Übung Informatik1 für ET und MT Inhalte: Binäre Algorithmen für arithmetische Grundrechenarten Beispiel zur Addition positiver und negativer Summanden Binäre Multiplikation und Division Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT Aufgaben: 4.1 Zu berechnen ist A2 + B2 = D2 mit A2 > 0  B2 und A2 = 1001110, | B2 | = 10101 . Die Berechnung erfolgt mit einem seriell strukturierten Rechenwerk, dabei sind die Operanden in die Register Ra und Rb einzutragen, das Ergebnis wird in das Register Ra zurückgeschrieben. Die gesteuerten Gatter G negieren bei Bedarf die Eingänge bzw. das Rückschreiben (B-Komplement-Bildung) des Ergebnisses. Nutzen Sie das Arbeitsblatt 1 zur Lösung dieser Aufgabe! Ermitteln Sie die binäre Steuersignale a, a', b und Ü, die den Operanden entsprechend gesetzt werden und die Summe D2 in Vorzeichenbetrags- darstellung. 4.2 Zu realisieren ist eine 8-Bit Multiplikation. Zum einen kann ein 4-2-Blockmultiplizierer, der 4-Bit parallel multipliziert und dann die Teilprodukte seriell verknüpft, zum anderen ein 2-4-Blockmultiplizierer, der 2-Bit parallel multipliziert und dann das Ergebnis seriell ermittelt, genutzt werden. Skizzieren Sie beide Varianten. Ermitteln Sie die Anzahl der benötigten VA/HA für jede dieser Varianten und die laufzeitgünstigere Variante an Hand der maximal zu durchlaufenden VA/HA Gatter für eine Multiplikation. 4.3 Zeichnen Sie die Schaltung einer 8-Bit Festkommadivision. Führen Sie eine entsprechende Berechnung an Hand des Beispieles 0101 00012 : 0000 10012 unter Verwendung von Arbeitsblatt 2 durch. Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT Zu 4.1 Siehe Arbeitsblatt 1 und Lösung Arbeitsblatt 1 Funktion des Gatters G a, a', b sind Steuersignale g zur Bildung des B-Komplements und x, y Ein- bzw. Ausgangssignale der Gatter G, dann gilt y = (1-x) für g = 1 bzw. y = x für g = 0. y = x ¬g v ¬x g bzw. y = x  g x g = a oder a‘ oder b =1 y Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT VA D Q Ü0 Lösung der Übertragsbildung: Realisierung von Ü0 durch ein D-FF, das mit dem gleichen Takt gesteuert wird mit dem die Operandenregister geschoben werden. Lösung zur Bildung der Steuersignale a, a’ und b zur Erzeugung der B- Komplemente der Operanden Das RS Flipflop wird beim Start asynchron auf null gesetzt. Mit der ersten 1 im Register Rb wird dann mit dem Takt der Ausgang des Flipflop 1 und bleibt 1 bis zum Ende der Addition. Um das Vorzeichen des Ergebnisses noch vor der Ausführung der Addition zu bilden, muss man wissen welcher Operand den größeren Betrag hat. Dazu kann man die Operanden A und B vom höchsten Bit beginnend Bit für Bit vergleichen, bis man einen Unterschied gefunden hat. Der Operand, der als erstes eine 1 hat, während der Andere an gleicher Position eine 0 hat ist größer. Zusammen mit den Vorzeichen von A und B kann daraus das Vorzeichen des Ergebnisses ermittelt werden 0 0 0 1 0 1 0 1 1 Rb G & S Q Rst Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT Skizze der Realisierung einer binären Addition A2 + B2 = D2 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 Ra' Ra Rb Fortschrittsrichtung VA Ga‘ a‘ Ga a Gb b Vorzeichen Ü0 a‘ a b Ü0 . . . 3 2 1 0 Positionsindex Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT Skizze der Realisierung einer binären Addition A2 + B2 = D2 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 Ra' Ra Rb Fortschrittsrichtung VA Ga‘ a‘ Ga a Gb b Vorzeichen Ü0 a‘ a b Ü0 . . . 3 2 1 0 Positionsindex Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT Skizze der Realisierung einer binären Addition A2 + B2 = D2 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 Ra' Ra Rb Fortschrittsrichtung VA Ga‘ a‘ Ga a Gb b Vorzeichen Ü0 a‘ a b Ü0 . . . 3 2 1 0 Positionsindex Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT Skizze der Realisierung einer binären Addition A2 + B2 = D2 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 Ra' Ra Rb Fortschrittsrichtung VA Ga‘ a‘ Ga a Gb b Vorzeichen Ü0 a‘ a b Ü0 . . . 3 2 1 0 Positionsindex Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT Skizze der Realisierung einer binären Addition A2 + B2 = D2 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 Ra' Ra Rb Fortschrittsrichtung VA Ga‘ a‘ Ga a Gb b Vorzeichen Ü0 a‘ a b Ü0 . . . 3 2 1 0 Positionsindex Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT Skizze der Realisierung einer binären Addition A2 + B2 = D2 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 Ra' Ra Rb Fortschrittsrichtung VA Ga‘ a‘ Ga a Gb b Vorzeichen Ü0 a‘ a b Ü0 . . . 3 2 1 0 Positionsindex Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT Skizze der Realisierung einer binären Addition A2 + B2 = D2 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 Ra' Ra Rb Fortschrittsrichtung VA Ga‘ a‘ Ga a Gb b Vorzeichen Ü0 a‘ a b Ü0 . . . 3 2 1 0 Positionsindex Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT Skizze der Realisierung einer binären Addition A2 + B2 = D2 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 Ra' Ra Rb Fortschrittsrichtung VA Ga‘ a‘ Ga a Gb b Vorzeichen Ü0 a‘ a b Ü0 . . . 3 2 1 0 Positionsindex Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT Zu 4.2 4-2-Blockmultiplizierer, der 4-Bit parallel multipliziert und dann die 4 Teilprodukte seriell verknüpft P = A * B mit A = AH * 24 + AL und B = BH * 24 + BL Bildung der Teilprodukte: AL * BL AL * BH * 24 nacheinander mit 4 Bit-Multiplizierer ausführen AH * BL * 24 anschließend verschieben AH * BH * 28 Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT Paralleler 2-Bit Multiplizierer Paralleler 4-Bit Multiplizierer B1 B0 B3 B2 B1 B0 A0 A0 B3 B2 B1 B0 B1 B0 A1 A1 B3 B2 B1 B0 A2 P2 P1 P0 B3 B2 B1 B0 A3 P7 P6 P5 P4 P3 P2 P1 P0 VA VA VA HA VA HA VA VA VA HA P3 VA VA VA HA Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT Schema eines 8 Bit Blockmultiplizierers Löschen … Register P‘ = P neu P‘ = A… * B… + P speichern P = P alt A und … 4 Bit verschieben P‘ = A… * B… + P speichern Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT + 4 Bit Parallel Multiplizierer 16 + 1 Bit Schieberegister für Produkt P 7 6 5 4 3 2 1 0 Schaltung zur Zusammenfassung der 4 Ergebnisse des Multiplizierers 1. P‘ = 0 2. P‘ = AL * BL + P 3. A und P 4 Bit nach rechts schieben 4. P‘ = AH * BL + P 5. A und B 4 Bit nach rechts schieben 6. P‘ = AL * BH + P (Übertrag möglich) 7. A und P 4 Bit nach rechts schieben 8. P‘ = AH * BH + P Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT 4-2 Blockmultiplizierer - Anzahl der HA / VA Gatter: ein 4-Bit Parallel Multiplizierer: n-1 Addiererkette (keine für Bit 0)  3 Ketten jede Kette aus 1 HA und n-1 VA  je 1 HA und 3 VA n2 Und-Gatter für bitweise Multiplikation  16 Und 3 HA 9 VA 16 Und Aufsummieren der Teilprodukte: Verschieben 2 Teilprodukte und 3* Operanden je 4 Takte  12 Verschiebetakte (3*4 Takte) 8-Bit Ripple-Carry-Addierer 1 HA 7 VA  4 HA 16 VA 16 Und Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT 4-2 Blockmultiplizierer - Zeitverhalten: (VAc = Zeit für den Übertrag VAs = Zeit für die Summe) ein 4-Bit Parallel Multiplizierer: (A * B = 11112 * 10112 = 101001012) 1 Und-Gatter eine Kette aus n-2 Add (1. ist HA)  1 HA und 1 VAc = 1 VA und 1 HA eine Kette aus n-1 VAc und 1 HA  3 VAc und 1 HA = 3 VA und 1 HA eine Spalte aus n-2 VAs  2 VAs = 2 VA 1 Und + 2 HA + 6 VA Aufsummieren der Teilprodukte: Verschieben: (Anzahl der Teilprodukte – 1) mal 4 Takte + 1 VA zu der längsten Kette des 4 Bit Parallel Multiplizierer für die Blocksumme (1 Und + 2 HA + 7 VA) *4 + 12VS 4 Teilprodukte und 3*4 Schiebetakte 4 Und + 8 HA + 28 VA + 12VS Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT 2-4 Blockmultiplizierer - Anzahl der HA / VA Gatter: ein 2-Bit Parallel Multiplizierer: n-1 Addiererkette (keine für Bit 0)  1 Ketten jede Kette aus 1 HA und n-1 VA  je 1 HA und 1 VA n2 Und-Gatter für bitweise Multiplikation  4 Und 1 HA 1 VA 4 Und Aufsummieren der 16 Teilprodukte von 4 Bit: Verschieben (16 – 1) Teilprodukte je 2x  30 Verschiebetakte (15*2 Takte) 4-Bit Ripple-Carry-Addierer 1 HA 3 VA (aufwendiger als serieller Multiplizierer)  2 HA 4 VA 4 Und Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT a1a0 b1b0 VL 0 a1a0 b3b2 VL 2 a3a2 b1b0 VL 2 a3a2 b3b2 VL 4 a1a0 b5b4 VL 4 a5a4 b1b0 VL 4 a1a0 b7b6 VL 6 a3a2 b5b4 VL 6 a5a4 b3b2 VL 6 a7a6 b1b0 VL 6 a5a4 b5b4 VL 8 a3a2 b7b6 VL 8 a7a6 b3b2 VL 8 a5a4 b7b6 VL 10 a7a6 b5b4 VL 10 a7a6 b7b6 VL 12 2-4 Blockmultiplizierer - Anzahl der HA / VA Gatter Anzahl der Teilprodukte: A = (a7a6 *26 + a5a4 * 24 + a3a2 * 22 + a1a0 * 20) B = (b7b6 *26 + b5b4 * 24 + b3b2 * 22 + b1b0 * 20) 16 TP Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT 2-4 Blockmultiplizierer - Zeitverhalten: (VAc = Zeit für Übertrag VAs = Zeit für Summe) ein 2-Bit Parallel Multiplizierer: 1 UND-Gatter eine Kette aus n-2 Add (1. ist HA)  0 VA 0 HA eine Kette aus n-1 VAc und 1 HA  1 VA 1 HA eine Spalte aus n-2 VAs  0 VA 1 Und + 1 HA + 1 VA Aufsummieren der Teilprodukte: 16 Teilprodukte von 4 Bit breite. Verschieben und Summieren, der Produkte (16-1) x 2 Bit links + 1 VA zu der längsten Kette des 2 Bit Parallel Multiplizierer für die Blocksumme  ( 1 Und + 1 HA + 2 VA) * 16 + 30 VS  16 Und + 16 HA + 32 VA + 30 VS Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT 4.3 Schaltung einer 4-Bit Festkommadivision. ´1´ 4 3 2 1 0 4 3 2 1 0 Dividend Divisor Quotient write enable + Dividend = 12910 = 1000 00012 Divisor = 1310 = 11012 Quotient = 910 = 10012 Rest = 1210 = 11002 = DividendH Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT VZ : = Rest 0000 + B-Komplement von 1001 ergibt 0, da neg. Übertrag VS links 1 x + ergibt 1, da pos. Schema zur binären Festkommadivision (8 Bit : 4 Bit) ergibt 0, da neg. ergibt 1, da pos. 2 1 Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT VZ : = Rest 0000 + B-Komplement von 1001 ergibt 0, da neg. Übertrag VS links 1 x + ergibt 1, da pos. Schema zur binären Festkommadivision (8 Bit : 4 Bit) ergibt 0, da neg. ergibt 1, da pos. 2 1 Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT VZ : = Rest 0000 + B-Komplement von 1001 ergibt 0, da neg. Übertrag VS links 1 x + ergibt 1, da pos. Schema zur binären Festkommadivision (8 Bit : 4 Bit) ergibt 0, da neg. ergibt 1, da pos. 2 1 Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT VZ : = Rest 0000 + B-Komplement von 1001 ergibt 0, da neg. Übertrag VS links 1 x + ergibt 1, da pos. Schema zur binären Festkommadivision (8 Bit : 4 Bit) ergibt 0, da neg. ergibt 1, da pos. 2 1 Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT VZ : = Rest 0000 + B-Komplement von 1001 ergibt 0, da neg. Übertrag VS links 1 x + ergibt 1, da pos. Schema zur binären Festkommadivision (8 Bit : 4 Bit) ergibt 0, da neg. ergibt 1, da pos. 2 1 Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT VZ : = Rest 0001 + B-Komplement von 1001 ergibt 1, da pos. Übertrag Overflow wird hier erkannt. + ergibt 0, da neg. Schema zur binären Festkommadivision (8 Bit : 4 Bit) ergibt 0, da neg. ergibt 1, da pos. 2 1 Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT VZ : = Rest 0001 + B-Komplement von 1001 ergibt 1, da pos. Übertrag Overflow wird hier erkannt. + ergibt 0, da neg. Schema zur binären Festkommadivision (8 Bit : 4 Bit) ergibt 0, da neg. ergibt 1, da pos. 2 1 Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT VZ : = Rest 0001 + B-Komplement von 1001 ergibt 1, da pos. Übertrag Overflow wird hier erkannt. + ergibt 0, da neg. Schema zur binären Festkommadivision (8 Bit : 4 Bit) ergibt 0, da neg. ergibt 1, da pos. 2 1 Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT VZ : = Rest 0001 + B-Komplement von 1001 ergibt 1, da pos. Übertrag Overflow wird hier erkannt. + ergibt 0, da neg. Schema zur binären Festkommadivision (8 Bit : 4 Bit) ergibt 0, da neg. ergibt 1, da pos. 2 1 Übung Informatik1 für ET und MT

Übung Informatik1 für ET und MT VZ : = Rest 0001 + B-Komplement von 1001 ergibt 1, da pos. Übertrag Overflow wird hier erkannt. + ergibt 0, da neg. Schema zur binären Festkommadivision (8 Bit : 4 Bit) ergibt 0, da neg. ergibt 1, da pos. 2 1 Übung Informatik1 für ET und MT