Aufgaben der linearen Optimierung für eine 8. Klasse Marcus Schreyer Lineare Optimierung Aufgaben der linearen Optimierung für eine 8. Klasse Marcus Schreyer

Lineare Optimierung Agenda Definition Lineare Gleichungssysteme 8. Klasse Motivation und Beweggründe Hinführung zur Optimierung – LUGS Aufgabe Erfahrungen Diskussion Lineare Optimierung

Lineare Optimierung Definition Was ist das? „Lineare Optimierung beschäftigt sich mit der Optimierung linearer Zielfunktionen über einer Menge, die durch lineare Nebenbedingungen eingeschränkt sind“ Lineare Optimierung

Lineare Optimierung Beispiel – Maximierung einer Zielfunktion Nebenbedingungen: Lösung: L = { (2|4) } Maximaler Zielwert: Z(2,4) = 70 Lineare Optimierung

Lineare Optimierung LGS 8. Klasse - Planung Einstieg Lineare Gleichung mit zwei Variablen Graph einer linearen Gleichung mit zwei Variablen Lineare Gleichungssysteme Grafisches Lösungsverfahren Gleichsetzungsverfahren Einsetzungsverfahren Lösbarkeit von Gleichungssystemen Anwendungen Lineare Ungleichungssysteme Lineare Ungleichung mit zwei Variablen Grafisches Lösungsverfahren Lineares Optimieren Lineare Optimierung

Lineare Optimierung LGS 8. Klasse - Planungsgrundlage Kernkurrikulum Schulbücher Neue Wege Elemente der Mathematik Lambacher Schweizer Feinplanung Ungleichungssysteme & Optimierung Internet Lineare Optimierung

Lineare Optimierung Motivation und Beweggründe Optimierungsprobleme vielfach in Industrie und Wirtschaft anzutreffen speziell lineare Optimierung Schüler kennen Optimierungsfragestellungen Gewinnmaximierung, Kostenminimierung Maximaler Gewinn bei minimalen Kosten Gegenwartsbedeutung, Zukunftsbedeutung Lineare Optimierung

Lineare Optimierung Hinführung - Voraussetzungen Behandlung von linearen Ungleichungssystemen Zusammenhang zwischen LGS und LUGS Grafisches Lösungsverfahren Ungleichungssystem: Lineare Optimierung

Lineare Optimierung Hinführung – LUGS Aufgabe Zelte-Aufgabe Eine Pfadfinder-Gruppe beschließt, für einen großen Ausflug Zelte einzukaufen. Im Sonderangebot stehen zwei Zelte: eines für 10 Personen und eines für 15 Personen. Von den 10-er Zelten sind aber nur noch 5 und von den 15-er Zelten nur noch 4 Stück vorrätig. Die 10-er Zelte kosten 100 Euro pro Stück und die 15-er Zelte kosten 200 Euro pro Stück. Die Pfadfinder können insgesamt höchstens 900 Euro für die Zelte ausgeben. Gib die Nebenbedingungen an und bestimme das Planungsvieleck! Lineare Optimierung

Lineare Optimierung Zelte-Aufgabe Nebenbedingungen – Lineare Ungleichungen Lineare Optimierung

Lineare Optimierung Zelte-Aufgabe - Planungsvieleck

Lineare Optimierung Eingesetzte Medien – Teil I Grafisches Lösungsverfahren konventionell angewendet zeitaufwendig GTR unübersichtlich und eingeschränkt Anwendung von GeoGebra Einfache Bedienung Allgemeine Verfügbarkeit – Internet Open Source – Schüler in Heimarbeit !! Dynamische Arbeitsblätter !! Einsatz „nebenbei“ in Computerraum vermittelt (1h) Lineare Optimierung

Lineare Optimierung Eingesetzte Medien – Teil II Klasse verfügt über eigenes Mathe-Wiki - Internet Wiki ermöglicht schnelles Erstellen und Bearbeiten von Webseiten Schüler & Lehrer arbeiten kollaborativ an Inhalten Inhalte werden einfach verfügbar gemacht Nutzen hier: Aufgaben im Wiki Dynamische Arbeitsblätter im Wiki Lineare Optimierung

Lineare Optimierung Eingesetzte Medien – Wiki

Lineare Optimierung Die Aufgabe Schülerzeitung - Ausgangssituation Das Albert-Einstein Gymnasium gibt im Abstand von zwei Monaten eine Schulzeitung heraus. Die Schulzeitung soll attraktiver gestaltet werden. Dazu hat die Redaktion beschlossen, einige Seiten farbig zu drucken. Lineare Optimierung

Lineare Optimierung Die Aufgabe Schülerzeitung – Redaktionsbeschluss Zahl der schwarz-weißen Seiten x darf höchstens doppelt so hoch sein wie die Zahl der farbigen Seiten y Aus Kostengründen darf die Zahl der farbigen Seiten y nicht größer sein als 5 Schülerzeitung soll mindestens 8 Seiten haben Lineare Optimierung

Lineare Ungleichungssysteme Aufgabe – Teil I Nebenbedingungen aufstellen Planungsvieleck festlegen Unterstützung durch vorbereitete Arbeitsblätter Mögliche Lösungen herausgreifen Lineare Optimierung

Lineare Optimierung Aufgabe Teil I – Nebenbedingungen Randgeraden: Lineare Optimierung

Lineare Optimierung Aufgabe Teil I - Planungsvieleck Welche Planung? Lineare Optimierung

Lineare Optimierung Aufgabe Teil II – Produktionskosten Die lokale Druckerei erstellt eine Schülerzeitung für 5 Cent je schwarz-weiße Seite und 10 Cent je farbiger Seite. Term für die Produktionskosten? Kostengleichung? Es liegt eine lineare Gleichung vor! Lineare Optimierung

Lineare Optimierung Aufgabe Teil II – Produktionskosten Welche Möglichkeiten von schwarz-weißen Seiten und farbigen Seiten bei Kosten von 50, 70 und 90 Cent ? Lineare Optimierung

Lineare Optimierung Aufgabe Teil II – Lineare Optimierung Produktionskosten sollen minimal sein. Welche Kombination von schwarz-weißen und farbigen Seiten ermöglicht dies. Wie hoch sind die Produktionskosten. Mittels fertigem Arbeitsblatt soll Strategie entwickelt werden Parallelverschiebung von Zielgeraden Verschiebung soweit, dass y-Achsenabschnitt möglichst groß ist und gleichzeitig Schnittpunkt mit Planungsvieleck vorliegt Lösung liegt in einer Ecke - Eckenkriterium Lineare Optimierung

Lineare Optimierung Erfahrungen In 4 Stunden gut durchführbar Kalkülhaftes Vorgehen von durchschnittlichen und schlechteren Schülern Verständnisprobleme mit Gesamtzusammenhang Lineare Zielgleichung und Planungsvieleck Auch handwerkliche Probleme - Termumformungen Anspruchsvoll für sehr gute Schüler Dennoch üben äußerst wichtig ! Lineare Optimierung

Lineare Optimierung Genug der Folien… Fragen & Antworten Diskussion Lineare Optimierung