Folgen und Reihen

Beispiele Beispiele für Folgen: Beispiele für Reihen: Fibonacci – Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Folge der Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, 25, … Beispiele für Reihen: Geometrische Reihe: Eine Reihe ist eine besondere Folge, nämlich eine Teilsummenfolge. Die einzelnen Folgenglieder einer Reihe ergeben sich durch das immer weitere hinzuaddieren eines Folgenglieds der Ausgangsfolge.

Definition einer Folge Eine Folge ist eine Funktion, deren Definitionsbereich gleich der Menge der natürlichen Zahlen N ist. Die Zahlen des Wertebereichs nennt man Glieder der Folge. Der Wertebereich muss nicht gleich N sein.

Beispiel für eine Folge Beispiel Kindergeld: Wenn man ein Kind hat, bekommt man z.B. 200€ Kindergeld, bei zwei Kindern 400€ usw. Der Definitionsbereich besteht nur aus natürlichen Zahlen, da man ja nicht 2 ¼ Kinder haben kann.

Übung Welche Diagramme stellen eine Folge dar? 1. 2. 3. Dies ist zwar eine Relation, aber keine Funktion, => also auch keine Folge! Definitionsbereich ist nicht gleich N => keine Folge!  Dies ist eine Folge 

Explizite oder Rekursiv? Explizite Definition: Formel, aus der ein beliebiges Folgenglied (an) sofort berechnet werden kann. Bsp.: , d.h. Rekursive Definition: Das erste Glied der Folge (a1) wird angegeben und eine Formel, mit der man aus einem beliebigen Folgenglied (an) das nachfolgende (an+1) berechnen kann. Bsp.: Eine Folge kann auf zwei Weisen definiert werden, entweder explizit oder rekursiv!

Übung 1 Eine Folge sei geg. durch: Lösung: Ist die Definition explizit oder rekursiv? Wie heißt das 4.Glied dieser Folge? Lösung: Es handelt sich um eine explizite Definition. . Eine Folge kann auf zwei Weisen definiert werden, entweder explizit oder rekursiv!

Übung 2 Folgende Folge sei gegeben: Lösung: Definiere diese Folge rekursiv! Lösung: Das erste Glied hat den Wert 25 => Jedes Glied hat den doppelten Wert wie das vorherige => an = (25, 50, 100, 200, 400, 800, 1600, ...) Weitere Übungsaufgaben zur Folgendefinition: Gelbes Buch Cornelsen: S. 11

Graph einer Folge Graph der Folge Kindergeld: Für ein Kind: 200 € Für zwei Kinder: 400 € Für drei Kinder: 550 € Für vier Kinder: 650 € Für fünf Kinder: 700 € … Kindergeld ist in Wirklichkeit anders gestaffelt.

Graph einer Folge Graph der Folge Kindergeld: Weil der Definitionsbereich einer Folge nur die Menge der natürlichen Zahlen ist, => besteht der Graph einer Folge nur aus einzelnen Punkten.

Spezielle Folgen Arithmetische Folgen Geometrische Folgen Alternierende Folgen

Arithmetische Folgen (1) Definition: Bei arithmetischen Folgen ist die Differenz d zwischen zwei benachbarten Folgengliedern konstant, d.h. es gilt: Beispiel: an+1 – an = d

Arithmetische Folgen (2) Bildungsgesetz für arithmetische Folgen: Das n-te Folgenglied wird errechnet, indem zum ersten (n-1)-mal die Differenz d addiert wird. => Bildungsgesetz für arithmetische Folgen: an = a1 + (n -1) · d

Arithmetische Folgen (3) Übung: Bestimmen Sie die fehlenden Größen: a) an = 5 + 6*9 = 59 b) a1 = 27 – 3*8 = 3 c) 71 – 16 = (n-1)*5 => n = 12 d) 69 – 9 = 20*d => d = 3

Spezielle Folgen Arithmetische Folge Geometrische Folge Alternierende Folge

Geometrische Folgen (1) Definition: Bei geometrischen Folgen ist der Quotient q zweier benachbarter Folgenglieder konstant, d.h. es gilt: Beispiel:

Geometrische Folgen (2) Bildungsgesetz für geometrische Folgen: Das n-te Folgenglied wird errechnet, indem zum ersten (n-1)-mal der Quotient q hinzumultipliziert wird. => Bildungsgesetz für geometrische Folgen: an = a1 · qn-1

Geometrische Folgen (3) Übung 1: Bestimmen Sie die fehlenden Größen: a) an = 3*23 = 24 b) a1 = 567 / 34 = 7 c) 245 = 5 * 7n-1 => n = 3 d) 3,125 = 100 * q5 => q =

Geometrische Folgen (4) Übung 2: Untersuchen Sie, ob die angegebenen Zahlen den Anfang einer geometrischen Folge bilden. a) 1; 2; 4; 8 b) 2; -6; 18; -54 c) 1; 1/2; 1/6; 1/24 d) 1; 4; 9; 16 Lösungen: a) an=2n-1 b) an= 2∙(-3)n-1 c) Nein, da a1 ∙ 1/2 = a2, aber a2 ∙ 1/3 = a3 d) Nein, da a1 ∙ 4 = a2, aber a2 ∙ 9/4 = a3 Übungsaufgaben: arithmetisch oder geometrisch? Aufgaben aus Mathematik – Analysis (Cornelsen blaues Buch) S.59

Spezielle Folgen Arithmetische Folge Geometrische Folge Alternierende Folge (arithmetisch oder geometrisch) http://www.mathe-online.at/tests/grenz/arigeo.html Hausaufgaben aus gelbem Cornelsen Buch S. 12 Nr. 5-8 möglich

Alternierende Folgen Definition: Bei alternierenden Folgen steigen oder sinken die Folgenglieder nicht kontinuierlich, sondern wechseln ständig ihr Vorzeichen. Beispiel: an = (-1)n => -1, 1, -1, 1, -1, 1, …

Eigenschaften von Folgen Monotonie Beschränktheit Anwendung Chaosforschung Gute Links zu Folgen: http://www.mathesite.de/pdf/folge.pdf

Monotonie Eine Folge an ist monoton steigend, wenn jedes Glied der Folge größer oder gleich dem vorhergehenden Glied ist Eine Folge an ist monoton fallend, wenn jedes Glied der Folge kleiner oder gleich dem vorhergehenden Glied ist an+1 ≥ an bzw. an+1 - an ≥ 0 (für alle nN) an+1 ≤ an bzw. an+1 - an ≤ 0 (für alle nN)

Strenge Monotonie Eine Folge an ist streng monoton steigend, wenn jedes Glied der Folge echt größer dem vorhergehenden Glied ist Eine Folge an ist streng monoton fallend, wenn jedes Glied der Folge echt kleiner dem vorhergehenden Glied ist an+1 > an bzw. an+1 – an > 0 (für alle nN) an+1 < an bzw. an+1 – an < 0 (für alle nN)

Nachweis von Monotonie Um Monotonie nachzuweisen, untersucht man die Differenz Beispiel: Welche Monotonie kann bei der Folge nachgewiesen werden? an+1 - an

Beispiel Monotonienachweis 1. Berechne an+1: 2. Berechne an+1 - an: 3. Vereinfachen: 4. ggf. Fallunterscheidung: Da n aus der Menge der natürlichen Zahlen, ist hier der Nenner immer positiv und der Zähler immer negativ => die Differenz an+1 – an < 0 => die Folge ist streng monoton fallend Übungsaufgaben im Mathematik – Analysis (Cornelsen blaues Buch) S.59

Eigenschaften von Folgen Monotonie Beschränktheit Anwendung Chaosforschung Gute Links zu Folgen: http://www.mathesite.de/pdf/folge.pdf

Beschränktheit (1) Eine Folge an ist nach unten beschränkt, wenn eine sogenannte untere Schranke s existiert, so dass Eine Folge an ist nach oben beschränkt, wenn eine sogenannte obere Schranke s existiert, so dass an ≥ s (für alle nN) an ≥ s (für alle nN)

Beispiele Beschränktheit (1) Bsp.: Folge an nach unten beschränkt: Die Folge an= 2n mit 2, 4, 6, 8, 10,… ist streng monoton steigend und beginnt mit 2 => es gibt kein Folgenglied < 2 => s = 2 nennt man die untere Schranke von an Bsp.: Folge an nach oben beschränkt: Die Folge an= - 2n mit - 2, - 4, - 6, - 8, - 10,… ist streng monoton fallend und beginnt mit - 2 => es gibt kein Folgenglied > - 2 => S = - 2 nennt man die obere Schranke von an Graph Graph

Beschränktheit nach unten Nicht nur die 2 ist eine untere Schranke, sondern jede Zahl <2, d.h. s = 2 ist die größte untere Schranke zurück

Beschränktheit nach oben Nicht nur die - 2 ist eine obere Schranke, sondern jede Zahl > - 2, d.h. S = - 2 ist die kleinste obere Schranke zurück

Beschränktheit (2) Eine Folge an ist beschränkt, wenn eine untere Schranke s und eine obere Schranke S existieren, so dass Beispiel für eine beschränkte Folge an: bzw. da gilt: s ≤ an ≤ S (für alle nN) Übungsaufgaben im Mathematik – Analysis (Cornelsen blaues Buch) S.59 0 < an ≤ 1 (für alle nN)

Eigenschaften von Folgen Monotonie Beschränktheit Anwendung Chaosforschung Gute Links zu Folgen: http://www.mathesite.de/pdf/folge.pdf

Schneeflocken - Figuren Zu Beginn der Chaosforschung hat man unter anderem die sogenannten „Schneeflockenfiguren“ untersucht. Beschreiben Sie, wie diese Figuren entstehen und welche Eigenschaften sie haben. S1 S2 S3 S4

Entstehung Schneeflocken Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks am Start sei = 1. Startseite wird in 3 gleich große Teile unterteilt Über dem mittleren Teil wird ein neues gleichseitiges Dreieck gebildet.

Schneeflocken - Folgen Auftrag: Bestimmen Sie: a) Die Folge zn der Anzahl der Seiten b) Die Folge sn der Seitenlängen c) Die Folge un der Umfänge der Figuren S1 S2 S3 S4

Schneeflocken - Folgen Figur Seitenzahl zn Länge sn Umfang un F1 3 1 z1∙s1 = 3 F2 3∙4 = 12 1/3 z2∙s2 = 4 F3 3∙4∙4 = 48 1/3² z3∙s3 ≈ 5,33 F4 3∙4∙4∙4 = 194 1/3³ z4∙s4 ≈ 7,11 Fn 3∙4n-1 1/3(n-1) 3∙ (4/3)n-1 Die Folge der Seitenzahlen wird immer größer, ist also monoton wachsend. Da es keinen Moment gibt, wo keine Seite hinzu kommt, sogar streng monoton wachsend. Die Folge der Seitenlängen wird immer kleiner, ist mit gleicher Begründung wie oben streng monoton fallend. Die Folge der Umfänge wird immer größer, ist also streng monoton wachsend, da das Wachstum nie stagniert. Diskutiere das Monotonieverhalten der einzelnen Folgen!

Schneeflocken - Flächen Welche Eigenschaften lassen sich für die Folge der Flächeninhalte vermuten? streng monoton wachsend nach oben beschränkt => diese Vermutung wird gestützt durch die Tatsache, dass alle Schneeflockenfiguren in ein Quadrat mit der Seitenlänge 2 passen.

Grenzwerte von Folgen Nullfolgen Konvergente Folgen Anwendung Grenzwerte Konvergente Folgen => Aufgaben blaues Buch und gelbes Buch

Nullfolge Anschauliche Definition: Eine Nullfolge ist eine Folge, deren Glieder an sich für wachsendes n immer mehr dem Wert Null annähern. Beispiel: Graph

Beispiel Nullfolge Wie man sieht, nähern sich die Glieder dieser Folge immer mehr der Null. zurück

Nullfolge Mathematische Definition: Die Folge {an} heißt Nullfolge, wenn ab einem bestimmten Glied N(ε), alle Glieder der Folge betragsmäßig kleiner als ε sind und ε beliebig klein gewählt werden kann. Als Formel: Veranschaulichung an |an| < ε (für alle n ≥ N(ε), ε beliebig klein) Graph

Beispiel Nullfolge Die Folgenglieder werden kleiner als ein bestimmtes ε. Die Folge ist somit eine Nullfolge. zurück

Erläuterungen Nullfolge Wofür genau steht N(ε)? Wir betrachten wieder eine Nullfolge und ein beliebiges ε. Die erste Zahl n, bei der ein Glied kleiner ist als ε, nennt man N(ε).

Nullfolgen mit negativen Gliedern Hat die Nullfolge negative Glieder, ist nicht mehr das N(ε) gesucht für an< ε, sondern es muss das N(ε) bestimmt werden für Man fragt also allg., wann die Folge an den Bereich + / - ε erreicht hat. |an| < ε

Grenzwerte von Folgen Nullfolgen Konvergente Folgen Anwendung Grenzwerte Konvergente Folgen => Aufgaben blaues Buch und gelbes Buch

Konvergente Folgen (1) Anschauliche Definition: Streben die Glieder einer Folge beständig einem bestimmten Wert entgegen, so wie die Nullfolge dem Wert Null, so sagt man: => die Folge konvergiert. Beispiel: Konvergenz gegen den Wert 2.

Beispiel konvergente Folge Die Folgenglieder konvergieren von oben gegen den Wert 2. zurück

Grenzwert einer Folge Möglichkeiten der Konvergenz: Die Annäherung an den endgültigen Wert kann von oben von unten alternierend oder auf andere Weise erfolgen. Der Wert, gegen den eine Folge konvergiert, heißt: Grenzwert der Folge. Beispiel: Andere Konvergenz gegen den Wert 2.

Beispiel konvergente Folge Die Folgenglieder konvergieren gegen den Grenzwert 2. zurück

Konvergente Folgen (2) Mathematische Definition: a - ε a + ε Eine Folge konvergiert gegen a, wenn ab einem bestimmten Glied alle Glieder einen Wert zwischen und haben, d.h. in der Umgebung a  ε liegen, wobei ε beliebig klein gewählt werden darf. Beispiel: Konvergenz gegen den Grenzwert a = 2. a - ε a + ε

Beispiel konvergente Folge Hier wurde der Grenzwert a = 2 und ε = 0,25 gewählt. => Ab dem 6.Glied liegen alle in der ε-Umgebung. zurück

Grenzwerte von Folgen Nullfolgen Konvergente Folgen Anwendung Grenzwerte Konvergente Folgen => Aufgaben blaues Buch und gelbes Buch

Nullfolge – konvergente Folge Welchen Zusammenhang erkennst Du zwischen den beiden gezeigten Folgen? Die Folge <an> konvergiert genau dann gegen den Grenzwert a, wenn die Folge <an-a> eine Nullfolge ist.

Grenzwerte von Folgen Nullfolgen Konvergente Folgen Anwendung Grenzwerte Konvergente Folgen => Aufgaben blaues Buch und gelbes Buch

Grenzwertsätze Summensatz Differenzsatz Konvergente Folgen => Aufgaben blaues Buch und gelbes Buch

Summensatz Summensatz: Gegeben seien zwei konvergente Folgen: Die Folge <an> konvergiert gegen a, die Folge <bn> konvergiert gegen b. => Summenfolge <an+bn> konvergiert gegen a+b. Beispiel: Lösung

Lösung Beispielaufgabe Bruch als Summe Kürzen Summensatz zurück

Beweis Summensatz Summensatz: Gegeben seien zwei konvergente Folgen: Die Folge <an> konvergiert gegen a, die Folge <bn> konvergiert gegen b. => Summenfolge <an+bn> konvergiert gegen a+b. Beispiel: Lösung

Grenzwerte von Folgen Anwendungen Grenzwert einer Folge Achill und Schildkröte bzw. Ölverbrauch (blaues Buch) Grenzwertsätze für Folgen (gelbes Buch) Die eulersche Zahl (Lambacher) Vollständige Induktion (Lambacher + Buckel) Konvergente Folgen => Aufgaben blaues Buch und gelbes Buch