TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENE Vorlesung am 2. Mai 2006 Thomas Schörner-Sadenius Universität Hamburg, IExpPh Sommersemester 2006

ÜBERBLICK Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen Feynman-Regeln und –Diagramme Lagrange-Formalismus und Eichprinzip 3.1 Eichprinzip 3.2 Lagrange-Formalismus 3.3 Masse und Polarisation des Photons QED 4.1 Volle Lagrange-Dichte der QED TSS/RKK SS06: Teilchenphysik II

ANMERKUNGEN Zu Aufgabe 7a “Paritätstransformation der Dirac-Gleichung”: Dirac im EM-Feld: Da die Gleichung an jeder Stelle des Raumes gelten soll: (Beachte Ableitung!) Wie kriege ich das zurück zur Gestalt der Original-Gleichung? Mit folgt: Jetzt Multiplikation von links mit 0: Einziger Unterschied zum Original: Vorzeichen des Vektorpotentials – aber bei einer echten Raumspiegelung ändert auch das das Vorzeichen (E-Feld tut es, und )! Also lautet die korrekte raumgespiegelte Gleichung: Die Lösung der Dirac-Gleichung transformiert sich also wie … und die Dirac-Gleichung ist forminvariant bei der Ersetzung: Aufgrund der Gestalt von 0 sind die Spinoren der Teilchen sind Eigenzustände der Parität mit Eigenwert +1, die der Antiteilchen mit Eigenwert –1. Explizit TSS/RKK SS06: Teilchenphysik II

ANMERKUNGEN Zum Ausdruck: TSS/RKK SS06: Teilchenphysik II

WIEDERHOLUNG: DAS EICHPRINZIP Hintergrund: Nur lokal eichinvariante Theorien sind renormierbar (Veltman): Problem bei Dirac-Gleichung: Dirac-Gleichung freier Teilchen ist NICHT invariant: es entsteht ein neuer Term: Man kommt nun von der freien zu einer invarianten Theorie durch Einführung der kovarianten Ableitung anstelle der “normalen”: … und diese Gleichung ist invariant! Die Forderung lokaler Eichinvarianz erfordert also die Existenz neuer (Eich)Felder (Teilchen) A und beschreibt auch ihre Wechselwirkungen mit den Elektronen. Schmueser p140! TSS/RKK SS06: Teilchenphysik II

3.2 DER LAGRANGE-FORMALISMUS Klassische Mechanik: Lagrange-Funktion  Euler-Lagrange-Gleichung  Bewegungsgleichungen. Lagrange-Funktion: L=L(q,tq) verallg. Koordinaten q, tq. Euler-Lagrange: Beispiel: Punktteilchen: Ergebnis: Newtons Gesetz: Weiteres Beispiel: Harmonischer Oszillator. Ausweitung auf Felder (allgemein ): – Verallgemeinerte Koordinaten: L=L(, ). – Lagrange-Funktion  Lagrange-Dichte Anmerkung: Wirkung – Euler-Lagrange: Beispiel Klein-Gordon-Gleichung: … es folgt also: … was unserer Definition der Klein-Gordon-Gleichung enstspricht: TSS/RKK SS06: Teilchenphysik II

3.2 DER LAGRANGE-FORMALISMUS Weiteres Beispiel: Dirac-Gleichung: – Ansatz für Lagrange-Dichte: und  sind hier als zwei unabhängige Felder zu betrachten. Zwei Bemerkungen dazu: In der klassischen Mechanik wird die Lagrange- Funktion mithilfe der Vorschrift L=T–V (T–U) gebildet. In der Quantenfeldtheorie werden die Lagrange-Dichten axiomatisch festgesetzt. Die Kenntnis der Lagrange-Dichte erlaubt, mithilfe der verallgemeinerten Variablen (wie oben) oder über Pfadintegrale die Feynman-Regeln der Theorie abzuleiten und damit den dynamischen Teil von Wirkungsquerschnitten zu bestimmen. Der Zusammenhang zwischen den Feynman-Regeln und dem Lagrange-Formalismus: Zu jeder Lagrange-Dichte gibt es einen korrespondierenden Satz von Regeln; ordne den Termen der Lagrange-Dichte Propagatoren und Vertexfaktoren zu. Die Propagatoren sind die Terme, die quadratisch in den Feldern sind:2, , ()2, (i-m), … Die Propagatoren werden durch die Euler-Lagrange-Gleichungen und mithilfe der Störungstheorie abgeleitet. Die anderen Terme werden mit den Vertices in Zusammenhang gebracht und leicht zugeordnet. Beispiel: Feynman ist perturbativ! TSS/RKK SS06: Teilchenphysik II

3.2 ZUM NOETHER-THEOREM Ein Wort zum Noether-Theorem: Die Forderung, dass eine Lagrangedichte invariant sein soll unter einer (infinitesimalen) Eichtrafo führt zu Erhaltungsgröße (erhaltener Strom): Diese Variation resultiert in Variation der Dichte: Die Forderung der Symmetrie der Physik resultiert in einer Erhaltungsgröße – dem Strom j. Da eine Symmetrie bedeutet, dass man eine Größe nicht messen kann (Translationsinvarianz keine absolute Position im Raum!), ist hier Phase  nicht messbar. Es ist keine physikalische Größe und kann beliebig gewählt werden. Falls aber an einer Stelle ein Wert fest, dann auch für die gesamte Raumzeit – globale Invarianz! Halzen p314, TSS/RKK SS06: Teilchenphysik II

3.2 EICHPRINZIP IM LAGRANGE-FORMALISMUS Man fordert lokale Eichinvarianz der Lagrange-Dichte unter der Trafo: Aus der Lagrange-Dichte wird: Die Dichte des freien Teilchens ist also nicht invariant! Ausweg: 1. Kovariante Ableitung: 2. Feld A: Die neue Lagrangedichte ist invariant  Noch einmal, weil es so toll ist: Das Prinzip der lokalen Eichinvarianz erzwingt die Existenz eines neuen Vektorfeldes und legt gleichzeitig die Form der Wechselwirkung der Teilchen mit dem Feld fest: Kinetischer Term Massen- Term Wechsel- wirkung, Kopplung q Eichinvarianz als dynamisches Prinzip Wenn divB=0  B ist rot eines Vektorfeldes Wenn rotE=0  E ist div eines skalaren Feldes … TSS/RKK SS06: Teilchenphysik II

3.3 PHOTON: MASSE UND POLARISATION Die Wellengleichung des Photons lautet (Lorentz-Eichung): Dieser Ausdruck ist invariant gegenüber der Transformation: Die Wellengleichung eines massiven Vektorbosons oder Feldes W mit Masse MW hingegen … … ist NICHT invariant (rechnen!) – für massive Vektorbosonen gibt es keine Eichinvarianz! Alternativer Weg: Ein Masseterm des Feldes A zerstört Invarianz: Wellengleichung des Photons im Vakuum: Mit dem Ansatz A=Nexp(–ikx) (kk=0 für reelle Photonen) ergibt die Lorentz-Bedingung: Der Polarisationsvektor des Photons ist also orthogonal zu seinem Viererimpuls; man kann sogar durch geschickte Eichung erreichen, dass gilt: Das Feld A hat vier Freiheitsgrade (DoF); einer davon wird durch die Lorentz-Eichung festgelegt. Forderung nach Masselosigkeit: noch zwei DoF.  Bei festgelegtem Impuls k=(0,0,k): Bei 3 Zustaenden, also Masse nicht 0: Spin 1-Charakter deutlich sichtbar! Bei Masse 0 dritter Zustand nicht realisiert! Linear transversal zirkular TSS/RKK SS06: Teilchenphysik II

4.1 QED: LAGRANGE-DICHTE Die vollständige Lagrange-Dichte der QED (Elektron, Positron, Photon) lautet: Dieser Ausdruck ist invariant unter lokalen U(1)-Eichtransformationen (die Phasentrafos exp(iq) bilden die unitäre abelsche Gruppe U(1)). Noch mal: Nach dem Noether-Theorem impliziert diese Invarianz die Erhaltung eines Stromes, und zwar des Stromes, dessen Ladung q ist! Kinetischer Term der Leptonen Kinetischer Term der Photonen Massen- Term der Leptonen Wechsel- wirkung, Kopplung q Bei 3 Zustaenden, also Masse nicht 0: Spin 1-Charakter deutlich sichtbar! Bei Masse 0 dritter Zustand nicht realisiert! TSS/RKK SS06: Teilchenphysik II