Vorlesung 4: Roter Faden: Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen Evolution des Universums in der ART Roter Faden: Evolution des Universums

Friedmannsche Gl. und Newtonsche Mechanik Die Friedmannsche Gleichungen der ART entsprechen Newtonsche Mechanik + Krümmungsterm k/S2 + E=mc2 (oder u=c2) + Druck ( Expansionsenergie im heißem Univ.) + Vakuumenergie (=Kosmologische Konstante) Dies sind genau die Ingredienten die man braucht für ein homogenes und isotropes Universum, das evtl. heiß sein kann (Druck ≠ 0)

Heute: diese Zeit ausrechnen unter Berücksich- tigung der Dunklen Energie Aus Geschwindigkeitsmessungen kann man Vergangenheit und Zukunft des Universums rekonstruieren. Vergleiche mit Tennisball: wodurch wird er abgebremst? Schwerkraft oder Gravitation. Wenn mann Geschwindigkeiten entlang Bahn misst, kann man Zeitpunkt des Anfangs bestimmen Und berechnen wann er wieder zur Erde zurueckkehrt oder auch ob er ins Weltall verschwinden wird. So auch bei Messung der Geschwindigkeiten der Galaxien. Man kann fruehere Expansionsgeschwindigkeiten messen aus SN explosionen, deren Licht uns erst jetzt erreicht. Aus Dopplerverschiebung des Lichts dieser SN kann mann Geschwindigkeit bestimmen. Aus Helligkeit Kann man den Abstand bestimmen. Man findet eine beschleunigte Expansion, d.h. Expansion des Universums wird nicht nur durch Gravitation abgebremst, sondern erfaehrt auch eine Beschleunigung, wie z.b. Heliumballon durch die Erde angezogen wird, aber gleichzeitig durch die Wechselwirkung mit der umgebende Luft nach oben fliegt. Fuer einen Mondbewohner oder Astronaut im Weltall wuerde diese nach oben fliegende Heliumballon eine abstossende Gravitation bedeuten. Welche Wechselwirkung das Universum so eine beschleunigte Expansion erfahren laesst, ist nicht klar. Wir nennen es DE. Diese Energie macht ca. 73% der Energie des Universums aus.

Zum Mitnehmen Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen beschreiben Evolution eines homogenen und isotropen Universums. Daraus folgt mit p = α c2 : (t)  S(t) -3(1+α) S(t)  t 2/3(1+α) 2. Wenn Strahlung dominiert ( α = 1/3 ), dann gilt: S(t) = k0 t ½ 3. Wenn Materie dominiert (α = 0 ), dann gilt: S(t) = k1 t 2/3 4. Wenn Vakuumenergie dominiert ( = k), dann gilt: S(t) = k2 eHt (exponentielle Zunahme (Inflation) mit H = konstant) 5. Alter des Universums für  = 0.7: t  1/H0 14 .109 yr statt t= 2/3H0 10 .109 yr (älteste Galaxien > 13 .109 yr !)

Minkowski 4-dimensionale Raum-Zeit

Metrik = Vorschrift zur Längenmessung

Mathematische Beschreibung der Krümmung

Krümmung im 3-dim. Raum -> 4. Koordinate -> 4-dim. Euklidischer Raum

Robertson-Walker Metrik = Metrik in 4D-comoving coor. Für ein homogenes und isotropes Universum gilt: Metrik unabh. von ,θ, d.h. d = dθ = 0

Längen im gekrümmten Raum

Friedmann Gleichungen

Erste Friedman Gleichung nach Newton v =Friedmann für k=-2E/m Dimensionslose Dichteparameter:

Berücksichtigung der Expansionsenergie (1) (2) Differenziere (1) und benutze u=c2 ergibt die zweite Friedm. Gl dE=-pdV oder dE/dt = -p dV/dt - dV dp/dt Letzter Term doppelter Differentialterm, daher vernachlässigbar.

Kosmologische Konstante p

Kosmologische Konstante

Energieerhaltung aus Friedmann Gl.

Zeitentwicklung der Dichte

Zeitentwicklung der Dichte

Zeitentwicklung des Universums

Zeitentwicklung des Universums

Wie groß ist das sichtbare Universum für =1? Jetzt mit S(t) = kt2/3(1+) Daraus folgt:  =  d =  dt / S(t) oder mit S(t) = kt2/3(1+)  = c d = c1/ kt2/3(1+)dt = (3+3)/(1+3  )(c/k) t(1+3  ) /(3 +3 ) Oder R0= S(t)  = (3+3 )/(1+3 ) c t0 = 3ct0 für =0 (Materiedominanz) ct0 für =1/3 (Strahlungsdominanz) 0 ct0 für =-1 (Vakuumenergie) Wie berechnet man R0 für Kombination aller drei???? Nützlich: berechne nicht alles als Fkt. von S und t, sondern H und z, denn dies sind die beobachteten Größen. Beachte: Wellenlänge skaliert mit S!! D.h. 1+z=λobs/λemit=S0/S. ODER BEI z=1 war das Univ. nur halb so groß, bei z=1000 1/1000.

Inflation bei konstantem 0 Oder S(t) e t/ mit Zeitkonstante  = 1 /H Alter des Univ., d.h.beschleunigte Expansion durch Vakuumenergie jetzt sehr langsam, aber zum Alter t10-36s sehr schnell! Dieser Inflationsschub am Anfang, die durch die Symmetriebrechung einer vereinheitlichter “Urkraft”, wie durch GUT’s (Grand Unified Theories) vorhergesagt, ist die einzige Erklärung warum Univ. so groß ist und soviel Materie hat.

Alter des Universums mit  ≠ 0

Alter des Universums mit  ≠ 0

Alter des Universums mit  ≠ 0

Zum Mitnehmen Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen beschreiben Evolution eines homogenen und isotropen Universums. Daraus folgt mit p = α c2 : (t)  S(t) -3(1+α) S(t)  t 2/3(1+α) 2. Wenn Strahlung dominiert ( α = 1/3 ), dann gilt: S(t) = k0 t ½ 3. Wenn Materie dominiert (α = 0 ), dann gilt: S(t) = k1 t 2/3 4. Wenn Vakuumenergie dominiert ( = k), dann gilt: S(t) = k2 eHt (exponentielle Zunahme (Inflation) mit H = konstant) 5. Alter des Universums für  = 0.7: t  1/H0 14 .109 yr statt t= 2/3H0 10 .109 yr (älteste Galaxien > 13 .109 yr !)