Minimieren ohne Ableitungen Potentialanpassung mit einem Least-Squares-Algorithmus nach Powell (1965) Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

Übersicht Problemstellung Übliche Verfahren Ansatz von Powell Beispielrechnungen Nächste Schritte Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

Problemstellung physikalisch Gesucht: Das Potential (z.B. durch Punkte, zwischen denen interpoliert wird). Gegeben: Die Wirkung (z.B. durch die Kräfte auf die Atome) Welches Potential verursacht Kräfte, die den gegebenen am besten entsprechen? Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

Problemstellung mathematisch Jedes Potential (xi), i=1..n verursacht Kräfte Fj((xi)), j=1..m auf die ⅓ m Atome. Ein Potential ist umso besser, je näher die Kräfte den Sollkräften Fjsoll kommen. Die quadrierten Differenzen zwischen Kraft und Sollkraft werden aufsummiert: Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

Noch mehr Mathematik Bei bestmöglicher Übereinstimmung von Sollkräften wird U(xi) minimal. Damit ist das Problem bestimmt: Gesucht sind {xi}, so dass U(xi) den minimalen Wert annimmt. Das entspricht dem Auffinden des Minimums einer Funktion im Rn. Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

Ein erster Lösungsweg Der negative Gradient weist in die Richtung des Minimums. Wenn wir immer dem Gradienten folgen, landen wir irgendwann mal in einem (lokalen) Minimum. Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

Der Gradienten-Algorithmus Wir rechnen an einem Startpunkt ξ Rn den Gradienten aus und folgen ihm, bis die Funktion minimal wird. An dieser Stelle steht der Gradient senkrecht auf der bisherigen Richtung. Wir berechnen den neuen Gradienten und folgen ihm wieder bis zum Minimum. Diese Schritte werden so lange wiederholt, bis sich die Funktion nicht weiter ändert. Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

Probleme Der Gradient muss numerisch bestimmt werden. Der Algorithmus ist nicht an die spezielle Struktur von U(x) angepasst. Der Algorithmus „vergisst“ nach jedem Schritt, was er bislang über die Funktion gelernt hat. Ungünstige „Geländeformen“ führen bisweilen zu umständlichen Wegen. Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

Unwegsames Gelände xj xi Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

1. Verbesserung Nach der ersten Minimalisierung in Richtung w steht der Gradient senkrecht auf w. Damit der nächste Schritt in Richtung v nicht diesen ersten Schritt zunichte macht, sollte er so verlaufen, dass der Gradient weiterhin senkrecht auf w steht. Das ist der Fall, wenn w zu v konjugiert ist: 0=w·A·v, A ist die Hessematrix von U(x). Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

Generalized least squares Sei die zu minimierende Funktion. Sei ξ die genäherte Position des Minimums. Wenn das Minimum sich tatsächlich bei ξ+δ befindet, dann ist Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

Taylor-Entwicklung Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

Der Ansatz von Powell Seien d(1), d(2),...,d(n) n linear unabhängige Richtungen und γ(k)(i) die Ableitung von u(k) in Richtung d(i) (numerisch bestimmt). Dann ist die Korrektur δ eines genäherten Wertes ξ Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

Rückführung auf Lin. Gl. Syst. Damit ist das Problem auf ein lineares Gleichungssystem zurückgeführt; der Lösungsvektor q (und damit δ) wird mit Standardverfahren berechnet. Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

Eindimensionale Minimierung Wir wissen jetzt, welche Richtung am vielversprechendsten ist. Wie weit müssen wir gehen? Eindimensionale Minimierung: Ein Minimum wird erst eingeschachtelt (a<b<c; mit U(b)<U(a), U(c)), dann mit parabolischer Interpolation eingeengt. Ergebnis: Ein λm, so dass U(ξ+λmδ) minimal. Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

Der Kreis schließt sich ξ →ξ+λmδ Ein d(t) wird durch δ ersetzt, so dass |p(t)·q(t)|=max|p(i)·q(i)|, i=1..n. γ(k)(t) und p(t) werden aktualisiert. Das Verfahren wird bis zur Konvergenz wiederholt. Startwerte: d(i) = Koordinatenrichtungen Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

Vorteile Neue Richtungen sind konjugiert zu den bisherigen Suchrichtungen. Numerische Ableitungen müssen nur am Anfang in großer Zahl berechnet werden. Verfahren funktioniert auch für viele Variablen und Stützstellen Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

Powell in Aktion Beispiel: Lennard-Jones-Potential in fcc-Kristall. 19 Punkte. 192 Atome in 6 Konfigurationen (also knapp 600 Kräfte). Ausgangspunkt des Fits war ein Null-Potential. Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

Fitten an Lennard-Jones 12 10 8 6 4 2 -2 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

Skalierung Die Zeit pro Schritt skaliert linear mit der Zahl der Stützstellen Lösung des Linearen Gleichungssystems: Skaliert mit n³ (ließe sich zu n² verbessern, da sich immer nur eine Spalte und eine Zeile der Matrix ändern). Skalierung der Zahl der benötigten Schritte ist noch nicht bekannt. Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

Was kostet Rechenzeit? Zahl der Atome wächst nach außen (von 32 auf 192). Bei relativ kleinem n kostet die Kraftberechnung die meiste Zeit. Aber: Matrixzerlegung skaliert mit n³! Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

Schwierigkeiten allgemein Viele Funktionsaufrufe in der linearen Minimierung, schlechtere Minimierung bedeutet aber mehr Iterationen. Tendenz zur linearen Abhängigkeit der Richtungsvektoren kann nicht ausgeschlossen werden. Abbruchbedingungen nicht trivial. Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

Schwierigkeiten konkret Kann nur fitten, wenn auch Abhängigkeiten vorhanden. Nachbartabellen können sehr umfangreich werden, daher hoher Speicherbedarf. Eichfreiheitsgrade müssen noch implementiert werden. Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

Wie geht‘s weiter? Mehr Potentiale Mehr Konfigurationen EAM-Potentiale Eichfreiheitsgrade Und natürlich: Ab-initio-Daten! Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer

Literatur M.J.D. Powell, CompJ, 7 (1965), Is. 4 Teeseminar 22.11.2002 Peter Brommer