Metrische Markow-Ketten Klaus Frieler Universität Hamburg Musikwissenschaftliches Institut

Metrische Markow-Ketten Einleitung Metrisch gebundene Musik verfügt über zwei Apsekte musikalischer Zeit: Lineare Zeit Zyklische Zeit Der zyklische Aspekt ist vor allem in genuiner Rhythmus und Metrumsforschung untersucht worden Gelegentliche Kreisdarstellungen, meisten beschränkt auf eintaktige Patterns oder Strukturen von Metren. Metrische Markow-Ketten

Metrische Markow-Ketten Einleitung Verallgemeinerung: Metrische Kreisabbildung (MKA) Einführung von Metrischen Markow-Ketten (MMK) Kompakte Visualisierung von einzelnen oder mehreren Rhythmen auf dem metrischen Kreis. Definition der Metrischen Entropie (ME) als Kennzahl für metrische Variabialiät und Strukturiertheit. Metrische Markow-Ketten

Metrische Kreisabbildung Rhythmen darsgestellt als streng monoton-wachsende Folge von Zeitpunkten ti Annahme hier: Metrische Rhythmen mit Taktlänge T. Metrische Kreisabbildung vom Rhythmus auf den Einheitskreis in der komplexen Ebene Zeit läuft gegen den Uhrzeigersinn. Der freie Parameter f erlaubt,die Taktanfänge auf einen Punkt abzubilden, hier: (1,0) oder 3 Uhr. Metrische Markow-Ketten

Metrische Markow-Ketten Definiere N nicht-überlappende Kreissegmente mit Mittelpunkten auf den N-ten Einheitswurzeln (bei Winkeln 360°/N) Jeder Punkt der MKA ist liegt dann in genau einem Intervall. Wir erhalten eine Folge von Kreisindizes für einen Rhythmus. Metrische Markow-Ketten

Metrische Markow-Ketten Markow-Ketten ergeben sich dann als Besetzungs- und Übergangswahrscheinlichkeiten (0. und 1. Ordnung) zwischen Kreisindizes. Bem.: Markow-Ketten lassen sich auch für andere musikalische Parameter definieren und wurden oft für algorithmische Kompositon eingesetzt. Metrische Markow-Ketten

Metrische Markow-Ketten Visualisierung Beispiel: Mandy von Barry Manilow Metrische Markow-Ketten

Metrische Markow-Ketten Visualisierung Beispiel: Drumgroove „Cross-Fade“ von Steve Coleman (9/4). (OL: Hihat, OR: Cowbell, UL: Kick, UR: Snare) Metrische Markow-Ketten

Metrische Markow-Ketten Metrische Entropie Informationsentropie wurde 1948 von Claude Shannon für die Signaltechik eingeführt. Sie ist ein Maß für die „Information“ die in einer Wahrscheinlichkeitsverteilung enthalten ist, in diesem Sinne: Wieviele Ja/Nein-Fragen muss man im Mittel stellen um das Ergebnis eines Zufallsexperiment herauszufinden. Einheit: Bits. Metrische Markow-Ketten

Metrische Markow-Ketten Metrische Entropie Sei eine Zufallsvariable (Wahrscheinlichkeitsverteilung) mit N Wahrscheinlichkeiten pi gegeben. Dann ist die Entropie H = -S pi log2 pi Sehr sichere und sehr unsichere Ereignisse transportieren wenig Information. Maximale Entropie bei Gleichverteilung: pi = 1/N Metrische Markow-Ketten

Metrische Markow-Ketten Metrische Entropie Wir definieren für die Metrischen Markow-Ketten Entropie 0. und 1. Ordnung, h0 and h1, normalisiert auf Werte zwischen 0 und 1. h0 ist Entropie der Besetzungswahrscheinlichkeiten: Desto mehr verschiedene metrische Positionen und desto gleichmäßiger sie eingenommen werden, desto höher ist die Entropie. Höchste Entropie bei vollkommen gleichmäßigen Schlagfolgen, aber auch bei vollkommen zufälligen. Entropie sinkt falls bestimmte Positionen bevorzugt werden („Besetzungakzente“) Metrische Markow-Ketten

Metrische Markow-Ketten Metrische Entropie h1 ist Entropie der Übergangswahrscheinlichkeiten. Desto mehr verschiedene Übergänge und desto gleichmäßiger diese vorkommen, desto höher die Entropie Komplett zufällige Folgen haben höhere metrische Entropie 1. Ordnung als komplett strukturierte. Unterscheidungskriterium. Zusammengenommen bilden h0 und h1 Maß für metrische Variabilität. Interpretation im Sinne von Vorhersagbarkeit von Rhythmen. Frage: Metrisches Komplexitätsmaß? (keine Berücksichtung der Phasenlage und der metrischen Hierarchie) Metrische Markow-Ketten

Metrische Analyse von Melodiesammlungen Zur Demontstration der Methoden wurden 5 Liedsammlungen untersucht: 61 Irische Volkslieder 586 LuxemburgischeWeisen, 149 Ostpolnische Kirchenlieder aus Warmia 207 deutsche Kinderlieder 53 zeitgenössische Pop songs (Boygroup-Songs aus den Charts, Daten von Frank Riedemann) Transformation mit der MKA, Berechnung von MMK, Berechnung der ME Metrische Markow-Ketten

Verteilung der Signaturen Kinder Warmia Luxemb. Irisch Pop 2/4 70,5 4,1 33,6 11,0 4/8 0,2 4/4 8,7 72,3 27,0 33,0 96,2 8/4 2,0 3 /8 3,9 1,4 3 /4 12,1 7,4 21,5 6/4 3,0 3,8 6/8 4,8 15,7 16,0 9/8 9/4 8,1 5/4 7/4 0,7 Zweier 79,2 78,4 60,8 44,0 Dreier 20,8 19,6 39,2 56,0 Ungerade Metrische Markow-Ketten

Visualisierung der Liedsammlungen Links Kinderlieder, rechts Warmia Metrische Markow-Ketten

Visualisierung der Liedsammlungen Links:Luxemburg, Mitte: Irische, Rechts: Pop Metrische Markow-Ketten

Verteilung der Metrischen Position Pop songs Metrische Markow-Ketten

Verteilung der Metrischen Position Oben: Kinderlieder, unten: Pop songs Metrische Markow-Ketten

Übergangswahrscheinlichktien Metrische Markow-Ketten

Metrische Markow-Ketten Metrische Entropien Links: 0. Ordnung, rechts: 1. Ordnung Metrische Markow-Ketten

Metrische Entropien: Vergleich Hochsignifikante Unterschiede in den Entropieverteilungen (p<.00). Ausnahme: Luxemburg und Warmia. Kinderlieder sind am „einfachsten“: Weniger metrische Variabilität (2/4 Takte!), Besetzungswahrscheinlichkeiten am stärksten akzentuiert. Popsongs zeigen größte Variabilität. Jede Achtelposition im 4/4 ist nahezu gleichwahrscheinlich. Viele Synkopen resultieren in höherer Zahl von Übergängen Kinderlieder und Luxemburgische Songs zeigen homogenste Verteilung, die Irischen Lieder haben die breiteste Streuung Metrische Markow-Ketten

Zusammenfassung und Ausblick Die MKA und die Metrischen Markow-Ketten sind zur Beschreibung und Charakterisierung von Rhythmen geeignet. Kompakte Visualisierung Metrische Entropien sind zur Differenzierung von Stilen geeignet (auf der Ebene von Sammlungen) Mögl. Erweiterungen: Tonhöhe als Radius Lineare Zeit als 3. Koordinate (Spiralen auf Zylindern) Tonhöhe auf dem Quintenzirkel führt auf Torusdarstellung… Metrische Ähnlichkeitsmaße Metrische Markow-Ketten