7. Automaten Ein Automat ist ein Sechstupel A= (I, O, Q, , q0, F). Dabei sind: I bzw. O das Ein- bzw. Ausgabealphabet, Q eine endliche Menge von Zuständen, in denen sich der Automat befinden kann,  eine Zustandsübergangsfunktion, q0  Q der Anfangszustand und F  Q eine Menge von Endzuständen.

Turing-Maschinen: ein abstrakes Maschinenmodell Eine Turing-Maschine M = <Z, , ,, z0, •, E> besteht aus Z: endliche Zustandsmenge : Eingabealphabet :Arbeitsalphabet, enthält  Überführungsfunktion Z  ---> Z   {L, R, N} z0: Startzustand  •: Blanksymbol  E: Menge der Endzustände in Z  • • A B C 1 1 A B • • Schreib-Lesekopf endliche Kontrolleinheit

Berechnungen einer TM in beide Richtungen bewegliches Band, Lesen und Schreiben Eingabe steht auf Band, pro Feld ein Symbol SL-Kopf auf dem am weitesten links stehenden Eingabesymbol S Zustand ist Anfangszustand In Abhängigkeit von Zustand und gelesenem Symbol gibt  an • Nachfolgezustand, • auf Band geschriebenes neues Symbol, • Bewegungsrichtung (Links, Rechts, Nicht bewegen) Maschine führt so lange Aktionen aus, bis Zustand aus E erreicht wird  Ausgabe steht nun auf Band Computer sind universelle Turingmaschinen, die jeden Algorithmus durch ein zugehöriges Programm realisieren können. Übergangsfunktion: Maschinenprogramm

Endliche Automaten Ein endlicher Automat ist ein Sechstupel A= (I, O, Q, , q0, F) für das gilt: I bzw. O sind das Ein- bzw. Ausgabealphabet, Q ist eine endliche nichtleere Menge von Zuständen,  ist eine Zustandsübergangsfunktion :Q x I  Q x O q0  Q ist der Anfangszustand und F  Q ist eine Menge von Endzuständen.

Arbeitsweise  e5 e2 e3 e1 e4 e2  o1 o2 o3 Steuereinheit Der Schreibkopf schreibt Zeichen für Zeichen ein Wort O auf das Ausgabe-band, das bei jedem Zeichen um eine Position nach links weiterbewegt wird; das Eingabeband wird um eine Position nach links verschoben; die Steuereinheit bewirkt eine Zustandsänderung (abhängig vom Eingabezeichen und dem alten Zustand).

Unterschiede zu einer TM zwei Bänder (aber: auch TM mit zwei Bändern denkbar) nur in eine Richtung beweglich endliche Menge von Zuständen keine Möglichkeit der Zwischenspeicherung von Teilergebnissen Bereits gelesene Eingaben werden zusammengefasst und zur Festlegung des Verhaltens auf nachfolgende Eingabezeichen verwendet. Bechreibung mit Übergangsnetzwerken oder Tabellen. Hinter alltäglichen Geräten verbirgt sich oft ein endlicher Automat!

Übergangsnetzwerke 1. Zustände werden als Kreise dargestellt; 2. Vom Zustand q wird ein Pfeil zum Zustand q‘ mit der Markierung x/y gezeichnet, wenn (q‘, y)  (q, x) ist; 3. Der Startzustand wird angegeben und die Endzustände durch doppelte Kreise markiert. Konfiguration: Tripel (w, q, v) mit w  I*, q  Q und v  O* Folgerelation: (xw, q, v)  (w, q‘, vy) mit x  I und y  O wenn (q‘, y)  (q, x) Übersetzung: T(A)={(w, v)| (w, q0, ) * (, q‘, v) } mit q  F

Zustandsautomaten / Beispiel: Digitaluhr Beim Stellen der Digitaluhr ergeben sich folgende Zustände: - Zustand Normalzeit: In diesem Zustand befindet sich die Uhr nach Einlegen der Batterie (Startsignal) - Zustand Stunden stellen - Zustand Minuten stellen - Zustand Sekunden stellen Folgende Ereignisse können eintreten: - Startsignal (Tritt auf, wenn die Batterie eingelegt wird) - Knopf 1 gedrückt - Knopf 2 gedrückt 13:56:42

Zustandsautomaten / Digitaluhr 2 Es wird davon ausgegangen, dass nicht beide Knöpfe gleichzeitig gedrückt werden können. Folgende Ausgaben können auftreten: - Stunden blinken Um anzuzeigen, daß die Uhr jetzt in dem Zustand ist, in dem der Bediener die Stunden verstellen kann. - Minuten blinken - Sekunden blinken - Stunden erhöhen Um 1 erhöhte Anzeige der Stunde - Minuten erhöhen - Sekunden stellen Anzeige von 00 als Sekundenanzeige - Initialisierung Anzeige von 00:00:00

Im nächsten Schritt muss festgelegt werden, wie die Übergänge zwischen den Zuständen in Abhängigkeit von Eingaben oder Ereignissen aussehen sollen und welche Ausgaben erzeugt oder welche Aktionen ausgelöst werden sollen. - Wenn das Startsignal auftritt, dann soll das System in den Zustand Normalzeit übergehen und die Aktion Initialisierung durchführen. - Wenn der Knopf 1 gedrückt wird und das System im Zustand Normalzeit ist dann soll als Aktion Stunden blinken ausgeführt und der Zustand Stunden stellen eingenommen werden.

Zustandstabelle von „Uhr stellen“ Aktueller Zustand Ereignis Aktion Folgezustand Start Initialisierung Normalzeit Normalzeit Stunden stellen Minuten stellen Sekunden stellen

Zustandsmatrix von „Uhr stellen“ Zustand  Ereignis Start Knopf 1 gedrückt Knopf 2 gedrückt Initialisierung Normalzeit Stunden stellen Minuten stellen Sekunden stellen Aktion / Folgezustand

Alternative Zustandsmatrix von „Uhr stellen“ Zu Zustand Normalzeit Stunden Minuten Sekunden von Zustand stellen stellen stellen (Start) Start Initialisierung Normalzeit Stunden stellen Minuten Sekunden Ereignis / Aktion

Verallgemeinerungen von endlichen Automaten (1) 2 Bänder, in beide Richtungen bewegliches Hilfsband (Kellerautomat) (2) in beide Richtungen bewegliches Band, Lesen und Schreiben, für jedes Eingabewort x der Länge n steht k*n Band zur Verfügung (linear beschränkter Automat) (3) in beide Richtungen bewegliches Band, Lesen und Schreiben (Turing Maschine )