Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Diese Präsentation bietet einen Einstieg in den Themenbereich „Lineare Systeme“. Damit ist das Lösen so genannter GLEICHUNGSSYSTEME gemeint. Die Präsentation ist über die Homepage der Wilhelm-Raabe-Schule jederzeit frei zugänglich. Die Weitergabe bzw. Vervielfältigung der Präsentation ist ausdrücklich erlaubt. Selbstverständlich dürfen sich auch ELTERN bzw. NACHHILFELEHRKRÄFTE gern mit dieser Präsentation beschäftigen. Der Verfasser möchte alle Nutzer dazu ermutigen, sich ggf. zur Präsentation zu äußern und bittet darum, zu diesem Zweck die auf der Homepage der Wilhelm-Raabe-Schule angegebenen Kontaktmöglichkeiten zu nutzen. Bei der Herstellung der Präsentation wurde ausschließlich frei – kostenlos – zugängliche Software benutzt. WORD und EXCEL sind über OPEN-OFFICE verfügbar. DynaGeo steht für Angehörige der Wilhelm-Raabe-Schule ohnehin frei zur Verfügung.

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Für diese Präsentation gilt – genau wir für alle anderen Präsentationen im Fach Mathematik – der Grundsatz: Nur ankucken nutzt gar nichts. Sinnvoll ist die Arbeit mit oder an dieser Präsentation nur dann, wenn jede Zeichnung selbst nachgezeichnet, jede Rechnung selbst nachgerechnet wird. Es gibt kein Zaubermittel, um schlau zu werden. Das gelingt nur durch eigene Arbeit

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Einige Anmerkungen, bevor wir mit dem Rechnen anfangen! Die Gleichung „2x – 7 = 13“ hat genau eine Lösung: x = 10 Die Gleichung „3x + y = 10“ hat viele Lösungen. Eine kleinen Teil dieser vielen Lösungen können wir in der Form einer Wertetabelle darstellen: (Dazu formen wir die Gleichung um in „y = -3x + 10“) Noch besser wäre es natürlich, diese vielen Lösungen der Gleichung einfach zu zeichnen. Das ergibt – wie man in der neunten Klasse ganz sicher weiß – eine so genannte Gerade. Siehe dazu die Abbildung links () x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 y 25 22 19 16 13 10 7

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Noch einige ganz praktische Anmerkungen – fast ohne RECHNEN: NR. 1 - Die Fläche eines Rechtecks beträgt 168 cm². oder NR. 2 - Eine Gerade verläuft durch den Punkt P(4/2). NR. 3 - Vater und Sohn sind zusammen 100 Jahre alt. NR. 4 - Drei Portionen Pommes und vier Döner kosten zusammen 14,40 €. oder – eine der Lieblingsaufgaben der Mathematiklehrer: NR. 5 - Auf der Wiese tummeln sich Hühnchen und Kaninchen. Insgesamt sind es 88 Tierchen. Wir prüfen diese Gleichungen auf den folgenden Seiten!

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme NR. 1 - Die Fläche eines Rechtecks beträgt 168 cm². Das Rechteck kann man zeichnen: Die Fläche beträgt 14 * 12 = 168 cm² OKAY - Aber: Gibt es noch andere - passende – Rechtecke?

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Wie wäre es mit diesem Rechteck? Fläche: 6 * 28 = 168 cm² … oder mit diesem? Fläche: 7 * 24 = 168 cm²  … oder aber – ohne Zeichnung – mit 1 * 168 = 168 cm² … oder mit 2 * 84 = 168 cm² … oder mit 3 * 56 = 168 cm² … oder mit 4 * 42 = 168 cm² … oder … oder … oder !

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme NR. 2 - Eine Gerade verläuft durch den Punkt P(4/2). Die Aufgabe ist spielend leicht lösbar. Koordinatensystem zeichnen – Punkt eintragen – Gerade zeichnen …. und noch eine Gerade … und noch eine Gerade … und noch eine ……… Welches mag nur die richtige Gerade sein?

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme NR. 3 - Vater und Sohn sind zusammen 100 Jahre alt. Diese Aufgabe ist am abenteuerlichsten – wie überlegen gemeinsam: 1.) Der Vater ist 51 Jahre alt, dann ….. 2.) Der Vater ist 99 Jahre alt, dann ….. 3.) Der Vater ist 30 Jahre alt, dann ….. 4.) Der Vater ist 120 Jahre alt, dann ….. Bitte prüfe alle vier Varianten! Natürlich gibt es auch vernünftige Lösungen: Vater 65 Jahre – Sohn 35 Jahre oder Vater 68 Jahre – Sohn 32 Jahre oder Vater 62 Jahre – Sohn 38 Jahre

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme NR. 4 - Drei Portionen Pommes und vier Döner kosten zusammen 14,40 €. + 3 * 1,20 + 4 * 2,70 = 14,40 € 3 * 0,60 + 4 * 3,15 = 14,40 € 3 * 4,00 + 4 * 0,60 = 14,40 € 3 * 1,00 + 4 * 2,85 = 14,40 € 3 * gratis + 4 * 3,60 = 14,40 € Was gilt denn nun?

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme NR. 5 - Auf der Wiese tummeln sich Hühnchen und Kaninchen. Insgesamt sind es 88 Tierchen. Wir machen etwas MATHEMATIK und übersetzen diese Aussage in MATHEMATISCH: h + k = 88 Wenn nur ein Huhn da ist, müssen es 87 Kaninchen sein. Wenn nur zwei Hühner da sind, müssen es 86 Kaninchen sein. Wenn nur 3 Hühner da sind, müssen es 85 Kaninchen sein. Wenn nur 4 Hühner da sind, müssen es 84 Kaninchen sein. Wenn nur 5 Hühner da sind, müssen es 83 Kaninchen sein. Wenn nur 6 Hühner da sind, müssen es 82 Kaninchen sein. Wenn nur 7 Hühner da sind, müssen es 81 Kaninchen sein. Wenn nur 8 Hühner da sind, müssen es 80 Kaninchen sein. Wenn nur 9 Hühner da sind, müssen es 79 Kaninchen sein. Wenn nur zehn Hühner da sind, müssen es 78 Kaninchen sein. Und trotz des langes Textes sind wir nicht ein Stück schlauer geworden.

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Merke: Viele Aussagen sind nicht eindeutig lösbar, weil es eine große Anzahl richtiger Lösungen gibt. Um eine eindeutige Lösung zu erhalten, braucht man eine zweite Aussage.

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Die Fläche eines Rechtecks beträgt 168 cm². + Der Umfang dieses Rechtecks ist 62 cm groß. Lösung: Die Länge a sei 24 cm; die Breite b sei 7 cm. A = 24 * 7 = 168 cm² u = 2 * 24 + 2 * 7 = 48 + 14 = 62 cm Wir beschäftigen uns in Kürze damit, wie diese Werte ausgerechnet werden können.

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Eine Gerade verläuft durch den Punkt P(4/2) + und den Punkt Q (-2/5) Lösung: Von den vielen ( blauen ) Geraden durch den Punkt P geht nur eine einzige auch durch Q. Es ist die rote Gerade.

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Vater und Sohn sind zusammen 100 Jahre alt. + Der Sohn ist 28 Jahre jünger als sein Vater. Lösung: Vater ist 64 Jahre – Sohn ist 36. Beweis: 64 + 36 = 100 (Vater und Sohn sind zusammen 100 Jahre alt.) 36 = 64 - 28 (Der Sohn ist 28 Jahre jünger als sein Vater.)

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Problem: Wie wird die Lösung ausgerechnet? Dazu prüfen wir zunächst Aufgaben aus der Geometrie, die wir auch zeichnen können. Denn beim Zeichnen kann man sofort erkennen, ob eine Lösung richtig ist oder nicht.

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Die Aufgabe: Eine Gerade verläuft durch die Punkte A(-3/5) und B(6/-1). Wie lautet die Funktionsgleichung dieser Geraden?

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Eine Gerade verläuft durch die Punkte A(-3/5) und B(6/-1). Die beiden Punkte kann man zeichnen:

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Eine Gerade verläuft durch die Punkte A(-3/5) und B(6/-1). Die beiden Punkte kann man zeichnen und durch eine Gerade verbinden:

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Lösung aus der Zeichnung ablesen: y = mx + b b = 3 ; m = -2/3 also:

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Eine Gerade verläuft durch die Punkte A(-3/5) und B(6/-1). Rechnung: 1.) 5 = -3 m + b  b = 5 + 3 m 2.) -1 = 6 m + b  b = -1 – 6 m b = b also: 5 + 3 m = -1 – 6 m sortieren: 3 m + 6 m = -1 – 5 zusammenfassen: 9 m = - 6 ausrechnen: m = -6/9 = -2/3 und: b = 5 + 3*(-2/3) = 5 – 2 = 3

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Ein zweites Beispiel: Die Geraden y = - 0,5 x + 3 und y = 2 x - 2 haben genau einen Schnittpunkt, der in der Zeichnung sofort erkennbar ist.

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme y = - 0,5 x + 3 y = 2 x - 2

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Es ist der Punkt S(2/2). y = - 0,5 x + 3 und y = 2 x - 2 haben an diesem Punkt den gleichen x-Wert und den gleichen y-Wert: y = y Also: - 0,5 x + 3 = 2 x - 2 ... und das kann man ausrechnen:

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme - 0,5 x + 3 = 2 x - 2 Sortieren nach dem „Aschenpuddel-Prinzip“: - 0,5 x – 2 x = - 2 – 3 Zusammenfassen: -2,5 x = - 5 Dividieren: x = 2 Einsetzen: y = 2 * 2 - 2 Ausrechnen: y = 2 Also: S ( 2 / 2 )

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Zeichnung und Rechnung führen also zum gleichen Ergebnis!

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Es ist möglich, auch Gleichungen mit zwei Unbekannten auszurechen, wenn dazu auch zwei Gleichungen vorhanden sind. Also: (1) Vater und Sohn sind zusammen 100 Jahre alt. (2) Der Sohn ist 28 Jahre jünger als sein Vater. Beide Aussagen sind Gleichungen: (1) v + s = 100 (2) s = v - 28 Für die Berechnung dieses Systems – mehr als eine Gleichung nennt man ein System – gibt es mehrere Verfahren:

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Einsetzen: In dem Gleichungssystem (1) v + s = 100 (2) s = v – 28 ist die Gleichung (2) bereits nach „s“ aufgelöst. s hat den Wert „v - 28“. Diesen Wert stellt man in Gleichung (1) genau an die Stelle des „s“. Aus „ v + s = 100“ wird damit (1) v + v – 28 = 100 ausrechnen zu (1) 2v = 128 dividieren (1) v = 64 Antwort: Papa ist 64 Jahre alt. Der Sohn ist 64-28 Jahre alt – also ist der Sohn 36 Jahre.

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Es gibt drei unterschiedliche Verfahren, lineare Systeme – also zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten – auszurechnen: Gleichsetzen! Einsetzen! Addieren! Und dies zeigen wir anhand der weltberühmten Piratenaufgabe .

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Räuber und Piraten nehmen an einem großen Gelage teil. Jeder der anwesenden Räuber isst 4 Hähnchen und trinkt 5 Bier. Ein Pirat dagegen isst nur 3 Hähnchen, trinkt dafür aber 7 Bier. Zusammen werden bei dem großen Mahl 65 Hühnchen gegessen und 117 Bier getrunken.

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Es ist unbekannt, wie viele Räuber und wie viele Piraten an dem Fest beteiligt sind. Deshalb: RÄUBER – x PIRATEN - y

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Die Biergleichung: RÄUBER * 5 und PIRAT * 7 ergibt zusammen 117 5x + 7y = 117

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Die Hähnchengleichung: RÄUBER * 4 und PIRAT * 3 ergibt zusammen 65 4x + 3y = 65

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme

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Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Dieses Verfahren ist am kürzesten – dafür ist die Gefahr, einen Vorzeichenfehler zu machen, relativ groß.

Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme Zur Übung folgen in genau gleicher Form noch zwei Varianten der weltberühmten Bauernhofgleichung: Auf einem Bauernhof tummeln sich bunt durcheinander Entchen und Kaninchen. Der Bauer zählt 120 Köpfchen und 340 Beinchen. 2. Auf einem Bauernhof tummeln sich bunt durcheinander Schweinchen und Täubchen. Die Bäuerin zählt 89 Köpfchen und 240 Beinchen.