Simulationsmodelle: Liliputwelten im Computer Peter Fleissner Institut für Gestaltungs- und Wirkungsforschung

Einleitung (1 aus 4) Simulation zur Analyse und Rekonstruktion dynamischer Systeme Simulationsmodell = Abstraktion des zu simulierenden Systems Experimente statt an der Wirklichkeit an einem Modell durchgeführt, um Erkenntnisse über das modellierte System zu gewinnen. eine Widerspiegelungstechnik Abbildung und Konstruktion der Realität zugleich ein Dritter Weg wissenschaftlicher Erkenntnis Beitrag zur Theorienbildung neben Induktion und Deduktion

Einleitung (2 aus 4) Theoriebildung Induktion Deduktion im empirischen Prozess wird Datenmaterial erarbeitet, innere Strukturen und Gesetzmäßigkeiten werden sichtbar. positiv verlaufende Experimente sollen diese Strukturen bestätigen und sind Bausteine einer Verifikation (Beweisführung), die letztlich zur „Wahrheit“ führen. Deduktion durch kreative Akte werden Hypothesen über die Realität erzeugt, deren Übereinstimmung mit dem Datenmaterial anschließend überprüft wird. Experimente werden mit dem Ziel der Falsifikation (Sir Karl Popper) unternommen. Nur in dem Ausmaß wie sich Theorien bewähren (der Falsifikation entziehen), kann relative Sicherheit gewonnen werden. In der Praxis der Wissenschaft mischen sich induktive mit deduktiven Elementen

Einleitung (3 aus 4) Warum Simulation? Untersuchung am realen System wäre zu aufwändig, zu teuer, ethisch nicht vertretbar oder zu gefährlich. Beispiele: Crashtest (zu gefährlich in der Realität, vor allem in der sozialen) Simulation von Fertigungsanlagen vor einem Umbau (mehrfacher Umbau der Anlage in der Realität wäre zu aufwändig und zu teuer) Das reale System existiert (noch) nicht. Beispiel: Windkanalexperimente mit Flugzeugmodellen Das reale System lässt sich nicht direkt beobachten Systembedingt. Beispiel: Einzelne Moleküle in einer Flüssigkeit System zu schnell/zu langsam (Schaltkreise/geologische Systeme) Für Experimente kann ein Simulationsmodell leichter modifiziert werden als das reale System. Beispiel: Stadtplanung, Volkswirtschaft Gefahrlose Ausbildung. Beispiel: Flugsimulator Spiel und Spaß an simulierten Szenarien.

Einleitung (4 aus 4) Charakteristika von Simulationen Verwendet wie Deduktion explizite Annahmen Im Unterschied zu Deduktion beweist Simulation keine allgemeinen mathematischen Sätze Erzeugt Daten für die Anwendung induktiver Verfahren, Im Unterschied zur Induktion sind die Daten unter genau definierten und bekannten Bedingungen erzeugt worden -> Simulation ist verschieden von Induktion und Deduktion -> erlaubt ein tieferes Verständnis von Systemen durch intensive Beschäftigung mit dem Modell und durch kontrollierte Computerexperimente

Übersicht: Simulationsmethoden Makroebene (Systemdynamik & Ökonometrie) Erweiterte Reproduktion Käpt‘n Petri und die Österreichische Volkswirtschaft World Dynamics Mikroebene (Selbstorganisationssysteme & ABS) The blind and the lame Predator-prey-models

Systemdynamik-Modell: Vier Grundelemente Simulationsmethoden Systemdynamik-Modell: Vier Grundelemente

Systemdynamik-Modelle: Zentrale Begriffe und Vorgangsweisen Simulationsmethoden Systemdynamik-Modelle: Zentrale Begriffe und Vorgangsweisen Abbilder und Entwürfe Formale Modelle und die Einmaligkeit historischer Prozesse Formale Modelle und qualitative Veränderungen SD und Ökonometrische Modelle Grundkonzepte der SD Zentrale Begriffe und Vorgangsweisen Causal Loop Diagramme Rückkopplungsprozesse Positive Rückkopplung Negative Rückkopplung

Simulationsmethoden Lineare Rückkopplung Erweiterte volkswirtschaftliche Reproduktion Siehe auch http://members.chello.at/gre/fleissner/documents/work/work.pdf

Simulationsmethoden Erweiterte Reproduktion einer Volkswirtschaft Kapitalgüter Intermed. Güter Arbeitskraft Investitionsgüter Intermed. Güter Konsumgüter

I = dK/dt = (1-beta)Y = (1-beta) alfa Lbeta K(1-beta) Simulationsmethoden Einfaches Wachstumsmodell in Formeln Produktionsfunktion (Erzeugung des BIP) Y = alfa Lbeta K(1-beta) Investitionsfunktion I = dK/dt = (1-beta)Y = (1-beta) alfa Lbeta K(1-beta) Konsumfunktion C = betaY Pro-Kopf Lohn ProKopfLohn = C/L

Exkurs: Intuitive Lösung von Differentialgleichungen Simulationsmethoden Nicht-lineare Rückkopplung Exkurs: Intuitive Lösung von Differentialgleichungen Das Aussterben der Passagiertaube

Intuitive Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen dx/dt dx/dt = f(x) Differentialgleichung darstellbar im (x, dx/dt) Koordinatensystem x x0

Intuitive Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen x(t) x0 t Trajektorie im (t , x) Koordinatensystem

Graphische „Lösung“ von nichtlinearen Differentialgleichungen als Differenzengleichungen Δx/Δt = f(x) Δx x0

Graphische Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen Δx/Δt = f(x) Δx x0

Graphische Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen Δx/Δt = f(x) Δx Δx x0

Graphische Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen X2 = ??? Δx/Δt = f(x) Δx Δx x1= x0+Δx x0

Graphische Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen Δx/Δt = f(x) Stationäre Punkte??

Graphische Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen Stationäre Punkte x*: dx/dt = f(x)=0

Graphische Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen Sind die stationären Punkte stabil?

Was bedeutet Stabilität? Ein stationärer Punkt x* ist stabil, wenn er bei jeder kleinen Auslenkung wieder angenommen wird x*

Was bedeutet Stabilität? Ein stationärer Punkt x* ist stabil, wenn er bei jeder kleinen Auslenkung wieder angenommen wird instabil stabil x*

Ein Anwendungsbeispiel Die nordamerikanische Passagiertaube: ausgestorben 1914

Die natürliche Reproduktion der nordamerikanischen Passagiertauben dx/dt x Schwarmgröße http://www.loe.org/series/gap_in_nature/

Die natürliche Reproduktion der nordamerikanischen Passagiertauben dx/dt x In welchen Bereichen wächst der Schwarm und wo schrumpft er? Wo sind die stationären Punkte?

Die natürliche Reproduktion der nordamerikanischen Passagiertauben dx/dt Hier wächst der Schwarm x In welchen Bereichen wächst der Schwarm und wo schrumpft er? Wo sind die stationären Punkte?

Die natürliche Reproduktion der nordamerikanischen Passagiertauben dx/dt Hier wächst der Schwarm x instabil stabil Stabilität der stationären Punkte?

Die Jagd auf die nordamerikanischen Passagiertauben dx/dt x Abschussrate

Reproduktionsrate minus Abschussrate der Passagiertauben dx/dt x

Reproduktionsrate minus Abschussrate = Nettoreproduktionsrate dx/dt x

Erhöhte Abschussrate dx/dt x

Erhöhte Abschussrate dx/dt x

Erhöhte Abschussrate dx/dt x

Erhöhte Abschussrate dx/dt x

Resultat Ein einziger weiterer Schuss führt (unerwartet) zur Katastrophe: zum Aussterben des Schwarms

Simulationsmethoden Beispiel: Ein Modell der Österreichischen Wirtschaft Kombiniertes ökonometrisch-systemdynamisches Simulationsmodell zum Studium der Auswirkungen politischer Massnahmen und technischer Veränderungen Datenbasis 1964 – 1987, etwa 350 Gleichungen Das Gesamtmodell enthält die komplette Volkswirtschaftliche Gesamtrechnung auf hochaggregierter Ebene und umfasst die Sektoren: Produktion (Kapazität, Kapital, Arbeit und ihre Remuneration) Binnennachfrage (Konsum, Investitionen) Außenhandel (Waren- und Dienste) Staat (Einnahmen, Ausgaben, Schulden) Arbeitsmarkt

System dynamik-Modell Beispiel: Produkt- ions- sektor Simulationsmethoden System dynamik-Modell Beispiel: Produkt- ions- sektor

„Am Steuerrad der Wirtschaft“ Simulationsmethoden „Am Steuerrad der Wirtschaft“

Forrester‘s World Dynamics (1971): Dynamo-Diagramm

Forrester‘s World Dynamics: Causal Loops Diagram

Forrester‘s World Dynamics: Stella Diagram

Simulationsmethoden Teil 2 Beispiele auf der Mikroebene Selbstorganisierende Systeme (Beispiel: „the blind and the lame“) http://members.chello.at/gre/springer/ Agentenbasierte Simulationen (Einführende Literatur: http://www.econ.iastate.edu/tesfatsi/abmread.htm) ANYLOGIC: http://www.xjtek.com/

Simulationsmethoden „The blind and the lame“ Zwei interagierende Welten … Welt A: die physische Welt (klassische Mechanik) Welt B: die Welt der Symbole (Alphabet ohne Bedeutung)

Simulationsmethoden …und zwei interagierende Akteure Akteur 1: Der Blinde kann springen hören die Töne, die er hört, interpretieren und danach handeln (springen) Akteur 2: Der Lahme Die Länge des Hindernisses sehen Töne verschiedener Höhe erzeugen (mit Trompete) die Länge des Hindernisses mit der Tonhöhe verknüpfen Und die Töne mit Bedeutung versehen http://members.chello.at/gre/springer/

Simulationsmethoden Agentenbasierte Simulationen Auf der Mikroebene spielen sich die Interaktionen der Individuen ab Auf der Meso/Makroebene kann neues Verhalten abgelesen werden, das nicht aus der bloßen Aggregation der Daten für die einzelnen Akteure gewonnen werden kann

Simulationsmethoden Vier Arten von Verständnis durch ABS Empirisch Warum haben sich bestimmte Makrophänomene entwickelt (auch wenn keine top-down-Kontrolle existiert)? Normativ Welches Design ist für bestimmte Institutionen optimal? Heuristisch Können Einsichten über die grundlegenden Kausalmechanismen des Systems gewonnen werden? Methodisch Wie können Theorien mit ABS getestet, erweitert und verbessert werden (was bisher aus methodischen Beschränkungen nicht möglich war)?

Simulationsmethoden Agentenbasierte Simulationen Das Softwarepaket ANYLOGIC

Simulationsmethoden im Vergleich SD-Modelle und ABS Die Leistungsfähigkeit der Computertechnologie erlaubt es, Probleme, die bisher auf der Aggregatebene analysiert wurden, auf der Ebene der Individuen zu formulieren SD-Modelle und ABS können als Endpunkte eines ganzen Spektrums von Modellierungsmöglichkeiten angesehen werden Man hat im Prinzip die Wahl zwischen aggregierten und agent based Modellen und deren Kombinationen Was sind die Entscheidungskriterien?

Simulationsmethoden im Vergleich SD-Modelle und ökonometrische Modelle bestehen aus (nicht)linearen Differenzen- bzw. Differentialgleichungen, die numerisch gelöst werden. Relativ wenige Parameter beschreiben die Gleichungen Positive und negative Rückkopplungsschleifen bestimmen das Verhalten des Gesamtsystems Die individuellen Akteure werden in eine (kleine) Zahl von Clustern (compartments) integriert. Innerhalb der compartments herrscht Homogenität, Blindheit des Modells gegenüber dem einzelnen Akteur Übergänge zwischen den compartments beruhen auf Erwartungs- oder Durchschnitts (ev. durch stochastische Variablen gestört) Einfacher Vergleich mit Realität

Simulationsmethoden im Vergleich Beispiele für SD Modelle Ansteckungsprozesse werden durch eine Diffusionsgleichung beschrieben; Räuber-Beute Modelle durch die nichtlineare Lotka-Volterra Differentialgleichung Mathematisches Modell einer Volkswirtschaft (siehe oben) ABS erlauben es, emergente Phänomene in vielen Anwendungsgebieten zu studieren ABS können sehr gut Heterogenität der Akteure und deren individuelle Interaktion abbilden Grosse Zahl von Parametern nötig Hoher Rechenaufwand für die Simulation und erschwerte Sensitivitätsanalyse Erschwerter Vergleich mit der Realität

Danke für Ihre Aufmerksamkeit! Seminar an der TU-Wien im Wintersemester 06 Mathematische Modellierung und Simulation (187.234) Website mit Skripten, Terminen, News: http://cartoon.iguw.tuwien.ac.at/zope/lvas/MathMod e-mail: fleissner@arrakis.es Danke für Ihre Aufmerksamkeit!