Diese Fragen sollten Sie beantworten können Was ist das Ziel der Vorlesung - Rechner zur Unterstützung der Berechnung technischer Vorgänge Was ist ein Modell - Abstraktion Was sind die mathematischen Grundbeziehungen technischer Modelle - Erhaltungsgleichungen in integraler und differenzieller Form Was ist ein Abstrakter Datentyp - Kapselung von Daten Was ist ein Modul - Kapselung von Funktionalitäten Drei Auswirkungen der Endlichkeit von Rechnern Rundung, Diskretisierung, Abbruch Was bedeuten Kondition, Konsistenz und Konvergenz Rundungsfehler, Diskretisierungsfehler, Abbruchfehler beherrscht Wie diskretisieren wir Funktionen

Diskretisierung von Funkionen -1 Neben der diskreten Darstellung der Zahlen interessieren in der Numerik vor allem die diskrete Darstellung von Verläufen (Funktionen) und der darauf möglichen Operationen (vor allem Integration und Differentiation). Drei Möglichkeiten der Diskretisierung von Verläufen sollen im Rahmen dieser Vorlesung behandelt werden. Ausgang ist y = f(x) x steht für die unabhängigen Variablen, y steht für die abhängigen Variablen, f gibt den Verlauf an und wird im Folgenden als Operation auf x gedeutet, die die Gerade y ergibt. a) Diskretisierung der unabhängigen Variablen wird durch Werte yi = f(xi) dargestellt. Für weitere Operationen kann zwischen den Werten yi interpoliert werden. Als Interpolationsfunktion werden häufig Lagrange-Polynome verwendet.

Diskretisierung von Funktionen -2 b) Diskretisierung der abhängigen Variablen Wählbar sind die Entwicklungsfunktionen Ni(x), die Bedeutung der Entwicklungskoeffizienten ai und die Art der Näherung von c) Diskretisierung durch statistische Methode wird über Werte beschrieben, wo xi zufällig bestimmt und nach verteilt sind.

Diskretisierung der abhängigen Variablen Durch die Diskretisierung der Unabhängigen nähert man y so, daß y und an den Knoten übereinstimmen. Für viele Anwendungen sind andere Anpassungen besser. Man erhält sie durch Diskretisierung der abhängigen Variablen Ni(x) sind bekannte Entwicklungs- oder Basisfunktionen. ai sind die Entwicklungskoeffizienten. Zu ihrer Bestimmung ist ein Kriterium, das angibt, wie die Näherung erfolgen soll, nötig. Eine häufig verwendete Anpassungsmethode ist die Methode der gewichteten Residuen. Sie versucht, den Gesamtfehler integral zu minimieren. Dazu führt man Wichtungsfunktionen wi ein und fordert

Methode der gewichteten Residuen Die Zahl der Wichtungsfunktionen entspricht dabei der Zahl der anzupassenden Unbekannten ai. j läuft also wie i von 0 bis n. Mit dieser Beziehung erhält man durch Einsetzen der n+1 Wichtungsfunktionen wj gerade n+1-Gleichungen. Aus diesen können die Entwicklungskoeffizienten ai bestimmt werden. Voraussetzung dafür ist, dass die Wichtungsfunktionen linear unabhängig sind, d.h. nicht durch lineare Transformationen ineinander überführt werden können. Mit der Abkürzung hat das Gleichungssystem folgende Form

Beispiel: Näherung von y =x2

Stückweise Näherung Häufig möchte man sich bei der Näherung auf Polynome niederer Ordnung beschränken. Um trotzdem kompliziertere Verläufe darstellen zu können, unterteilt man den Bereich, in dem die Funktion genähert werden soll, in m-Teilbereiche (Basisgebiete, Elemente), für die man je separat eine Näherung bestimmt. Man fordert Stetigkeit der Näherungen an den Anschlußstellen und erreicht das dadurch, daß je eine Stützstelle auf dem Rand liegt. Es gilt dann sind die im Teilbereich j gültigen Interpolations- oder Ansatz-Funktionen je der Ordnung nj Die Näherung heißt stückweise stetig.

Alternative Wahlen der Entwicklungskoeffizienten Folgende Wahlen sind besonders häufig: d.h. Lösung an einem Punkt. Dann sind die Basisfunktionen die Lagrange-Funktionen d.h. Steigung an einem Punkt. Dann sind die Basisfunktionen Polynome (Ableitungen an einer Stelle) oder Hermitesche Funktionen (Ableitungen am linken und rechten Rand). d.h. mittlere Lösung im Gebiet. Dann sind die Basisfunktionen in der Regel problemabhängige Spezialfunktionen. d.h. mittlere Steigung (häufig für ein Oberflächenelement definiert).

Beispiel: Taylor-Reihenentwicklung Folgende Festlegungen führen zur Taylor-Entwicklung: Entwicklungsfunktionen Polynome von (x - xo) Entwicklungkoeffizienten Wert und Ableitung an Stelle x0: Art der Näherung y und stimmen an der Stelle x0 in Wert und allen Ableitungen bis zur Ordnung n überein.

Taylor-Reihenentwicklung -2 Ergebnis der Näherung Verstümmelungsfehler gleich erstes vernachlässigtes Glied Konvergenz

V 4: Nullstellensuche Teil II: Rechner als endliche Maschine Kap. 4: Operationen auf diskrete Werte am Beispiel iterativer Verfahren Inhalt: Nullstellensuche Nichtlineare Gleichungen Experimente: Bestimmung von x aus x2 - a = 0 nach verschiedenen Verfahren Lösung von x3 = 1 mit verschiedenen Startwerten

Das sollten Sie heute lernen Grundverständnis iterativer Verfahren Umsetzung in ein Programm zur Nullstellensuche für beliebige Funktionen (Übungen) Schwierigkeiten nichtlinearer Probleme

Nullstellensuche Der Algorithmus heißt Iteration. Zu jedem Problem existiert ein Umkehrproblem Die Bestimmung des Wertes xp zu einem vorgegebenen Wert yp heißt Nullstellensuche. Zu lösen ist das Problem Für komplizierte Verläufe von f(x) kann dies nur näherungsweise geschehen. Folgender Algorithmus hat sich bewährt: Nähere xp durch Berechne Für sonst Der Algorithmus heißt Iteration.

Nullstellensuche -2 Die Iteration wird also abgebrochen, wenn kleiner als eine vorgegebene Schranke  ist. Wird diese Schranke unterschritten, so sagt man, die Folge der sei konvergent. Folgende Fragen sind zu klären: a) Wie findet man eine passende Iterationsvorschrift? b) Welche Anfangswerte sind zu wählen? c) Unter welchen Bedingungen konvergiert die Folge der ? d) Wie schnell konvergiert die Folge der ?

Beispiel: x2 - a = 0 - iterative Lösung Aufgabe: Bestimme x so, daß x2 = a erfüllt ist, d.h. Mögliche Iterationsvorschriften: Das Verfahren 3 heißt Newton Methode

Beispiel: x2 - a = 0 - Konvergenzabschätzung Für die drei Iterationsvorschriften gilt: Die Iterationsvorschrift ist also nicht konvergent. Die Iterationsvorschrift ist nur für Werte a <1 konvergent Die Iterationsvorschrift ist immer konvergent. Ihr Konvergenzverhalten wird von F‘‘ und x2 bestimmt.

Beispiel: x2 - a = 0 - Konvergenzabschätzung Durch eine Fehleranalyse können die drei Verfahren unterschieden werden.

Kondition bei Beispielansätzen Das bedeutet für die drei Iterationsvorschriften Die Iterationsvorschrift ist also nicht konvergent Die Iterationsvorschrift ist nur für Werte a > 1 konvergent. Die Iterationsvorschrift ist immer konvergent. Ihr Konvergenzverhalten wird von F“ und  x2 bestimmt.

Konvergenzabschätzung Für die Konvergenzabschätzung ist also die Kondition am aktuellen Lösungspunkt zu bestimmen. Daraus folgt: a) Konvergenz ist nur möglich, wenn b) Gilt spricht man von monotoner, sonst von alternierender Konvergenz. c) Ändert sich stark, so kann die Konvergenzgeschwindigkeit durch den Anfangswert bestimmt werden. d) Bei monotoner Konvergenz kann aus der relativen Genauigkeit auf Konvergenz geschlossen werden.

Konvergenzverbesserung bei Iterationen Bei monotoner Konvergenz kann man aus aufeinanderfolgenden Schritten auf die Konvergenzrate schließen. Definiert man und gilt so folgt, daß man aus xi eine neue Lösung bestimmen kann. Konvergiert schneller als xi, wenn man ersetzt (Aitken-Methode). Für monotone Konvergenz muß gelten:  ist der Überrelaxationsfaktor.

Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen Zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung mit einer Variablen x der Gestalt f x) = 0 gibt es verschiedene Typen von Verfahren zur iterativen Lösung. 1. Newton-Verfahren Bei nichtlinearen Problemen kann es schwierig sein, zu bestimmen. Geschieht dies durch eine lineare Interpolation erhält man das Sekantenverfahren. 2. Einschließungsverfahren Liegt die Lösung in einem Intervall , so kann man die Lösung verbessern, indem man einen Zwischenpunkt bildet und als neues Intervall dasjenige nimmt, für das das Produkt der Funktionswerte an den Randpunkten negativ ist:

Konvergenzordnung der Iterationsverfahren Beim Iterationsverfahren werden durch eine Iterationsvorschrift der Gestalt Folgen bestimmt, für welche gelten soll. Ohne weitere Voraussetzung ist ihre Konvergenzordnung linear - also verhältnismäßig langsam. Als typisches Verfahren von quadratischer Konvergenz gilt das Von überlinearer Konvergenzordnung ist das damit verwandte

Diese Fragen sollten Sie beantworten können Was ist ein iteratives Verfahren Wie findet man eine passende Iterationsvorschrift? Welche Anfangswerte sind zu wählen? Unter welchen Bedingungen konvergiert eine Iterationsfolge Wie schnell konvergiert eine Iterationsfolge Was ist eine Newton Iteration Welche Probleme treten bei nichtlinearen Gleichungen auf

Iterationsverfahren Viele Probleme lassen sich umformulieren in eine Nullstellenbestimmung. So auch die Aufgabe x²=a in f(x)=x²-a=0, gesucht wird x. Indem f(x)=0 so umge- formt wird, daß x=(x) gilt, ergibt sich die Iterationsvorschrift xneu=(xalt) wo- bei xneu für den neu berechneten Wert steht der rekursiv in xalt eingesetzt wird. Für den ersten Wert xalt muß ein Startwert vorgegeben werden. Für x²=a ergibt sich z.B. a) (x) = a/x b) (x) = a+x-x² (Es sind unendlich viele Umformungen möglich) c) (x) = (x²+a)/2x die letzte Iterationvorschrift (Newton) ergibt sich aus (x)=x-f(x)/f'(x) Der Versuch wird durch Klick gestartet

Das Newtonsche Verfahren für einfache Nullstellen Die Funktion f sei zweimal stetig differenzierbar im I=[a,b] und besitze in (a,b) eine einfache Nullstelle , es seien also f()=0 und f'=() .Die Schrittfunktion lautet (x)= x - f(x)/f'(x). Versuch: Nullstellensuche bei nichtlinearer Gleichung: y=x³ mit y=1 ergibt (x)= x - (x³-1)/3x². Lösungen sind: Der Versuch wird durch Klick gestartet