Statistische Grundlagen - Maße für die zentrale Tendenz (Mittelwerte) - Streuungsmaße - Zusammenhangsmaße

Beschreibende (deskriptive) Statistik Arbeitsablauf der statistischen Bearbeitung von Testergebnissen Ordnung und Darstellung verhältnisskalierter Daten Tabellarische Ordnung Urliste Primäre Tafel Häufigkeitstabelle (evtl. mit Klassenbildung) Graphische Darstellung Histogramm oder Polygonzug Berechnung des Modus Median arithmetischen Mittels x

Skalenniveaus Verhältnisskala Intervallskala Ordinalskala Nominalskala absoluter Nullpunkt Rangordnung gleiche Abstände Beispiele: m, kg, s, Temperaturskala in °K Intervallskala Rangordnung gleiche Abstände Beispiel: Temperaturskala in °C Ordinalskala Rangordnung Beispiele: Plazierungen, trifft zu - trifft weniger zu - trifft nicht zu Nominalskala keine Voraussetzungen Beispiel: Ja/Nein

Median bei 5 Messwerten: 13,3 s Median (Zentralwert) - Wert, bei dem 50% der Messwerte erreicht (kummuliert) sind. - Ermittlung aus einer geordneten Reihe von Messwerten. 6 14,5 5 14,0 4 13,3 3 13,0 2 12,9 1 100m-Zeit [s] i Median bei 5 Messwerten: 13,3 s Median bei 6 Messwerten:13,65 s (13,3 + 14,0):2 14,9 Voraussetzung: mindestens Ordinalskala!

Modus bei 1,45 m Modus (Gipfelwert) - Wert, der am häufigsten vorkommt. 1 1,65 7 2 1,60 6 3 1,55 5 1,50 4 8 1,45 1,40 1,35 Anzahl n Hochsprung-höhe [m] i Modus bei 1,45 m Voraussetzung: Nominalskala

Mittelwert (x) Voraussetzung: mindestens Intervallskala! x S 38,24 13,21 10 35,64 12,63 9 43,40 15,12 8 35,42 13,11 7 38,64 13,39 6 41,84 5 35,82 13,77 4 46,62 16,30 3 55,24 15,66 2 45,68 16,00 1 Speer (xS) Kugel (xK) i 142,30 416,54 Voraussetzung: mindestens Intervallskala! 14,23 41,65

Beschreibende (deskriptive) Statistik Arbeitsablauf der statistischen Bearbeitung von Testergebnissen Ordnung und Darstellung verhältnisskalierter Daten Tabellarische Ordnung Urliste Primäre Tafel Häufigkeitstabelle (evtl. mit Klassenbildung) Graphische Darstellung Histogramm oder Polygonzug Berechnung des Maße für die zentrale Tendenz Modus Median arithmetisches Mittels x Berechnung der Streuungsmaße Variationsbreite (Range), R = xmax - xmin Standardabweichung s Variabiltätskoeffizient v

Warum Berechnung der Streuungsmaße? - Streuung verschiedener Verteilungen mit gleichem Mittelwert

Standardabweichung (±s) 41,65 14,23 x   416,54 142,30 S 38,24 13,21 10 35,64 12,63 9 43,40 15,12 8 35,42 13,11 7 38,64 13,39 6 41,84 5 35,82 13,77 4 46,62 16,30 3 55,24 15,66 2 45,68 16,00 1 Speer (xS) Kugel (xK) i -1,02 -1,60 0,89 -1,12 -0,84 -0,46 2,07 1,43 1,77 (xi - x) 1,04 2,56 0,79 1,25 0,71 0,21 4,28 2,04 3,13 (xi - x)2 -3,41 -6,01 1,75 -6,23 -3,01 0,19 -5,83 4,97 13,59 4,03 (xi - x) 11,66 36,17 3,05 38,86 9,08 0,03 34,04 24,66 184,58 16,21 (xi - x)2 17,28 358,34 1,39 6,31

Standardabweichung (±s) Variabilitätskoeffizient (v) Z-Transformation XK5=13,11 XS5=41,84

Komparative Statistik - Produkt-Moment Korrelation rxy - Ermittlung der Zusammenhänge zwischen zwei Merkmalen (Korrelationsrechnung) - Produkt-Moment Korrelation rxy - X-Y-Punktdiagramm

Korrelation (rxy) 6,31 1,39 ±s 41,65 14,23 x 358,34   416,54 17,28 142,30 S 11,66 -3,41 38,24 1,04 -1,02 13,21 10 36,17 -6,01 35,64 2,56 -1,60 12,63 9 3,05 1,75 43,40 0,79 0,89 15,12 8 38,86 -6,23 35,42 1,25 -1,12 13,11 7 9,08 -3,01 38,64 0,71 -0,84 13,39 6 0,03 0,19 41,84 5 34,04 -5,83 35,82 0,21 -0,46 13,77 4 24,66 4,97 46,62 4,28 2,07 16,30 3 184,58 13,59 55,24 2,04 1,43 15,66 2 16,21 4,03 45,68 3,13 1,77 16,00 1 (yi - x)2 (yi - x) Speer (yS) (xi - x)2 (xi - x) Kugel (xK) i 3,48 9,62 1,55 6,98 2,53 -0,21 2,68 10,28 19,43 7,13 (xiK - xK)·(yiS - xS) 63,48

Korrelation (rxy) i Kugel (xK) Speer (yS) (yi - x)2 1 16,00 1,77 3,13 (xi - x) (xi - x)2 Speer (yS) (yi - x) (yi - x)2 (xiK - xK)·(yiS - xS) 1 16,00 1,77 3,13 45,68 4,03 16,21 7,13 2 15,66 1,43 2,04 55,24 13,59 184,58 19,43 3 16,30 2,07 4,28 46,62 4,97 24,66 10,28 4 13,77 -0,46 0,21 35,82 -5,83 34,04 2,68 5 13,11 -1,12 1,25 41,84 0,19 0,03 -0,21 6 13,39 -0,84 0,71 38,64 -3,01 9,08 2,53 7 13,11 -1,12 1,25 35,42 -6,23 38,86 6,98 8 15,12 0,89 0,79 43,40 1,75 3,05 1,55 9 12,63 -1,60 2,56 35,64 -6,01 36,17 9,62 10 13,21 -1,02 1,04 38,24 -3,41 11,66 3,48 S 142,30   17,28 416,54   358,34 63,48 x 14,23 41,65 ±s 1,39 6,31

Interpretation des Korrelationskoeffizienten Korrelationskoeffizienten bewegen sich im Bereich von -1 bis +1. Positive Korrelationen ergeben sich bei Zusammenhängen der Art „je größer die eine Variable, desto größer die andere Variable“ Negative Korrelationen ergeben sich bei Zusammenhängen der Art „je größer die eine Variable, desto kleiner die andere Variable“ Werte zwischen 0,7 und 1,0 werden als hohe, Werte zwischen 0,3 und 0,7 als mittlere und Werte zwischen 0 und 0,3 als niedrige Korrelationen bezeichnet. Ein Wert von -1 oder +1 beschreibt einen vollständigen Zusammenhang. Die Korrelationsberechnung kann z.B. zur Identifikation von wichtigen biomechanischen Parametern (Kennwerten) und zur Abgrenzung von eher unwichtigen dienen.

Einschränkungen zum Korrelationskoeffizienten Nur sinnvoll anwendbar bei linearen Zusammenhängen! Für nichtlineare Zusammenhänge existieren andere Verfahren Ein hoher Korrelationskoeffizient sagt noch nichts über einen tatsächlich inhaltlich vorhandenen Zusammenhang aus (Scheinkorrelationen)! Durch die falsche Auswahl von Populationen (Selektionsfehler) können Verzerrungen entstehen.

Nichtlineare Zusammenhänge Parabolischer Zusammenhang Kein Zusammenhang Aus: BORTZ, J. (1989). Statistik für Sozialwissenschaftler. Berlin, Heidelberg, New York. Springer

Scheinkorrelation

Scheinkorrelation? Sind gute Golfspieler gegenüber schlechteren die besseren oder die schlechteren Unternehmensführer? Wer erreicht die besseren Renditen? Was meinen Sie? Argumente? Begründungen? Was braucht man zum Golferfolg? Disziplin? Konzentration? Scheinbar korreliert ein kleines Handicap im Golf mit hohen Renditen durch den Vorstandsvorsitzenden (negative Korrelation)! Ob dies allerdings inhaltlich begründbar ist, bleibt fraglich. Wäre Tiger Woods also der ideale Unternehmensführer?

Selektionsfehler (Stichprobe mit zu kleiner Streubreite) Aus: BORTZ, J. (1989). Statistik für Sozialwissenschaftler. Berlin, Heidelberg, New York. Springer

Selektionsfehler (Stichprobe mit zu kleiner Streubreite) Aus: BORTZ, J. (1989). Statistik für Sozialwissenschaftler. Berlin, Heidelberg, New York. Springer

Regression 100m-Zeit zu Weitsprungleistung Y = mx + b m = -1,0453504 b = 18,87 Beispiel: 12,5 * -1,0453504 + 18,87 = 5,87 m r = -0,92

Testverfahren für Gruppenvergleiche (Mittelwertsvergleiche) Aus:WILLIMCZIK, K. (1997): Statistik im Sport. Hamburg: Czwalina

Stichproben und Grundgesamtheit

Unterschiede zwischen Gruppen? Mittelwertsvergleiche z.B. mit einem t-Test ermöglichen die Entscheidung, ob sich Gruppen signifikant unterscheiden. Sie überprüfen Hypothesen!

Unterschiede zwischen Gruppen? Mittelwertsvergleiche z.B. mit einem t-Test ermöglichen die Entscheidung, ob sich Gruppen signifikant unterscheiden. Sie überprüfen Hypothesen!