folgerung. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre Endziffer im Dezimalsystem 0 ist. Beweis der Folgerung. Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 5 teilbar ist; nach 2.4.1 und 2.4.2 ist das genau dann der Fall, wenn die Endziffer in {0, 2, 4, 6, 8 }  {0, 5} = {0} ist. 

Quersumme Definition. Sei n eine im Dezimalsystem dargestellte natürliche Zahl: n = zk10k + zk–110k–1 + ... + z110 + z0. Dann nennt man die Zahl Q(n) = zk + zk–1 + ... + z1 + z0 die Quersumme von n. Kurz: Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. Beispiele: Q(1024) = 1+0+2+4 = 7, Q(123456789) = 45.

9  zk(10k – 1) + zk–1(10k–1 – 1) + ... + z1(10 – 1). (**) Teilbarkeit durch 9 2.4.4 Satz. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme (im Dezimalsystem) durch 9 teilbar ist. Beweis. Vorbereitung: Sei n eine beliebige natürliche Zahl, und sei z0 ihre Endziffer. Dann hat n folgende Darstellung: n = zk10k + zk–110k–1 + ... + z110 + z0. Wir wissen: 9 teilt die Zahlen 9 (=10–1), 99 (= 100–1), 999 (= 1000–1), ..., 999...999 (= 10k – 1). Also gilt auch 9  zk(10k – 1) + zk–1(10k–1 – 1) + ... + z1(10 – 1). (**)

Eigentlicher Beweis Zunächst setzen wir voraus, dass n durch 9 teilbar ist. Wir müssen zeigen, dass dann Q(n) durch 9 teilbar ist. Wir wissen: 9  zk10k + zk–110k–1 + ... + z110 + z0. Mit Hilfssatz 2.1.2 (a) und (**) folgt, dass Q(n) durch 9 teilbar ist: 9  (zk10k+zk–110k–1 +...+ z110+z0) – (zk(10k–1) + zk–1(10k–1–1) +...+ z1(10–1)) = zk + zk–1 + ... + z1 + z0 = Q(n) Sei umgekehrt Q(n) durch 9 teilbar. Mit 2.1.2 (b) und (**) folgt: 9  (zk(10k – 1) + zk–1(10k–1 – 1) + ... + z1(10 – 1)) + (zk + zk–1 + ... + z1 + z0) = n. 

Teilbarkeit durch 3 2.4.5 Satz. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme (im Dezimalsystem) durch 3 teilbar ist. Beispiele: (a) 123456789 ist durch 3 teilbar. (b) Jede Zahl, die durch 9 teilbar ist, ist auch durch 3 teilbar. (c) Wie kann man X wählen, so dass 52148231X2487 durch 3 teilbar ist?

AQ(n) = zk – zk–1 + zk–2 – ... +/– z1 –/+ z0 Teilbarkeit durch 11 Definition. Sei n = zk10k + zk–110k–1 + ... + z110 + z0 eine natürliche Zahl. Dann nennt man die Zahl AQ(n) = zk – zk–1 + zk–2 – ... +/– z1 –/+ z0 die alternierende Quersumme von n. Kurz: Die alternierende Quersumme einer Zahl ist die alternierende (“einmal plus, einmal minus”) Summe ihrer Ziffern. Beispiele: AQ(1274) = 2, AQ(123321) = 0, AQ(240) = –2. 2.4.6 Satz. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist. Zum Beispiel ist n = 121242363484 durch 11 teilbar.

2.5 Der ggT Definition. Seien a und b zwei ganze Zahlen. Eine natürliche Zahl d heißt gemeinsamer Teiler von a und b, falls sowohl d  a als auch d  b gilt. Beispiele: (a) Gemeinsame Teiler von 6 und 10: 1 und 2. (b) Gemeinsame Teiler von –24 und 42: 1, 2, 3 und 6. (c) Gemeinsame Teiler von 0 und 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20. (d) Gemeinsame Teiler von 0 und a (> 0): Teiler von a. Bemerkungen. (a) Gemeinsame Teiler sind immer positiv. (b) Im allgemeinen gibt es mehr als einen gemeinsamen Teiler. (c) Die Zahl 1 ist in jedem Fall ein gemeinsamer Teiler von a und b.

Teilerfremde Zahlen Beobachtung: Je zwei ganze Zahlen haben mindestens einen gemeinsamen Teiler, nämlich die Zahl 1. Definition. Wir nennen zwei ganze Zahlen teilerfremd, wenn sie nur einen gemeinsamen Teiler haben. M.a.W. Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr einziger gemeinsamer Teiler die Zahl 1 ist. Achtung: “Teilerfremd” bedeutet nicht, dass die Zahlen keinen gemeinsamen Teiler haben! Beispiele: 11 und 13, 5000 und 333, 1999 und 2000 sind teilerfremd.

Größter gemeinsamer Teiler Definition. Seien a und b ganze Zahlen, die nicht beide gleich Null sind. Der größte gemeinsame Teiler von a und b ist die größte ganze Zahl unter den gemeinsamen Teilern von a und b. Beispiele. (a) 6 ist größter gemeinsamer Teiler von 12 und 18, denn die gemeinsamen Teiler sind 1, 2, 3, 6; unter diesen ist 6 ist größte Zahl. (b) Zwei Zahlen a und b sind teilerfremd, falls ihr größter gemeinsamer Teiler gleich 1 ist.

Der ggT Tatsache/Definition: Zu je zwei ganzen Zahlen a und b, die nicht beide gleich Null sind, existiert stets ein größter gemeinsamer Teiler; dieser ist eindeutig bestimmt. Er wird mit ggT(a, b) bezeichnet. Beispiele. (a) ggT(12, 18) = 6. (b) ggT(1001, 2001) = 1. (Denn: Jeder gemeinsame Teiler t von 1001 und 2001 teilt auch 2001 – 1001 = 1000. Also teilt t auch 1001 – 1000 = 1.) (c) ggT(–15, –21) = 3. (d) Für jede natürliche Zahl a gilt: ggT(a, 0) = a. (Klar: a ist der größte Teiler von a. Da a auch die Zahl 0 teilt, ist a = ggT(a, 0).)

Berechnung des ggT Es gibt im wesentlichen zwei Arten, den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen auszurechnen. Erste Art: Mit Primfaktorzerlegung: – funktioniert praktisch nur für kleine Zahlen, – man „sieht“ aber gut, dass es sich beim Ergebnis um den ggT handelt. Zweite Art: Mit euklidischem Algorithmus: – auch für große Zahlen sehr gut geeignet. – ist aber ein Algorithmus, der „mechanisch abgearbeitet“ wird.

ggT mit Primfaktorzerlegung Seien a und b natürliche Zahlen. Wir schreiben a und b als Produkte von Primzahlen (vgl. 2.2.4): a = p1e1p2e2...prer, b = p1f1p2f2...prfr mit natürlichen Zahlen ei und fi. (Wir erlauben auch ei = 0 und fj = 0, damit wir a und b als Potenzen der gleichen Primzahlen p1, ..., pr schreiben können.) Sei gi die kleinste der Zahlen ei und fi. D.h.: g1 ist die kleinste der Zahlen e1 und f1, g2 die kleinste der Zahlen e2 und f2, ... Dann ist ggT(a, b) = p1g1p2g2...prgr.

Beispiel Beispiel: Sei a = 150 und b = 45. Dann ist Somit ist e1 = 1, e2 = 1, e3 = 2 und f1 = 0, f2 = 2, f3 = 1. Es folgt g1 = 0, g2 = 1, g3 = 1. Somit ist ggT(a, b) = 203151 = 15.

Hilfssatz zur Berechnung des ggT 2.5.1 Hilfssatz. Seien a und b ganze Zahlen mit 0 < b < a. Seien q und r diejenigen ganzen Zahlen mit a = qb + r und 0  r < b. Dann gilt ggT(a, b) = ggT(b, r). Ist dies ein guter Hilfssatz? Ja, denn er führt die Berechnung des ggT großer Zahlen (a, b) auf die Berechnung des ggT kleinerer Zahlen (b, r) zurück. Eventuell muss man den Prozess wiederholen. Beispiel: ggT(2001, 1001) = ? 2001 = 11001 + 1000, 1001 = 1 1000 + 1; also ggT(2001, 1001) = ggT(1001, 1000) = ggT(1000, 1) = 1.

Beweis des Hilfssatzes Beweis. Wir zeigen, dass die gemeinsamen Teiler von a und b genau die gemeinsamen Teiler von b und r sind. Dann stimmen natürlich auch die größten gemeinsamen Teiler überein. Sei t ein gemeinsamer Teiler von a und b. Warum teilt t auch r? Das liegt an der Gleichung a = qb + r. Da t die Zahl b teilt, teilt t auch qb. Also teilt t auch a – qb = r. Nun sei umgekehrt t ein gemeinsamer Teiler von b und r. Zu zeigen: t teilt auch a und b. Da t sowohl b als auch r teilt, teilt t auch qb, und damit auch qb + r = a. Somit ist t ein gemeinsamer Teiler von a und b. 

Beispiel ggT(4711, 1024) = ? 4711 = 4 1024 + 615 ggT(4711, 1024) = ggT(1024, 615) 1024 = 1  615 + 409 ... = ggT(1024, 615) = ggT(615, 409) 615 = 1  409 + 206 ... ggT(615, 409) = ggT(409, 206) 409 = 1  206 + 203 ... ggT(409, 206) = ggT(206, 203) 206 = 1  203 + 3 ... ggT(206, 203) = ggT(203, 3) 203 = 67  3 + 2 ... ggT(203, 3) = ggT(3, 2) 3 = 1  2 + 1 ... ggT(3, 2) = ggT(2, 1) = 1.