Numerik partieller Differentialgleichungen Teil 2: Partielle Differentialgleichungen Kap. 3: Partielle Differentialgleichungen Inhalt: Einführung in die Theorie partieller Differentialgleichungen Beispiele für partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung Integrale Formen partieller Differentialgleichungen Musterlösungen

Grundbegriffe aus der Theorie partieller Differentialgleichungen Gleichungen zwischen Funktionen und ihren Ableitungen heißen Differentialgleichungen (Dgl). Man unterscheidet gewöhnliche Differentialgleichungen und partielle Differentialgleichungen. Gewöhnliche Differentialgleichungen enthalten nur gewöhnliche Ableitungen. Als Beispiel sei die Schwingungsgleichung angeführt: Differentialgleichungen mit einer unabhängigen Variablen sind immer gewöhnliche Differentialgleichungen. Differentialgleichungen mit mehreren unabhängigen Variablen enthalten gewöhnlich partielle Ableitungen nach den einzelnen Variablen. Man spricht dann von partiellen Differentialgleichungen. Sie werden entweder direkt oder in Operatorform angeschrieben. Sei L der Operator so lautet die Schwingungsgleichung L y = f(t) L kann verschieden definiert werden. Partielle Differentialgleichungen enthalten Ableitungen nach mehreren unabhängigen Variablen. Die wichtigsten Unabhängigen sind die Ortsvariablen x, y und z und die Zeit t. Die abhängigen Variablen entsprechen dem Anwendungsgebiet. Beispiele sind Masse, Energie, Impuls, Temperatur oder Druck. Im Folgenden wird die Abhängige mit  oder y bezeichnet, wenn keine physikalisch e Vorstellung mit der Gleichung verbunden werden soll. Ansonsten wird die übliche physikalische Bezeichnung verwendet (z.B. T für Temperatur). Die Dimension einer Differentialgleichung entspricht der Zahl der unabhängigen Variablen. Kommen mehrere abhängige Variable vor, so spricht man von einem System von Differentialgleichungen. Die Ordnung n einer Differentialgleichung gibt die höchste Ableitung in der Differentialgleichung an. Eine Differentialgleichung heißt linear, wenn ihre Koeffizienten nicht von den abhängigen Variablen oder ihren Ableitungen abhängen; halb-linear, wenn in den Randbedingungen nichtlineare Funktionen der Abhängigen oder ihren Ableitungen vorkommen; quasi-linear, wenn auch in den Koeffizienten der Differentialgleichung Abhängigkeiten der Lösungen auftreten, nicht-linear, wenn die Differentialgleichung Potenzen von Ableitungen enthält.

Grundbegriffe aus der Theorie partieller Differentialgleichungen -1 Entsprechend heißt ein Operator linear, wenn gilt L(a u + b v) ) = a L u + b L v Eine Differentialgleichung heißt homogen, wenn ihre rechte Seite verschwindet. Differentialgleichungen, die physikalische Geschehen beschreiben sollen, sind nur sinnvoll, wenn a) eine Lösung existiert, b) genau eine Lösung existiert - dazu sind genau n Rand bzw. Anfangsbedingungen anzugeben, c) die Lösung relativ stabil ist. Jede Differentialgleichung der Ordnung n kann in ein äquivalentes System von n Differentialgleichung 1. Ordnung transformiert werden. Man erreicht das durch Transformation der Art: Die einfachste partielle Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung der Dimension 2. Für eine abhängige Variable und die Ordnung 2 lautet die allgemeine Form der linearen Differentialgleichung: Analog den Flächen zweiter Ordnung unterteilt man diese Differentialgleichung entsprechend den Werten, die  = B2 -4AC annimmt > 0 hyperbolisch für  = 0 ist die Dgl parabolisch < 0 elliptisch. Die drei Klassen repräsentieren verschieden physikalische Geschehen und verhalten sich numerisch sehr unterschiedlich.

Numerische Methoden Klassifizierung partieller Differentialgleichungen Allgemeine Form + Rand-/Anfangs-Bedingungen Alternative Form über < elliptisch (e) = 0 parabolisch (p) > hyperbolisch (h) Formale Aufteilung

Klassifizierung partieller Differentialgleichungen