Dachbodenausbau by Michael Lameraner und Florian Kerschbaumer HLUW Yspertal, 3A, 2008

Aufgabenstellung Ein Dachboden mit einem Giebeldach hat den Querschnitt eines gleichschenk- ligen Dreiecks. Man möchte den Dach- boden ausbauen und einen Raum ohne schiefe Wände gewinnen, der möglichst groß sein soll. Wo müssen die Wände eingebaut sein?

Grundlagen Diese Aufgabe hat mit „Extremwerten“ zu tun. Ehe wir in die Welt der Extremwerte eintauchen, erklären wir auf den nächsten Folien einige wichtige theoretische Grundlagen.

Was sind Extremwerte? Der lokal kleinste und der lokal größte Wert einer Funktion y heißt Extremwert Charakteristisch: an diesen Stellen befindet sich eine waagrechte Tangente Das heißt y‘ = 0

Maximum und Minimum Erkennung Maximum: degressive Krümmung (y‘‘ < 0), dh., der Anstieg nimmt von li nach re immer mehr ab. positiv  0  negativ Erkennung Minimum: progressive Krümmung (y‘‘ > 0), d.h., der Anstieg nimmt laufend zu. negativ 0  positiv

Wie werden Extremwertaufgaben behandelt? Überlegung der Gegebenheit des gestellten Problems Bestimmung des Ziels: Welche Größe soll ein Extremwert sein? zB y Kommen mehrere Variablen vor, so sucht man einen Zusammenhang zwischen ihnen und y Die Funktion y bestimmen und differenzieren. y‘ = 0…Extremwert

Was ist „Differenzieren“? Beim Differenzieren sucht man den Anstieg der Kurve in jedem beliebigen Punkt. Bei Potenzfunktionen kann dies sehr einfach mit der angegebenen Formel berechnet werden: y = xn  y‘ = n . xn-1

Nochmals die Aufgabe: Ein Dachboden mit einem Giebeldach hat den Querschnitt eines gleichschenk- ligen Dreiecks. Man möchte den Dach- boden ausbauen und einen Raum ohne schiefe Wände gewinnen, der möglichst groß sein soll. Wo müssen die Wände eingebaut sein?

Ansatz: c und h sind gegeben. Das Volumen des Dachbodenraums ist: V = x . z . a  Maximum, x und z…Variable z c h x a

Strahlensatz Mit Hilfe des Strahlensatzes suchen wir den Zusammenhang der Variablen x und z c/2 : h = x/2 : (h-z) |.(h-z) c . (h-z)/2 . h = x/2 |.2 x = c . (h-z)/h z c h x a c/2 z h x/2 h - z

Nun können wir das Ergebnis in die Volumenformel einfügen.

zur Erinnerung: x = c.(h-z)/h V = x . z . a V = z . a . c . (h-z)/h wir multiplizieren z in die Klammer: V = a . (c/h) . (zh-z²)

Jetzt wird differenziert und z berechnet: V‘(z) = a . ( c/h) (h-2z) = 0 2z = h z = h/2

Nun berechnen wir mit dem Ergebnis von vorhin, wie breit der Dachboden sein soll: x = c . (h-z)/h x = c . (h-h/2)/h x = c . h / (h . 2) x = c/2 z = h/2

Ergebnis Das größte Volumen wird erreicht, wenn man den Raum auf halber Höhe des Dach- bodens mit der halben Länge der Grund- linie baut. z c h/2 x h

Modell des Dachbodens 9 cm 18 cm Dachfläche Seite Dachboden vorne h = z c = 11 cm x h = 5,8 cm Dachboden vorne

Bilder des Modells Seitlicher Blick ins Haus Vorderseite

Berechnungen am Modell Für unser Modell haben wir folgende Ergebnisse: z = h/2 → 5,8/2 = 2,9 cm x = c/2 → 11/2 = 5,5 cm 5,5 cm x z = 2,9 cm c = 11 cm

V = x . z . a V = 5,5 . 2,9 . 18 V = 287,1 cm³ Das größtmögliche Volumen des „Dachbodens“ bei unserem Modell beträgt 287,1 cm³.