Operations Research Vorlesung/Übung im SS 2008 Professor Dr. Egbert Kahle Veranstaltungsbeginn ab 7.4. : 16.15 Uhr Klausur: wird noch bekannt gegeben

Inhalt 1. Einführung (Begriff und Inhalt von OR) 2. Lineare Programmierung -Simplex Algorithmus 3. Sonderfälle 4. Postoptimale Rechnungen 5. Mehrzielprobleme 6. Dualität 7. Netzplantechnik 8. Tourenplanung

1. Einführung Begriff und Inhalt von Operations Research Der Begriff wurde im 2. Weltkrieg in den USA für die Analyse von Wirkungen militärischer Operationen geprägt und dann auf wirtschaft- liche Probleme übertragen. In UK oft als Operational Research und in Deutschland auch als Unternehmensforschung, Optimalplanung oder Optimierungsrechnung bezeichnet.

Definition: Anwendung mathematischer Methoden zur Vorbereitung optimaler Entscheidungen Voraussetzung: Schaffung eines formalen Modells, das die Einflußgrößen der Wirkungen sachgerecht abbildet. Ökonomisches Prinzip: Gegebenes Ziel - minimaler Mitteleinsatz Gegebener Mitteleinsatz - Maximale Zielerr.

Daraus folgen Anforderungen für die Formu- lierung mathematischer Modelle reale Entscheidungs- mathematisches situation Entsch.modell reale Entscheidung mathematische Modellösung

Fehlerquellen - Abbildungsfehler - Modellorientiertheit ( Unterdrückung von Problemeigenschaften oder -variablen, die nicht ins Modell passen) - Fehlerhafte Algorithmenanwendung - Abweichungen bei der Rückinterpretation Modellorientierung vs. Problemorientierung

Problemtypen von OR - Kombinatorische Probleme = Reihenfolgeprobleme = Transportprobleme = Optimierung von Produktionsprogrammen - Lagerhaltungsprobleme - Ersatzprobleme - Wartezeitprobleme - Konkurrenzprobleme

Verfahren des OR - Statische Programmierung = Lineare Programmierung = Nicht-lineare Programmierung = Ganzzahlige Programmierung - Dynamische Programmierung - Entscheidungsbaumverfahren - Netzplantechnik - Warteschlangentheorie - Spieltheorie - Simulation

2. Lineare Programmierung - Simplex Algo- rithmus System von Rechenregeln, die - eindeutig formuliert und tatsächlich aus= führbar sind - nach endlich vielen Schritten zum Ergebnis führen - für eine ganzen Klasse von Entscheidungs= aufgaben geeignet sind - nach Anwendung eine Lösung garantieren oder die Unmöglichkeit der Lösung er= weisen

2.1 Grundmodell des Simplex-Algorithmus Charakteristika: - Linearität von Zielfunktionen und Neben- bedingungen - Statische Betrachtung - Deterministische Daten - Stetige Größen, d.h. keine Ganzzahligkeits- erfordernisse, auch nicht teilweise

2.2. Praktisches Beispiel Die Studenten der Vorlesung Operations Re- search (Sie) überlegen, wie sie einen möglichst optimalen Lernerfolg innerhalb des Teils “Line- are Optimierung” erhalten. Sie haben die Mög- lichkeit, Ihr Wissen aus Vorlesungen oder aus Büchern zu beziehen. Auf Grund der Erfahrun- gen “leidgeprüfter” Vorgänger wissen Sie, daß das Erfolgsverhältnis von Vorlesungsbesuch und Literaturarbeit 7 : 5 beträgt. Angeboten werden zu diesem Thema 6 Bücher in der Bibliothek.

Sie planen für dieses Semester höchstens 42 Arbeitstage (à 2,5 Stunden) ein, wobei ein Vorlesungstermin incl. Vor- und Nachbereitung 6 Tage und die Beschäftigung mit einem Buch 1 Tag in Anspruch nimmt. Wenn Sie davon aus- gehen, daß Sie während eines Semesters höch- stens 12 neue Freunde gewinnen können, so können Sie während einer Vorlesung jeweils 2 kennenlernen, während die Beschäftigung mit einem Fachbuch dazu führen kann, daß Sie 3 Freunde verlieren.

Für wichtige geschäftliche Anrufe planen Sie maximal 12 Telefonate ein, wobei Sie schätzen, daß Sie während einer Vorlesung 2 Anrufe ver- passen (Handyverbot), beim Lesen eines Buches zu Hause aber drei Anrufe entgegennehmen können. Was ist zu tun ?

Aufstellen des Problems in Ungleichungsform 6 xV + 1xB + xT = 42 2xV - 3xB + xF = 12 -2xV + 3xB + xH = 12 xB + xBS = 6 7 xV + 5 xB ---> Max! -2 xv + 3xB ---> Max! (und analog für die Freunde

Umwandlung der Ungleichungen in Gleichungen

Graphische Lösung x2 x1

Ein weiteres Beispiel Die kurzfristige Produktionsprogrammplanung geht von gegebenen variablen Kosten kvj für jedes Produkt j aus. Der Preis am Markt pj ist gegeben ; bei diesem Preis kann eine Absatzhöchstmenge x^j verkauft werden. So weit keine Produktionsbeschränkungen vorliegen, wird alles produziert, was einen positiven Deckungsbeitrag dbj bringt. dbj = pj - kvj > 0 !

Bei der Überprüfung der Bedingung, ob die Produkte einen positiven Deckungsbeitrag bringen, ist die marktliche Verbundenheit zu beachten; Tasse und Untertasse, die als ein Gedeck verkauft werden, sind in diesem Sinn nur ein Produkt ! Für den Betrieb als Ganzes muß noch gelten, daß er keinen Verlust macht (langfristig). G = (pj - kvj) * xj - Kf >= 0 !

Bei Vorliegen einer Kapazitätsbeschränkung wären die Produkte der Höhe des Deckungs- beitrags nach zu ordnen und es würde zuerst das Produkt mit dem höchsten, dann das mit dem zweithöchsten Deckungsbeitrag usw. gefertigt, bis die Kapazität erschöpft ist. Eine solche Vorgehensweise würde aber keine optimale Nutzung der knappen Kapazität bewirken: Der Deckungsbeitrag pro Einheit der knappen Kapazität, der relative Deckungs- beitrag, muß als Auswahlkriterium gelten.

Wenn mit vij der Faktorverbrauch des Faktors i für die Produktion des Produkts j bezeich- net wird und von dem Faktor i nur die Menge Vi zur Verfügung steht, muß gelten: vij * xj <= Vi D.h. man kann nicht mehr verbrauchen als da ist. Der relative Deckungsbeitrag dbrel ist: dbreli, j = (pj - kvj) : vij

Der relative Deckungsbeitrag wurde von Schmalenbach (1930) als optimale Geltungszahl bezeichnet. Beispiel: Produkt 1 Produkt 2 Produkt 3 Preis 160 100 80 kvj 60 50 40 Absatz - 40 90 300 höchstmenge Verbrauch 8 2 1 Bestand 480

Nach den Deckungsbeiträgen ergäbe sich eine Produktion von 40 P1 und 80 P2, dann wäre der Faktorbestand verbraucht. Die Summe der Deckungsbeiträge ist 8000. Nach den relativen Deckungsbeiträgen sieht es so aus: Produkt 1 Produkt 2 Produkt 3 dbrel 12,5 25 40 Menge - 90 300 Verbrauch- 180 300 DB - 4500 12000

Der Deckungsbeitrag steigt auf 16500 an Wenn nun ein zweiter Engpaßfaktor auftritt, mit einem Bestand von 350 und Verbrauchs- werten v21 = 5, v22= 2 und v23 = 4, dann ist eine andere Reihenfolge optimal: Produkt 1 Produkt 2 Produkt 3 dbrel 20 25 10 Menge 34 90 - Verbrauch 170 180 - DB 3400 4500 DBgesamt = 7900

Allgemeiner Ansatz für LP G =  (pj - kvj) * xj - Kf --> Max !  vij * xj </= Vi xj </= Xj xj >/= 0

Ansatz für das Beispiel (160 - 60) x1+(100- 50)x2 + (80 - 40) x3 -> Max! 8 x1 + 2 x2 + x3 </= 480 5 x1 + 2 x2 + 4x3 </= 350 x1 </= 40 x2 </= 90 x3 </= 300

8 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 480 5 x1 + 2 x2 + 4 x3 + x5 = 350 x1 +x6 = 40 x2 + x7 = 90 x3 + x8 = 300 100x1+ 50 x2 + 40 x3 ----> Max!

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y4 8 2 1 1 0 0 0 0 480 y5 5 2 4 0 1 0 0 0 350 y6 1 0 0 0 0 1 0 0 40 y7 0 1 0 0 0 0 1 0 90 y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300 Z -100 -50 -40 0 0 0 0 0 0 (ggf. - KF)

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y4 0 2 1 1 0 - 8 0 0 160 y5 0 2 4 0 1 - 5 0 0 150 x1 1 0 0 0 0 1 0 0 40 y7 0 1 0 0 0 0 1 0 90 y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300 Z 0 -50 -40 0 0 100 0 0 4000

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y4 0 0 -3 1 -1 -3 0 0 10 x2 0 1 2 0 1/2 -5/2 0 0 75 x1 1 0 0 0 0 1 0 0 40 y7 0 0 -2 0 -1/2 5/2 1 0 15 y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300 Z 0 0 60 0 25 -25 0 0 7750

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y4 0 0 -27/5 1 -8/5 0 6/5 0 28 x2 0 1 0 0 0 0 1 0 90 x1 1 0 4/5 0 1/5 0 -2/5 0 34 y6 0 0 -4/5 0 -1/5 1 2/5 0 6 y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300 Z 0 0 40 0 20 0 10 0 7900

Verschiedene Auswahlregeln für die Pivot-Spalte SUA - Steepest Unit Ascent Richtet sich nach dem Zielfunktionszuwachs pro Einheit z. B. Deckungsbeitrag pro Stück -Standardverfahren GC - Greatest Change Sucht den nächsten Eckpunkt mit der größten Verschiebung der Zielfunktion Vor allem sinnvoll bei mehreren nach SUA gleich- wertigen Spalten oder kleinen SUA- Unterschieden

Anwendung von GC auf das zweite Beispiel x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y4 8 0 1 1 0 0 -2 0 300 y5 5 0 4 0 1 0 -2 0 170 y6 1 0 0 0 0 1 0 0 40 x2 0 1 0 0 0 0 1 0 90 y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300 Z -100 0 -40 0 0 0 50 0 4500 Neue Pivot-Spalte x1 mit DB 3400; bei x3 :1700

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y4 0 0 -27/5 1 -8/5 0 6/5 0 28 x1 1 0 4/5 0 1/5 0 -2/5 0 34 y6 0 0 -4/5 0 -1/5 1 2/5 0 6 x2 0 1 0 0 0 0 1 0 90 y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300 Z 0 0 40 0 20 0 10 0 7900 Das Lösungstableau entspricht dem bei SUA, jedoch sind die Zeilen anders angeordnet.

Weitergehende Schritte: - Probe nach jedem Schritt möglich, am Ende wichtig - Interpretation der Ergebnisse = Lösungswerte in der b - Spalte (RHS) = Lösungswerte in der Z - Zeile (Schatten- preise) Wichtig: Der Unterschied in der Interpretation von Schattenpreisen der Basisvariablen und der Schlupfvariablen

Ein weiteres Beispiel (modifiziertes Bsp. Paschka-Skript, Aufgabe 2) Vier Produkte A,B,C und D werden zu folgenden Preisen in folgenden Mengen verkauft: A 200 zu 80; B 50 zu 120; C 100 zu 70; D 200 zu 30. Die variablen Kosten sind kA = 60, kB = 20, kC = 20 und kD = 25. Der Rohstoffverbrauch beträgt bei Stoff 1 v1A =2, v1B = 4, v1C = 6 und v1D = 1; es sind 1000 V1 da. Bei Stoff 2 gilt : v2A = 3, v2B = 6, v2C = 1, v2D = 1 und 550 vorhanden. Fixkosten betragen 200.

xA xB xC xD y1 y2 y3 y4 y5 y6 * b y1 2 4 6 1 1 0 0 0 0 0 1000 y2 3 6 1 1 0 1 0 0 0 0 550 y3 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 200 y4 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 50 y5 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 100 y6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 200 Z -20 -100 -50 -5 0 0 0 0 0 0 -200

Auswahl: SUA -- xB/y4 GC -- xC/y5 gleichwertig Optimale Lösung nach drei Schritten: xA = 50, xB = 50, xC = 100 Methodenwahl unerheblich.

2.4. Probleme mit unzulässiger Ausgangs- lösung Typischerweise handelt es sich hier um Probleme, die gleichzeitig kleiner-gleich und größer-gleich Bedingungen oder auch Gleich-Bedingungen enthalten. Beispiel: Es werden Stühle für 2 GE und Hocker für 1 GE hergestellt. Ein Hocker benö- tigt 4 h und ein Stuhl 2 h. 20 h sind verfügbar. Zwei Hocker müssen mindestens gefertigt werden.

Ansatz: 2 x1 + 4 x2 </= 20 x2 >/= 2 2 x1 + x2 ---> Max! Der einfachste Weg ist die Multiplikation der größer-gleich Bedingung mit -1; dann ist sie eine kleiner-gleich-Bedingung.

x1 x2 x3 x4 b y1 2 4 1 0 20 y2 0 -1 0 1 -2 Z -2 -1 0 0 0 Hier wird die Auswahlregel verändert. Zuerst werden die negativen Elemente der b-Spalte berücksichtigt und auf diese SUA oder GC angewendet. In Betracht kommen nur Spalten mit negativen Koeffizienten. (y2/x2)

1. Iteration x1 x2 x3 x4 b y1 2 0 1 4 12 x2 0 1 0 -1 2 Z -2 0 0 -1 2 Diese Lösung ist zulässig, aber nicht optimal. SUA oder GC führt hier zu keinem Unterschied. Pivot-Element: y1/x1

2. Iteration x1 x2 x3 x4 b x1 1 0 1/2 2 6 x2 0 1 0 -1 2 Z 0 0 1 3 14 Optimale Lösung. Es werden 6 Stühle und zwei Hocker gefertigt. Eine Erhöhung der Kapazität um eine Einheit erhöht den Umsatz um 1 GE. Eine Verringerung der Mindestmenge Hocker um 1 würde den Umsatz um 3 GE erhöhen.

Vorgehensweise bei mehreren größer-gleich Bedingungen. Bei Vorliegen mehrerer größer-gleich-Bedin- gungen in einem Maximierungsproblem gibt es zwei mögliche Vorgehensweisen: Will man alle effizienten Punkte des Lösungs- raums bestimmen, dann werden die größer- gleich Bedingungen nach dem üblichen Aus- wahlkriterium bestimmt, d.h. Min ( bj/vij). Will man hingegen auf kürzestem Weg in den Raum zulässiger Lösungen wird Max (bj/vij) gewählt.

Beispiel (ohne Textvorgabe) x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y1 8 2 1 1 0 0 0 0 480 y2 1 0 0 0 1 0 0 0 40 y3 -1 0 0 0 0 1 0 0 -20 y4 -1 0 -1 0 0 0 1 0 -30 y5 0 1 1 0 0 0 0 1 50 Z -100 -80 -50 0 0 0 0 0 0

Iteration x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y1 y2 y3 y4 y5 Z

Für die 1. Iteration kommen jetzt in Frage: y3 oder y4; als Spalten mit entsprechenden negativen Koeffizienten liegen x1 und x3 vor. x1 hat den größeren Zielzuwachs (SUA), aber auch GC. Die beiden Vorgehensweisen verglichen: Min (bj(vij) führt zu Pivot-Element y3/x1 Max (bj/vij) zu y4/x1

Iteration 1a x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y1 0 2 1 1 0 8 0 0 320 y2 0 0 0 0 1 1 0 0 20 x1 1 0 0 0 0 -1 0 0 20 y4 0 0 -1 0 0 -1 1 0 -10 y5 0 1 1 0 0 0 0 1 50 Z 0 -80 -50 0 0 -100 0 0 2000 Lösung noch nicht zulässig. Weiter mit y4/x6

Iteration 2a x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y1 0 2 -7 1 0 0 8 0 240 y2 0 0 -1 0 1 0 1 0 10 x1 1 0 1 0 0 0 1 0 30 x3 0 0 1 0 0 1 -1 0 10 y5 0 1 1 0 0 0 -1 1 50 Z 0 -80 50 0 0 0 -100 0 3000 Zulässig, aber nicht optimal. Wie 1b. SUA führt zu y2/x7; GC zu y5/x2.

Iteration 1b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y1 0 2 -7 1 0 0 8 0 240 y2 0 0 -1 0 1 0 1 0 10 y3 0 0 1 0 0 1 -1 0 10 x1 1 0 1 0 0 0 -1 0 30 y5 0 1 1 0 0 0 0 1 50 Z 0 -80 50 0 0 0 -100 0 3000 Zulässig, aber nicht optimal; SUA führt zu y2/x7 GC zu y5/x2; hier wird GC verfolgt.

Iteration 2b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y1 0 0 -9 1 0 0 8 -2 140 y2 0 0 -1 0 1 0 1 0 10 y3 0 0 1 0 0 1 -1 0 10 x1 1 0 1 0 0 0 -1 0 30 x2 0 1 1 0 0 0 0 1 50 Z 0 0 130 0 0 0 -100 80 7000 Noch nicht optimal. Nächstes Pivot-Element y2/x7

Iteration 3b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y1 0 0 -1 1 -8 0 0 -2 60 x7 0 0 -1 0 1 0 1 0 10 y3 0 0 0 0 1 1 0 0 20 x1 1 0 0 0 1 0 0 0 40 x2 0 1 1 0 0 0 0 1 50 Z 0 0 30 0 100 0 0 80 8000 Optimale Lösung. Probe.

M - Methode Das ist die zweite Lösungsmethode bei Vor- liegen unzulässiger Ausgangslösungen, beschrieben in Angermann, A., Entscheidungs- modelle, Frankfurt 1963, S. 213 ff. Da sie meines Erachtens komplizierter ist als der vorherige Rechenweg, wird sie nur formal beschrieben: Es werden für jede größer-gleich und gleich- Bedingung zusätzliche Hilfsvariable eingeführt und diese in der Zielfunktion mit einem Koeffi- zienten M versehen.

Zur Gewinnung einer zulässigen Ausgangs- lösung wird dann das M-fache der Zeilen mit entsprechenden Bedingungen von der Ziel- funktion abgezogen. Danach wird dann das üblicher Iterations- verfahren durchgeführt.

Darstellung am Hocker-Beispiel: x1 x2 x3 x4 h1 b y1 2 4 1 0 0 20 y2 0 1 0 1 1 2 Z -2 -1 0 0 M 0

Umgewandelt x1 x2 x3 x4 h1 b y1 2 4 1 0 0 20 y2 0 1 0 1 1 2 Z -2 -1-M 0 -M -M -2M Pivot-Element y2/x2

1. Iteration x1 x2 x3 x4 h1 b y1 2 0 1 -4 -4 12 x2 0 1 0 1 1 2 Z -2 0 0 1 1 2 Diese Lösung ist zulässig, aber nicht optimal. Sie unterscheidet sich von der Lösung S. 7 unten durch die Vorzeichen in Spalten x4,h1.

Minimierungsaufgaben Minimierungsaufgaben bei kleiner-gleich Bedin- gungen sind trivial. (xi = 0 für alle i) Bei Vorhandensein von größer-gleich (gleich und kleiner-gleich dürfen auch da sein) Bedin- gungen kann man am einfachsten die Ziel- funktion mit - 1 multiplizieren. Das hat nur Konsequenzen für die Interpretation.

Übungsaufgaben: a) 2 x1 - 3 x2 ---> Max x1 + x2 >/= 2 2x1 - x2 </=10 2x1 +5x2 </= 15

x1 x2 x3 x4 x5 b -1 -1 1 0 0 -2 * 2 -1 0 1 0 10 2 5 0 0 1 15 -2 3 0 0 0 0 * 1 1 -1 0 0 2 0 -3 2 1 0 6 * 0 3 2 0 1 11 0 5 -2 0 0 4

b) 20 x1 + 25 x2 ---> Min! 2 x1 + 3 x2 = 50 5 x1 - x2 >/= 120 6 x1 + x2 </= 150

x1 x2 x3 x4 x5 x6 b -2 -3 1 0 0 0 -50 * 2 3 0 1 0 0 50 -5 1 0 0 1 0 -120 6 1 0 0 0 1 150 20 25 0 0 0 0 0 * 1 3/2 -1/2 0 0 0 25 25:3/2 = 16 2/3 0 0 1 1 0 0 0 0:0 nicht betr. 0 17/2 -5/2 0 1 0 5 5: 17/2 = 10/17 0 -8 3 0 0 1 0 0:-8 nicht bes. 0 -5 10 0 0 0 -500

Allgemeine Merkregeln für den Umgang mit verschiedenen Nebenbedingungen 1. Gleichheitsbedingungen müssen erfüllt werden. Das wird technisch so gelöst, daß eine Kleiner/gleich und eine Größer/gleich- Bedingung angesetzt werden, die dann beide erfüllt werden müssen. 2. Alle Zeilen mit negativen Werten auf der rechten Seite müssen als Pivotzeilen heran- gezogen werden, bevor auf die Zielfunktions- zeile geachtet wird.(vgl. S.8)

3. Erst wenn die Bedingungen 1 und 2 erfüllt sind, wird normal” weiter innerhalb des Lösungsraumes optimiert. Sobald auf der rechten Seite ein negativer Wert vorliegt oder wieder auftaucht, befindet man sich außerhalb des Lösungraums !!

3. Sonderfälle Die Sonderfälle lassen sich wie folgt gliedern: - Degeneration = Duale Degeneration = Primale Degeneration == Überbestimmter Punkt == Unbegrenzte Lösungen - Redundanz - Kein Lösungsraum

Duale Degeneration Die Zielfunktion “liegt” auf einer Nebenbedin- gung, d.h. gleiche Steigung beider . Sie wird erkennbar am Auftauchen des Wertes 0 im Schattenpreis einer Nichtbasisvariablen. Es ergeben sich zwei optimale Ecken, deren Linearkombination beliebig viele Optimal- lösungen ergeben.

Beispiel x1 + x2 ---> Max! x1 + x2 </= 5 - x1 + 3x2 </= 9 3 x1 - x2 </= 9

x1 + x2 ---> Max! x1 + x2 + x3 = 5 -x1 + 3x2 + x4 = 9 3x1 - x2 + x5 = 9

x1 x2 x3 x4 x5 b** y1 1 1 1 0 0 5 y2 -1 3 0 1 0 9 y3 3 -1 0 0 1 9 Z -1 -1 0 0 0 0

x1 x2 x3 x4 x5 b y1 0 4/3 1 0 -1/3 2 y2 0 8/3 0 1 1/3 12 x1 1 -1/3 0 0 1/3 3 Z 0 -4/3 0 0 1/3 3

x1 x2 x3 x4 x5 b x2 0 1 3/4 0 -1/4 3/2 y2 0 0 -2 1 1 8 x1 1 0 1/4 0 1/4 7/2 Z 0 0 1 0 0 5

x1 x2 x3 x4 x5 b x2 0 1 1/4 1/4 0 7/2 x5 0 0 -2 1 1 8 x1 1 0 3/4 -1/4 0 3/2 Z 0 0 1 0 0 5

Weiteres Beispiel (Übung): 12 x1 + 2 x2 ---> Max ! - 2 x1 + 3 x2 </= 12 6 x1 + x2 </= 42 x2 </= 6 2 x1 - 3 x2 </= 12

Lösung I x1 x2 x3 x4 x5 x6 b y1 0 0 1 0 0 1 24 x2 0 1 0 1/10 0 - 3/10 6/10 x6 0 0 0 -1/10 1 3/10 54/10 x1 1 0 0 3/20 0 1/20 69/10 Z 0 0 0 2 0 0 84

Lösung II x1 x2 x3 x4 x5 x6 b y1 0 0 1 1/3 -10/3 0 6 x2 0 1 0 0 1 0 6 x6 0 0 0 -1/3 10/3 1 18 x1 1 0 0 1/6 -1/6 0 6 Z 0 0 0 2 0 0 84

Primale Degeneration Sie liegt vor, wenn ein Eckpunkt überbestimmt ist, d.h. mehr als zwei Gerade durch einen Eckpunkt laufen. Das bedeutet, daß bei der Wahl zwischen den Beschränkungen mehrere Möglichkeiten bestehen. Nach Durchführung der Iteration wird dann der andere - ggf. die anderen - Wert in der RHS zu 0.

Beispiel 4 x1 + x2 ---> Max! 3 x1 - x2 </= 9 - x1 + 3 x2 </= 9 3 x1 - 3 x2 </= 9

x1 x2 x3 x4 x5 b y1 3 - 1 1 0 0 9 y2 - 1 3 0 1 0 9 y3 3 - 3 0 0 1 9 Z - 4 -1 0 0 0 0

Iteration 1a x1 x2 x3 x4 x5 b x1 1 -1/3 1/3 0 0 3 y2 0 8/3 1/3 1 0 12 y3 0 -2 -1 0 1 0 Z 0 -7/3 4/3 0 0 12

Iteration 2a x1 x2 x3 x4 x5 b x1 1 0 3/8 1/8 0 9/2 x2 0 1 1/8 3/8 0 9/2 y3 0 0 -3/4 3/4 1 9 Z 0 0 13/8 7/8 0 45/2

Iteration 1b x1 x2 x3 x4 x5 b y1 0 2 1 0 -1 0 y2 0 2 0 1 1/3 12 x1 1 -1 0 0 1/3 3 Z 0 -5 0 0 4/3 12

Iteration 2 b x1 x2 x3 x4 x5 b x2 0 1 1/2 0 -1/2 0 y2 0 0 -1 1 4/3 12 x1 1 0 1/2 0 -1/6 3 Z 0 0 5/2 0 -7/6 12

Iteration 3b x1 x2 x3 x4 x5 b x2 0 1 1/8 3/8 0 9/2 x5 0 0 -3/4 3/4 1 9 x1 1 0 1/8 3/8 0 9/2 Z 0 0 13/8 7/8 0 45/2

Mögliche Folgen primaler Degeneration: 1. Dualwerte lassen sich nicht mehr inter- pretieren. 2. Es kann zu einem “Cycling” kommen, d.h., der Tausch von Nichtbasisvariablen zu Basisvariablen führt nicht mehr von dem bestehenden Punkt weg. Hier muß ein anderes Verfahren gewählt werden, indem suboptimale Zwischenschritte gewählt werden, d.h. eine andere Pivot-Spalte bestimmt wird.

Unbegrenzte Lösungen Die Lösungsmenge ist unendlich. Man erkennt sie daran, daß in der Pivotspalte bei positiver RHS nur negative Koeffizienten vorhanden sind. Das muß nicht im Ausgangstableau sichtbar sein, sondern kann sich später ergeben.

Beispiel: 100 x1 + 50 x2 ---> Max! - 30 x1 + 5 x2 </= 600 20 x1 - 100x2 </= 1000 x1 - x2 </= 100

Ansatz x1 x2 x3 x4 x5 b y1 y2 y3 Z

1. Iteration x1 x2 x3 x4 x5 b y1 y2 y3 Z

2. Iteration x1 x2 x3 x4 x5 b y1 x Z

Iteration 3 x1 x2 x3 x4 x5 b y1 0 0 1 -5/16 145/4 7825/2 x1 1 0 0 -1/80 5/4 225/2 x2 0 1 0 -1/80 1/4 25/2 Z 0 0 0 -15/8 275/2 11875

Kein Lösungsraum Dieser Fall kann nur eintreten, wenn die Nebenbedingungen widersprüchlich formu- liert sind und wenn es sich dabei sowohl um kleiner-gleich als auch größer-gleich oder gleich-Bedingungen handelt. Auch das ist im Ausgangstableau nicht immer gleich zu erkennen.

Beispiel x1 + x2 ---> Max ! - 2 x1 + 2 x2 >/= 8 3/2x1 + 3 x2 </= 30 2 x1 - 6 x2 >/= 6

Ausgangstableau x1 x2 x3 x4 x5 b y1 2 -2 1 0 0 -8 y2 3/2 3 0 1 0 30 y3 -2 6 0 0 1 -6 Z -1 -1 0 0 0 0

Iteration I x1 x2 x3 x4 x5 b x2 -1 1 -1/2 0 0 4 y2 9/2 0 3/2 1 0 18 y3 4 0 3 0 1 -30 Z -2 0 -1/2 0 0 4

Redundanz Eine Nebenbedingung ist dann redundant, wenn sie keinen Einfluß auf die Struktur der aktuellen Lösung hat. Sie kann deshalb auch bei gegebenem Lösungsraum vernachlässigt werden. Nur bei postoptimalen Rechnungen muß sie beibehalten werden, da sie dann relevant werden kann.

4. Postoptimale Rechnungen Bei diesem Arbeitsschritt geht es darum, die unter den Grundannahmen - Statik, Deter- minismus, Linearität - erarbeitete Lösung auf ihre Stabilität (Robustheit) und Reich- weite zu überprüfen. Dazu dienen: - Sensitivitätsanalyse (Sensibilitätsanalyse) - Parametrische Optimierung

Bei der Sensitivitätsanalyse wird überprüft, inwieweit sich einzelne Parameter ändern dürfen, ohne daß sich an der Lösung etwas qualitativ ändert. Eine qualitative Änderung liegt danach dann vor, wenn die Struktur von Basis- und Nicht-Basisvariablen sich ändert, d.h eine bisherige Nicht-Basisvari- able Basisvariable wird und vice versa.

Die parametrische Programmierung ist durch eine schrittweise Variation einzelner Ausgangs- daten gekennzeichnete, wobei die Schritt- länge durch die Vorgabe der Parameter be- stimmt wird. Es werden dann die Veränderungen der Lösungen durch diese Vorgaben berechnet. Es ergeben sich praktisch Streuungsbereiche für die Eingangsdaten.

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y4 0 0 -27/5 1 -8/5 0 6/5 0 28 x2 0 1 0 0 0 0 1 0 90 x1 1 0 4/5 0 1/5 0 -2/5 0 34 y6 0 0 -4/5 0 -1/5 1 2/5 0 6 y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300 Z 0 0 40 0 20 0 10 0 7900

Ermittlung für das Produktionsbeispiel Sensitivität der Zielfunktion: Für Produkt 1 gilt: In der Spalte x3 ist der Koeffizient 4/5, in der Spalte x5 1/5 und in der Spalte x7 -2/5. Die zugehörigen Werte in der Zielzeile werden nun durch die jeweiligen Koeffizienten dividiert und mit - 1 multiplziert; für die Bestimmung der Untergrenze werden nur posi- tive Koeffizienten verwendet und für die Obergrenze nur negative. Es ergibt sich:

max( -40 : 4/5; -20 : 1/5) </= p </= min (- 10: -2/5) d.h. max (-50;-100) </= p </= min (25) (bei min gibt es nur einen Wert) Der Deckungsbeitrag von Produkt 1 kann um 50 nach unten (-50) und 25 nach oben schwanken ohne daß sich die optimale Lösung ändert, d.h. zwischen (100- 50 und 100 + 25), 50 und 125 schwanken.

Allgemein lautet die Formel max(- c*jk :a*jk; ajk>0) </= p </= min(-c*jk :a*jk;a*jk<0) Für Produkt 2 gibt es nur einen Wert fürdie linke Seite der Formel, d.h. es ist max (-10 : 1) </= p. Das bedeutet, daß der Deckungsbeitrag von Produkt 2 nach unten um 10 € sinken darf, bis sich die optimale Lösung ändert; nach oben gibt es keine Beschränkung.

Produkt 3 ist nicht im optimalen Produktions- programm. Der Schattenpreis von 40 € besagt, daß das Produkt erst produziert würde, wenn der Deckungsbeitrag um 40 € auf 80 € steigen würde. Es gibt keine untere Beschrän- kung.

Für die Beschränkungen oder Restriktionen gelten folgende Sensitivitätsüberlegungen: Erste Beschränkung: Es sind Leerkapazitäten von 28 Einheiten vor- handen; wenn die Beschränkung von 480 um 28 Einheiten auf 452 sinkt, verändert sich die Struktur der Lösung. Es gibt keine Beschrän- kung nach oben, weil schon im Optimum etwas über ist.

Zweite Beschränkung: max ( - 34 : 1/5) </= p </= min (-28 : -8/5; -6: -1/5) -170 </= p </= min (17,5; 30) Die Restriktion kann um 170 nach unten und 17,5 nach oben schwanken, bevor sich die Struktur der Lösung verändert. Kapazität 2: 180 - 367,5

Dritte Beschränkung: Auch hier bestehen Leerkapazitäten; erst wenn die Absatzkapazität um mehr als 6, d.h. unter 34 sinkt, verändert sich die Lösung. Nach oben gibt es keine Beschränkung. Fünfte Beschränkung: Es gilt im Prinzip das für die dritte Beschrän- kung Gesagte; die Beschränkung kann auf 0 sinken, ohne daß sich etwas ändert; nach oben gibt es ebenfalls keine Beschränkung.

Vierte Beschränkung: max (-28: 6/5; -90 :1;-6:2/5) </= p </= min(-34:-2/5) max ( - 23,3; -90; -15) </= p </= min (85) -15 </= p </= 85 Die Absatzkapazität kann um 15 nach unten und um 85 nach oben, d.h. von 75 bis 175 schwanken, ohne daß sich die Lösung ändert.

Beispiel Ausgangstableau x1 x2 x3 x4 x5 x6 b y1 0 1 1 0 0 0 5 y2 1 0 0 1 0 0 7 y3 1 1 0 0 1 0 10 y4 -1 -2 0 0 0 1 -4 Z -2 -1 0 0 0 0 0

Endtableau x1 x2 x3 x4 x5 x6 b y1 0 0 1 1 -1 0 2 y4 0 0 0 -1 2 1 9 x2 0 1 0 -1 1 0 3 x1 1 0 0 1 0 0 7 Z 0 0 0 1 1 0 17

Sensitivität der Zielfunktion: Variable 1 : In der Zeile x1 sind nur zwei posi- tive Werte; es gibt nur eine Untergrenze : max (-1 : 1) = -1. Der Zielfunktionswert der Variablen 1 darf um 1 nach unten schwanken, bevor sich die Lösung ändert; nach oben gibt es keine Beschränkung. Variable 2: Hier gibt es eine Unter- und eine Obergrenze: Sie kann um 1 nach unten und oben schwanken, d.h. zwischen 0 und 2, bis sich etwas ändert.

Für die Beschränkungen gilt: Die erste Beschränkung hat noch eine Rest- kapazität von 2; wenn die Ausgangsbeschrän- kung von 5 um diesen Wert unterschritten wird, d.h. 3 unterschreitet, verändert sich die Lösung. Nach oben gibt es keine Beschränkung. Die zweite Beschränkung ist ausgeschöpft; es ist max ( -2:1; -7:1) </= p </= min (-9: -1; -3:-1) -2 </= p </= 3 Die Beschränkung 2 kann um 2 nach unten und um 3 nach oben, d.h von 5 bis 10 schwanken.

6. Dualität Hier erfolgt eine Veränderung der Gliederung, weil die parametrische Programmierung nur auf dem Hintergrund der Dualität erläutert werden kann. Der Grundgedanke des Dualitätstheorems: Zu jedem (primalen) linearen Planungsproblem gibt es ein duales Problem; dabei wird die Koeffizientenmatrix gestürzt und die Zielfunktion des primalen Problems wird zu der RHS des dualen und die RHS des primalen zur Zielfunktion der dualen mit Gegentendenz (Min statt Max !)

Wenn das primale Problem eine optimale Lösung hat, besitzt auch das duale Problem eine. Es gilt : Z max = f min. Wenn das primale Problem keine endliche optimale Lösung hat, besitzt die duale Lösung keine zulässige Lösung.

Beispiel: Primalproblem Dualproblem 2x1 + 4 x2 </= 20 2 y1 + y3 >/= -2 x2 >/= 2 4 y1 - y2 - 4y3 >/= -1 - x1 + 4 x2 >/= 12 -2x1 - x2 ---> Max! 20 y1 - 2y2 -12 y3 --->Min! Das Primalproblem hat eine unzulässige Ausgangslösung; die größer-gleich Bedingungen werden mit - 1 multipliziert. Das ergibt folgende Tableaus:

Primalproblem x1 x2 y1 y2 y3 b y1 2 4 1 0 0 20 y2 0 -1 0 1 0 -2 y3 1 -4 0 0 1 -12 Z 2 1 0 0 0 0 Diese Lösung wäre optimal, ist aber wegen der negativen Werte in der b-Spalte unzulässig. Es wird -12/-4 als Pivot-Element gewählt.

Dualproblem y1 y2 y3 x1 x2 b x1 -2 0 -1 1 0 2 x2 -4 1 4 0 1 1 ZD 20 -2 -12 0 0 0 Diese Lösung ist zulässig, aber nicht optimal. Es wird weiter iteriert. Es wird für die SUA (-12) das Pivot-Element 1/4 bestimmt.

Lösung Primalproblem x1 x2 y1 y2 y3 b y1 3 0 1 0 1 8 y2 -1/4 0 0 1 -1/4 1 x2 -1/4 1 0 0 -1/4 3 Z 9/4 0 0 0 1/4 -3

Lösung Dualproblem y1 y2 y3 x1 x2 b x1 -3 1/4 0 1 1/4 9/4 y3 -1 1/4 1 0 1/4 1/4 ZD 8 1 0 0 3 3 Auf dieser Dualitätsbeziehung beruht auch das Vorgehen bei Vorliegen unzulässiger Ausgangs- lösungen ohne Einführen weiterer Hilfsvari- ablen (M-Methode).

Vor allem bei nichtquadratischen Problemen, z.B. bei 2 Variablen und 4 Nebenbedingungen kann die Anwendung der dualen Methode, d.h. die Lösung des dualen Problems statt des primalen, die Zahl der Rechenschritte deutlich verkürzen.

Parametrische Optimierung Hier gibt es mehrere Varianten: Man kann skalarparametrisch oder vektorparametrisch optimieren; im zweiten Fall können unterschied- liche Veränderungen gleichzeitig vorgenommen werden, was aber sehr aufwendig ist. Hier werden nur skalarparametrische Optimierungen betrachtet, bei denen eine oder mehrere Restrik- tionen oder die Zielfunktionen mit dem gleichen Parameter p modifiziert werden.

Bezugsbeispiel (Müller-Merbach, S. 106 ff.) Ausgangstableau x1 x2 y1 y2 y3 b y1 1 2 1 0 0 170 y2 1 1 0 1 0 150 y3 0 3 0 0 1 180 Z -300 -500 0 0 0 -36000

Endtableau x1 x2 y1 y2 y3 b x2 0 1 1 -1 0 20 x1 1 0 -1 2 0 130 y3 0 0 -3 3 1 120 Z 0 0 200 100 0 13000 Hier soll nun die Beschränkung y2 von 40 bis 150 variiert werden. Die Sensibilitätsanalyse ergibt, daß bis zu einer Reduktion auf y2 = 110 die Lösung stabil ist. (max -130/2;-120/3) = 40

Es ergibt sich nun eine optimale Lösung von x1 x2 y1 y2 y3 b x2 0 1 1 -1 0 60 x1 1 0 -1 2 0 50 y3 0 0 -3 3 1 0 Z 0 0 200 100 0 9000 Eine weitere Reduktion von y2 ist nur möglich, wenn y3 in die Lösung kommt. Dafür scheidet x1 aus (x1 = 0). y2 sinkt auf 60.

Das modifizierte Tableau lautet x1 x2 y1 y2 y3 b y1 0 0 1 -1 -1/3 50 x1 1 0 0 1 -1/3 0 x2 0 1 0 0 1/3 60 Z 0 0 0 300 200/3 -6000 Eine weitere Reduktion von y2 auf 40 geht nur, wenn x1 aus der Lösung ausscheidet und x2 reduziert wird.

Es ergibt sich: x1 x2 y1 y2 y3 b y1 -1 0 1 -2 0 90 x2 1 1 0 1 0 40 y3 -3 0 0 -3 1 60 Z 200 0 0 500 0 -16000 Man sieht im Vergleich der Lösungen, wie sich in jedem Reduktionsschritt die Lösungs- und Zielfunktionswerte, d.h. Primal- und Dualwerte ändern.

5. Mehrzielprobleme Grundprobleme Probleme multipersonaler Entscheidungen - Zieldifferenzen = Koordination von Zielen = Legitimation von Zielen = Rationalität von Kollektivzielen - Informationsdifferenzen - Gleichzeitiges Auftreten von Ziel- und Informationsdifferenzen

Triviale oder perfekte Lösung Alle Ziele erreichen ihre Optimalausprägung in der gleichen Ecke des Beschränkungs- raums. Eine solche Lösung ist nur selten zu finden. Im allgemeinen werden Kompromisse nötig sein. Phase 1: Kompromißfindung für einstufige Probleme Phase 2: Kompromißfindung für LP-Probleme

Probleme der materiellen Zusammenführung von mehreren Zielen 1. Die jeweils verfügbaren Alternativen be- stimmen den Lösungsraum (nicht die Wunschvorstellung des ET !) Beispiel: Alternativen P,H,S  P schlecht 1,- 0 100 100 H sehr mäßig 1,20 50 60 110 S mäßig 1,50 100 0 100

Im Beispiel tritt die Alternative K hinzu: K sehr gut 2,- Neue Bewertungsmatrix P 0 100 100 H 30 80 110 S 40 50 90 K 100 0 100

2. Punktezuordnung zu Kriterien Wenn die Kriterien gleichgewichtet sein sollen, muß die Höchstpunktzahl gleich sein, nicht die Summe der vergebenen Punkte. Beispiel: K1 K2 HPZ PunktSum A1 sehr gut schlecht 100 25 A2 schlecht sehr gut 100 100 A3 sehr gut schlecht 100 25 A4 sehr gut schlecht 100 25 A5 sehr gut schlecht 100 25

3. Nichtlineare Präferenzen Die Linearität der Nutzenzuordnung zur Aus- prägung der Kriterien ist nicht immer gegeben. Beispiel: Dezibel (db) ist eine Meßzahl, bei der 3 Ein- heiten Differenz die Verdoppelung der Geräusch- empfindung ausdrücken. Die Funktion muß umgerechnet werden, z.B. db 68 69 70 71 72 73 74 75 76 % 10 12 15 20 24 31 40 48 63

Wir kaufen ein Auto : 5 Alternativen, 6 Kriterien K1 K2 K3 K4 K5 K6 max min min min max blau A1 160 10 30000 70 gut grün A2 170 11 32000 72 sehr gut blau A3 150 9 25000 74 mäßig rot A4 180 11 35000 68 gut gelb A5 190 13 34000 76 sehr gut schwarz

Rangplatzverfahren für das Beispiel K1 K2 K3 K4 K5 K6  A1 4 2 2 2 3,5 3,5 17 A2 3 3,5 3 3 1,5 1 15 A3 5 1 1 4 5 3,5 19,5 A4 2 3,5 5 1 3,5 3,5 18,5 A5 1 5 4 5 1,5 3,5 20

Rangziffernverfahren (Punktebewertung) Das Schlechteste erhält 0, das Beste 100 Pkt. K1 K2 K3 K4 K5 K6 A1 25 75 50 89 50 0 289 A2 50 50 30 71 100 100 401 A3 0 100 100 43 0 0 243 A4 75 50 0 100 50 0 275 A5 100 0 10 0 100 0 210

Es gibt im wesentlichen zwei Erscheinungs- formen von Mehrzielproblemen: - Eine gegebene Entscheidungsmatrix mit mehreren Alternativen mit gegebenen Ausprä- gungen für mehrere Kriterien - Ein lineares Entscheidungsproblem mit mehreren Zielen, bei dem ein Raum konfliktärer Ziele ermittelt wird Beide Formen können von Unsicherheit, Dyna- mik, Fuzziness und Rationaler Indeterminiert- heit überlagert werden.

Mehrzielprogrammierung Es folgen zwei Beispiele zur Mehrziel- Programmierung 1. 2 Variable, 3 Nebenbedingungen, 2 Ziele 2. 6 Variable, 8 Nebenbedingungen, 7 Ziele

Beispiel 1 4x1 + x2 ---> Max x2 ---> Max 2x1 + x2 </= 20 5/6 x1 + x2 </= 10 x1 + x2 >/= 5 ( x2 >/= 6)

x1 x2 y1 y2 y3y4 b y1 2 1 1 0 0 20 y2 5/6 1 0 1 0 10 y3 -1 -1 0 0 1 -5 y4 0 1 0 0 0 1 6 z1 -4 -1 0 0 0 0 z2 0 -1 0 0 0 0 z1+z2 -4 -2 0 0 0 0

Erster Zwischenschritt zur Erzeugung einer zulässigen Lösung x1 x2 y1 y2 y3 b y1 0 -1 1 0 2 10 y2 0 1/6 0 1 5/6 35/6 x1 1 1 0 0 -1 5 z1 0 3 0 0 -4 20 z2 0 -1 0 0 0 0 z1+z2 0 2 0 0 -4 20

x1 x2 y1 y2 y3 b y1 1 1/2 1/2 0 0 10 y2 0 7/12 -5/12 1 0 10/6 y3 0 -1/2 1/2 0 1 5 z1 0 1 2 0 0 40 z2 0 -1 0 0 0 0 z1+z2 0 0 2 0 0 40

x1 x2 y1 y2 y3 b y1 1 0 6/7 -6/7 0 60/7 y2 0 1 -5/7 12/7 0 20/7 y3 0 0 1/7 6/7 1 45/7 z1 0 0 19/7 -12/70 260/7 z2 0 0 -5/7 12/7 0 20/7 z1+z2 0 0 2 0 0 40

x1 x2 y1 y2 y3 b y1 7/6 0 1 -1 0 10 y2 5/6 1 0 1 0 10 y3 -1/6 0 0 1 1 5 z1 -19/6 0 0 1 0 10 z2 5/6 0 0 1 0 10 z1+z2 -14/6 0 0 2 0 20

Lösungen: z1 max: x1=10 x2=0 z1=40 z1+z2=40 z 2 max: x1=0 x2=10 z1=10 z1+z2=20 z2=10 z1 und z2 max:2 Lösungen a) x1=10 x2=0 z1=40 z2= 0 z1+z2=40 b) x1=60/7 x2= 20/7 z1=260/7 z2=20/7 z1+z2= 40

Kompromißfindung: Idealziel: z1=40 z2=10 (beide max) Einführung einer zusätzlichen NB: x2 6 für z1 max Lösung: x1=4,82 x2=6 z1=25,27 z1 ist 63,2% vom Idealziel (bei absoluter Betrachtung, relativ = 50%) z2 ist 60% vom Idealziel

Iterativ x2 anheben bei: x1=4,58 x2 6,2 z1=24,51 ergeben sich Unterschiede der relativen Zielerreichung unter 1%Abbruch der Rechnung Statt des relativen Abstandes zum Idealziel könnte man auch ein Gleichgewicht zwischen beiden Variablen x1,x2 anstreben und über Nebenbedingungen einführen. Das ist aber nicht zielkonform.

Eine Unternehmung kann 6 verschiedene Produkte A, B, C, D, E und F produzieren. Von jeden Produkt können max. 200 Stück verkauft werden; die Preise und variablen Kosten gestalten sich wie folgt: A B C D E F p 80 100 120 140 160 180 kv 30 40 60 70 90 100

Es wird auf 3 Maschinen gefertigt, deren Kapazitätverbrauch und Kapazität wie folgt auszudrücken ist: A B C D E F Kap M1 5 4 6 10 7 20 2000 M2 2 6 5 7 15 10 2400 M3 10 5 12 14 5 8 3000

Bei der Produktion werden 2 Schadstoffe s1,s2 freigesetzt, sowie 3 knappe Ressourcen R1,R2,R3 verbraucht, deren Ausstoß bzw. Verbrauch minimiert werden soll. Diese Faktoren lauten wie folgt: A B C D E F S1 3 4 5 6 7 8 s2 4 2 6 3 8 1 R1 4 3 5 7 2 4 R2 8 4 6 2 7 5 R3 6 9 3 4 5 8

Die Firma strebt nach Max. von Umsatz und Gewinn sowie nach min Die Firma strebt nach Max. von Umsatz und Gewinn sowie nach min. Umweltbelastung und -inanspruchnahme. Für die rechnerische Lösung werden die Umweltfaktoren willkürlich Emissionsobergrenzen auferlegt. s12000 s2 1000 R12000 R23000 R33000 Dann wird das Problem rechnerisch für Gmax und Umax gelöst. Es ergeben sich 2 Lösungen

Gmax: xa=96 xb=200 xd=72 xc,e,f=0 Gmax=21840 U=37760 S1=1520 S2=1000 R1=1488 R2=1712 R3=2664 Umax: xb=200 Xd=90,72 xe=35,01 xc=7,96 xa,f=0 G=21278 Umax=39257,29 S1=1629,18 S2=1000 R1=1344,83 R2=1274,27 R3=2361,8

Für die Berechnung der Minimierungslösungen für S1, S2, R1, R2, R3 benötigt man Mindestwerte für Umsatz und Gewinn. Hier werden ausgehend von den jeweiligen Minima Abschläge von ca.25% Gewinn und 33%Umsatz gemacht. U 25000 G 15000 Es ergeben sich folgende Lösungen: S1min:xa=200 xb=90 xc,d,e,f=0 G=15400 U=25000 S1=960 S2=980 R1=1070 R2=1960 R3=2010

S2 min: xb=159 xf=68 xa,c,d,e=0 G=15000 U=28181 S1=1182 S2=386 R1=750 R2=977 R3=1977 R1min: xb=72 xe=101 xf=45 Xa,c,d=0 G=15000 U=31473 S1=1355 S2=598 R1=1406 R2=500 R3=1031 R2min: xc=31 xd=188 Xa,b,e,f=0 G=15000 U=29375 S1=1250 S2=625

R3min: xc=104 xd=125 Xa,b,e,f=0 G=15000 U=30000 S1=1271 S2=1000 R1=1396 R2=875 R3=813 Jedes Optimum hat eine andere Lösungsmenge und -soweit nicht durch NB erzeugt- andere Werte für ihre Zielgrößen. Es ergibt sich folgende Ideallösung: G=21840 U=39257 S1=960 S2=386 R1=598 R2=500 R3=813

Alle 7 Teiloptima sind effiziente Lösungen: G U S1 S2 R1 R2 R3 Gmax 21840 37760 1520 1000 1488 1712 2664 Umax 21278 39257 1629 1000 1345 1274 2362 S1min15400 25000 960 980 1070 1960 2010 S2min15000 28181 1182 386 750 977 1977 R1min 15000 31473 1355 1000 598 1222 1514 R2min 15000 29375 1250 625 1406 500 1031 R3 min 15000 30000 1271 1000 1396 875 813

Lösungsansatz für einen Kompromiß, relative Erreichung des Idealziels in %: G U S1 S2 R1 R2 R3 Summe Gmax 100 89 16 0 0 17 0 223 Umax 92 100 0 0 16 47 16 271 S1min 6 0 100 3 47 0 35 191 S2min 0 22 67 100 83 67 37 376 R1min 0 45 41 0 100 51 62 299 R2min 0 31 57 61 9 100 88 346 R3 min 0 35 54 0 10 74 100 273

Im Durchschnitt am günstigsten liegen die Lösungen von S2 min mit einer durchschnittlichen Zielerreichung von 54% bis 55%. Die Ursache für die O-Werte für G, U, S2 und R1 liegt aber in der willkürlichen Setzung der Grenzwerte. Dabei sind besonders die Größen G und S2 Engpässe, in zwei Fällen sogar simultan. Hier könnte man die Opportunitätsgrößen abrufen, um den „trade-off“ zwischen den Werten zu bestimmen, oder man müßte Lösungen für einen Grenzwert G 0 und für S2 nahe unendlich ermitteln, um dann die relative Bedeutung der Lösungen festzulegen.

Im vorliegenden Beispiel sind die Werte für S2 min recht gut, wenn man berücksichtigt, daß der Gewinn, der hier mit 0 bewertet ist, ja bereits mit der Mindestfestlegung auf 75% des absoluten Maximums gut bedient ist. Es wäre zu prüfen, ob es eine Lösung gibt, die bei Festlegung von Nebenbedingungen mit 60 - 65 % der Ausgangswerte eine zulässige Lösung erzeugt.

Arbeitsschritte für das Mehrziel- programmieren - Erstellen aller "technischen" Nebenbe- dingungen - Erstellen aller Zielfunktionen - Einsetzen der Zielfunktionen als zusätz- liche Nebenbedingungen mit "offenen" Restriktionen - - Durchrechnen für alle Einzeloptima

- Überprüfen der Lösungswerte im Ausgangsproblem - Abschätzung von Konfliktbereichen = Wie weit liegen Lösungen auseinander = Gibt es eine "ausgezeichnete" Lösung ? = Ist die Punktesumme oder der kleinste relative Abstand aller Ziele das geeignete Maß an "Gerechtigkeit" ?

- Bewertung der Einzeloptima in Prozent- punkte und Wahl der Punktesumme (Problem der Gerechtigkeit) - Minimierung des Abstandes der Ergebnisse vom Idealziel für alle Zielfunktionen (für zwei Zielfunktionen gut darstellbar, bei drei und mehr sehr konfliktären Zielfunktionen z.T. nicht ermittelbar; noch kein Algorithmus verfügbar)

Ergänzung Bei der Suche nach einem Kompromiß, z.B. zwischen den sieben Zielvariablen gibt es zwei Möglichkeiten: - In Anlehnung an die Rangziffernmethode die Summe der relativen Abstände zum Ideal zu minimieren; das ist eine "Gesamt- lösung" , aber kein individueller Kompromiß - Bestimme den geometrischen Ort des gleichen relativen Abstands vom Ideal; bei 2 Zielen ein Punkt, bei 3 Zielen eine Gerade,... das ist der "echte" Kompromiß

Die Möglichkeiten der Kompromißfindung bei mehreren Zielen : - Addition der Zielfunktionen (bringt verdeckte Gewichtung) - Addition normierter Zielfunktionen (Problem unterschiedlicher Vorzeichen der Zielvariablen und der Summe der Zielvari- ablen; führt häufig nur zu einer Ecke, kann aber einen Kompromiß aufzeigen) - Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen aus den Zielfunktionen (aufwendig, Höhe der Beschränkung willkürl.)

- Bewertung der Einzeloptima in Prozent- punkte und Wahl der Punktesumme (Problem der Gerechtigkeit) - Minimierung des Abstandes der Ergebnisse vom Idealziel für alle Zielfunktionen (für zwei Zielfunktionen gut darstellbar, bei drei und mehr sehr konfliktären Zielfunktionen z.T. nicht ermittelbar; noch kein Algorithmus verfügbar)

Bei der Frage nach der Rationalität eines Kom- promisses steht zuerst die der Konfliktaus- tragung an (-> Orga II) (Rationalität und Ethik). Wenn man sich für die Austragungsform “Kompromiß” entschieden hat, sind drei Aspekte zu beachten: - Effizienz - Gerechtigkeit - Solidarität

- Die Anforderung der Effizienz bedeutet, daß kein Beteiligter “unnötig” schlechter gestellt wird (Pareto- Optimalität) - Die Anforderung der Gerechtigkeit verlangt, daß die inhaltliche Lösung und das Verfahren fair sind, d.h. von allen als fair empfunden werden.(Lit.: Rawls,J., Eine Theorie der Gerechtigkeit, Frankfurt/M. 1979) - Solidarität verlangt von allen Beteiligten, daß sie die Interessen der Unternehmung und der anderen Beteiligten berücksichtigen

Für die Berücksichtigung dieser Anforderungen kommen in den typischen Fällen verschiedene Hilfs-Zielfunktionen zum Tragen: - Maximierung der Gesamtzielerreichung, z.B. die Summe der Punkte - Minimierung der relativen Abweichung vom Einzelideal für alle Ziele mit gleicher Abwei- chungsverteilung - Minimierung der absoluten Abweichungen vom Einzelideal für alle Ziele

Probleme der Kompromißregeln: - Legitimation unterschiedlicher Abweichungen - Ausprägungsabhängige Präferenz - Bedeutung der relativen Abweichung bei unterschiedlich hohen Ausprägungen - Verhältnis von Gerechtigkeit und Solidarität - Kommunikation der Präferenzen und ihrer Änderungen über den Lösungsraum - Inkonsistenz von Präferenzen

Ein weiteres Beispiel: Eine Firma stellt zwei Produkte her; von Produkt 1 müssen mindestens 20 und höchstens 180 , von Produkt 2 höchstens 250 hergestellt werden. Es bestehen zwei Produk- tionsbeschränkungen; die Koeffizienten lauten für Produkt 1 : 2 für B1 und -10 für B2 und für Produkt 2 : 3 für B1 und 10 für B2. Die Beschränkung B1 beträgt 900, B2 ist 1400. Die Preise betragen 100,- DM pro Stück, die variablen Kosten p1 = 30 und p2 = 200 DM/St. Die Produkte verursachen Schadstoff von 4 kg je Stück (P1) und 2 kg (P2).

Der Ansatz für Umsatz und Gewinnmaxi- mierung:

Wie verändert sich der Ansatz , wenn Schad- stoffminimierung als weiteres Ziel hinzutritt ? Lösungswerte: Gmax : x1 = 180, X2 =0, U 18000 G12600 S 720 Smin : x1= 20, x2 = 0, U = 2000 G = 1400 S 80 Umax: x1 = 180,x2 = 180, U= 36000 G = -5400 S = 1080

X1 x2 y1 y2 y3 y4 y5 b y1 -1 0 1 0 0 0 0 -20 y2 1 0 0 1 0 0 0 180 y3 0 1 0 0 1 0 0 250 y4 2 3 0 0 0 1 0 900 y5 -10 10 0 0 0 0 1 1400 U -100 -100 0 0 0 0 0 0 G -70 100 0 0 0 0 0 0 S 4 2 0 0 0 0 0 0

Netzplantechnische Grundbegriffe

Ein Netzwerk wird durch Knoten und Kanten bestimmt 2 C 4 A 1 D B 3 Gerichteter Graph der Aktivitäten A,B,C,D

Die Elemente eines Netzes können durch Aktivitäten oder Ereignisse beschrieben werden. Im allgemeinen werden Aktivitäten durch Kanten und Ereignisse durch Knoten abgebildet, es gibt aber auch Verfahren, in denen Aktivitäten durch Knoten abgebildet Den Aktivitäten werden Zeiten (Zeit pro Akti- vität), den Ereignissen Zeitpunkte zugeordnet.

Für die Aktivitäten im Beispiel gilt folgende Beziehung: A (muß) vor C (fertig sein) B vor D Regeln: Ein Pfeil geht immer von einem Knoten mit einer niedrigen Ordnungszahl zu einem mit einer höheren. Zwei Pfeile können nicht den gleichen Anfangs- und Endpunkt haben.

Modifikation des Beispiels: A und B vor C 3 A 4 1 B 2 D Die Numerierung der Knoten muß verändert werden. Die Aktivität 2 - 3 wird als Schein- aktivität bezeichnet.

Den Aktivitäten werden Zeiten zugeordnet. A 7, B 9, C 6, D2. Gesamtdauer des “Projekts A - D” bei der ersten Fassung : Max ( A + C, D + B ) = 13 Gesamtdauer bei der zweiten Fassung: Max ( A + C, B + C, B + D) = 15 Der kritische Weg ist hier 1, 2, 3, 4.

Netzplantechnik - Beispiel Aktivitäten Vorrang Dauer A vor D 6 B vor E,F,J 5 C vor H und L 5 D vor I 3 E vor I 6 F vor K 4 H vor K 5 I vor M 4 J vor M 7 K 3 L vor N 6 M 4 N 4

D,3 A,6 I,4 E,6 B,5 J,7 M,4 F,4 K,3 C,5 H,5 N,4 L,6

D,3 1 A,6 4 I,4 E,6 B,5 J,7 2 7 M,4 F,4 K,3 C,5 8 5 H,5 3 N,4 L,6 6

Termine und kritischer Weg Knoten FMS SEZ Puffer 0 0 0 0 1 6 8 2 2 5 5 0 3 5 9 4 4 11 11 0 5 10 16 6 6 11 15 4 7 15 15 0 8 19 19 0 Kritischer Weg : 0 - 2 - 4 - 7 - 8/ B,E,I,M. Dauer 19

Netzplanverkürzung - Kelley-Algorithmus Verkürzungsmöglichkeiten Aktivität Verkürzung Kosten A von 6 auf 4 je 500 B von 5 auf 4 1000 H von 5 auf 3 je 200 I von 4 auf 3 3000 K von 3 auf 2 2000 M von 4 auf 3 4000

Verkürzungsschritte Nur auf dem kritischen Weg (0 - 2 - 4- 7 - 8) 1. Schritt : B von 5 auf 4 1000 2. Schritt : I von 4 auf 3 + 3000 3. Schritt : M von 4 auf 3 + 4000 Mehr geht nicht; ein anderer Weg ist nicht kritisch geworden. Crash Time 16 bei 8000 Kosten.

Weiteres Beispiel als Word Programme Semester-OR-Klausur 2003 und SemORnetzplan

4.4 Tourenplanung Tourenplanung kann in verschiedenen Formen geschehen: Als Linienplan, Fahrplan oder mit der Planung einzelner Touren von einem oder mehreren Zentrallägern. Betrachtet wird der Fall mit einem Zentrallager und vorgegebenen Liefermengen. Die Orte sind durch ihre Koordinaten gegeben; die geometrische Entfernung wird über den Satz des Pythagoras ermittelt. Sie muß für reale Strecken um einen Faktor 1,2 bis 1,4 korrigiert werden.

Die Koordinaten seien zum Beispiel: Punkt 1 : 60/60 Punkt 2 : 50/70 Punkt 3: 70/90 ... ZL: 20/100 14 33 ... 57 28 ... 42 ... 51

nach 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ZL von 1 14 33 11 32 14 15 45 22 36 57 2 - 28 21 41 10 18 54 28 28 42 3 - - 20 5 40 32 18 25 62 51 4 - - - 21 21 14 34 15 43 52 5 - - - - 40 30 14 22 61 36 6 - - - - - 11 51 22 22 73 7 - - - - - - 40 11 30 65 8 - - - - - - - 30 70 36 9 - - - - - - - - 40 58 10 - - - - - - - - - 95

Weitere Randbedingungen - Räumliche Barrieren - Fahrzeit und Geschwindigkeit - Ladezeiten - Zeitfenster - Teillieferungen (möglich oder unmöglich) - Mehrere Lager

Beispiel Standortkoordinaten A: 30/30 B: 60/50 C: 40/80 D: 20/120 E: 70/140 F: 90/150 G: 120/145 H: 140/100 I: 130/70 K: 110/40 Z: 90/90 Transportmengen A: 8t B: 6t C: 5t D: 7t E: 9t F: 4t G:6t H: 8t I: 5t K: 7t Kapazität: 4 LKW à 18t

Entfernungstabelle nach B C D E F G H I K Z von A 36 51 91 117 134 146 130 108 81 85 B - 36 81 91 104 112 94 73 51 50 C - - 45 67 86 103 102 91 81 51 D - - - 54 76 103 122 121 120 76 E - - - - 22 50 81 92 108 54 F - - - - - 30 71 89 112 60 G - - - - - - 49 76 105 63 H - - - - - - - 32 67 51 I - - - - - - - - 36 45 K - - - - - - - - - 54

Tourenplanung Savingsmethode Ausgangspunkt sind lauter einzelne Pendel- touren. Die Tour mit der höchsten Lademenge wird mit der oder den Touren, die die größte Ersparnis (Savings) bringen, aufgefüllt. Die Savings ergeben sich aus D(ZL/P1)+D(ZL/P2)- D(P1/P2) Sie werden in einer Savingsmatrix ausgewiesen.

Savingsmatrix B C D E F G H I K A 99 85 70 22 11 2 6 22 58 B - 65 45 13 6 1 7 22 53 C - - 82 38 25 11 0 5 24 D - - - 76 60 36 5 0 10 E - - - - 92 67 24 7 0 F - - - - - 93 40 16 2 G - - - - - - 65 32 12 H - - - - - - - 64 38 I - - - - - - - - 63

1. Z - E - Z; 9t; 108 km 2. Z - E - F - Z;13t; 54 + 22 + 60 = 136 km (Ersparnis 228 -136 = 92 km) 3. Es passen mengenmäßig nur noch C oder I Z - E - F - I - Z; 18t;54+22+89+45=210km Z - C - E - F - Z;18t; 51+67+22+60 =200km. (!)

4. Z - A - Z; 8t;170 km Z - A - B - Z; 14t;171 km; Ersparnis 99km; Kapazität erschöpft 5. Z - H - Z; 8t; 102 km Z - H - I - Z; 13t;128 km ; Ersparnis 64 km oder zur besseren Mengenauslastung Z - H - K - Z; 15 t; 172 km; Ersparnis 38 km 6. Z - D - G - Z; 13 t; 242 km; Ersparnis 36 km Z - D - G - I - Z; 18 t; 300 km, wenn bei 5. die zweite Alternative gewählt wurde, sonst 7. Z - K - Z; 7t 108 km

Gesamtstrecke I II Z-C-E-F-Z 200km 200km Z-A-B-Z 171km 171km Z-H-I-Z 128km Z-H-K-Z 172km Z-D-G-Z 242km Z-D-G-I-Z 300km Z-K-Z 108km _______ _______ Summe 849km 843km Summe Pendeltouren 1178km

Eine dritte Variante wäre 1. Z - C - E - F - Z 200km 2. Z - A - B - Z 171km 3. Z - H - G - Z 163km 4. Z - K - I - Z 135km 5. Z - D - Z 152km _______ Summe 821 km Das ist deutlich besser als I und II

Sweepmethode Es werden im Uhrzeigersinn, bei 12 begin- nend, Touren gebildet, bis die Kapazitäts- grenze erreicht ist. 1. F-G-H;18t;190 km 2. I-K-B ; 18t;182 km 3. A-C;13t;187 km 4. D-E;16t;184 km Summe 743 km

Jetzt wird bei G gestartet 1. G-H; 14t; 163 km 2. I-K-B; 18t; 182 km 3. A-C; 13t;187 km 4. D-E; 16t; 184 km 5. F;4t;120 km Summe 836 km

Jetzt wird bei H gestartet 1. H-I; 13t; 128 km 2. K-B;13t; 155 km 3. A-C; 13t; 187km 4. D-E; 16t; 184 km 5. F-G; 10 t; 153 km Summe 807 km Als nächstes würde bei I gestartet. Das ergibt aber den zweiten Plan. 743 km ist die nach diesem Verfahren günstigste Lösung.

Verfahrensvergleich Es gibt keine eindeutige Überlegenheit eines Verfahrens. Umfangreiche Erfahrungen haben ergeben, daß die Sweepmethode gut geeignet ist, wenn das Lager zentral liegt und das Verhältnis der Zahl der Touren zur Zahl der anzufahrenden Stellen recht klein, etwa <2 ist. Bei dem Depot in Randlage und vielen Stellen pro Tour ist die Savings- methode besser.