3.4 Das computerunterstützte Unterrichtskonzept Dr. Helmut Heugl

2. Einfluss auf das Lehren 1.1 Das White Box/Black Box Prinzip 1.2 Das Black Box/White Box Prinzip 1.3 Das Modulprinzip 3. Einfluss auf das Lernen Die Buchbergersche Kreativitätsspirale Helmut Heugl 4. Workshop Funktionen 1. Verschiedene Rollen(Abläufe) von Mathematik

Modellieren Interpretieren Operieren Problem Mathemat. Modell Mathemat. lösung Mathematik  Problemlösen durch Schließen

concrete phase 1 abstract phase concrete phase 2 concrete phase 3 concrete phase 4 concrete phase n The 2 step concept of mathematics abstracting concretising The power of mathematics is the power of concretising

X = Y. Z area A = a.b price P = p.n work W = F.s power P = U.I proceeds E = p.x distance s = v.t mass M = ρ.V

Riemannsums in traditional mathematics education Example 2.3: Calculate the definite integral using the definition of the definite integral e.g. use the idea of „midsums“.

Riemannsums in technology supported classes

concrete phase 1 concrete phase 2 concrete phase 3 concrete phase 4 concrete phase n mathematics is not only mathematizing!

Das White Box/Black Box Prinzip Phase 1: Die White Box Phase Phase des verstehenden Lernens Formulieren des Problems, Finden einer Vermutung, Entwickeln von Begriffen oder Algorithmen, Begründen, Beweisen, Rechnen ausreichend vieler Übungsaufgaben ohne CAS, Nutzen von Black Boxes die in früheren White Boxes erforscht wurden. Phase 2: Die Black Box Phase Entscheidung für ein Konzept, für einen einen Algorithmus Ausführung durch das CAS als Black Box Testen und Interpretieren Ab und zu in die Box hineinschauen – „Glasbox“ Phase des erkennenden und begründeten Anwendens 2. Einfluss auf das Lehren

Das White Box/Black Box Prinzip in der Algebra Strukturerkenneung Termbox white

Gleichungsbox White Termbox Black Das White Box/Black Box Prinzip in der Algebra

Gleichungssysteme, WHITE Gleichungsbox BLACK Termbox BLACK

(I) 3.x - 2.y = 12│+2.y (II) 7.x + 2.y = 8 _______________________ (I) 3.x = y│:3 (II) 7.x + 2.y = 8 _________________________ (I) x = ( y)/3 (II) 7.( y)/3 + 2.y = 8│.3 _____________________________ (II) y + 6.y = 24│-84 (II) 20.y = -60│:20 (II) y = -3

Arbeiten IN den Gleichungen Arbeiten MIT den Gleichungen Arbeiten MIT DEM NAMEN der Gleichungen Veränderung der Kognition durch CAS

Das White Box/Black Box Prinzip in der Algebra Anwendungsbox, WHITE Gleichungssysteme BLACK Gleichungsbox BLACK Termbox BLACK Integrieren Differenzieren

Das Modulprinzip Module sind Wissenseinheiten, in denen (komplexes) Wissen komprimiert wird, und in denen Operationen durch diese Kapselung als Ganzes abrufbar und einsetzbar werden.

(1) Module, die von den Schülern entwickelt wurden (2) Module, welche die Lehrer zur Verfügung stellen (3) Module die das CAS zur Verfügung stellt

Phasen des modulorientierten Arbeitens “Arbeiten mit Modulen führt zum modularen Denken” [E. Lehmann, 2002]  Definieren von Modulen  Analysieren von Modulen, Nutzen für experimentelles Arbeiten  Entwickeln eines “Modulpools” als Werkzeugkasten für das Problemlösen  Nutzen von Modulen als Black Box  Verknüpfung von Modulen (selbstgebaute mit Modulen des CAS)

Problem Vermutung Theoret. Absicherung Algorithmus Problemlösung Neues Problem 3. Einfluss auf das Lernen

Heuristische, experimentelle Phase Exaktifizierende Phase Anwendungs- phase

Die heuristische, experimentelle Phase Beispiel 2: Extremwertaufgaben in der 5. Klasse Beispiel 1: Schuldentilgungspläne in der 4. Klasse Beispiel 4: Kollision von Schiffen in der 5. Klasse Beispiel 3: Die Idee der „Linearisierung“ in der 7. Klasse

Beispiel 4: Kollision von Schiffen Ein besseres Verständnis für Parameter durch Experimentieren [Wheeler, 1998] Die Kurse zweier Schiffe kreuzen einander. Sie befinden sich auf einem rechteckigen Radarschirm in folgender Position: Die USS Arlington befindet sich am unteren Rand des Schirms (x ‑ Achse) 900 mm von der linken Ecke entfernt, die USS Heights erscheint am linken Rand (y-Achse) 100 mm von der unteren Ecke entfernt. Eine Minute später beobachtet man folgende Position: Die USS Arlington hat sich 3mm nach Westen und 2 mm nach Norden bewegt, die USS Heights 4 mm nach Osten und 1 mm nach Norden. Mögliche Fragen: Werden die Schiffe kollidieren? Mit welcher Geschwindigkeit sind sie unterwegs? Wie groß ist ihr geringster Abstand?

Die exaktifizierende Phase: Riemann Summen Berechne mit Hilfe von „Zwischensummen“

PlanetEntfernung (in mil. km) Umlaufzeit in Tagen Merkur Venus Erde Mars Jupiter Saturn Uranus Neptun Pluto Die Anwendungsphase: Das 3. Keplersche Gesetz

Zusammenfassung der Ergebnisse der österreichischen Technologieprojekte  Mehr schülerzentriertes, experimentelles Lernen  Mehr anwendungsorientierte Mathematik  Verschiebung der Tätigkeit vom Ausführen zum Planen  Verschiebung der Tätigkeit vom Rechnen zum Modellieren, Interpretieren und Begründen  Der Computer unterstützt nicht nur Kognition, er wird zu einem Teil der Kognition

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Example 4.1: The module „difference quotient“ Step 1: Defining a module „diffq“ Step 2: Using the module for experimental learning

Step 3: Connecting modules produced by the students with modules offered by the CAS

Using modules – a chance and a danger: Example 4.4: The program package „Vector-Calculations“ [Th. Himmelbauer, 1997] Problem 1: Find the distance of 2 skew lines

Extrenwertaufgaben ohne Differentialrechnung Die Idee der Linearisierung

Experimentelle Phase: Untersuchung der Auswirkung von Parametern

Beispiel: Sterile Insektentechenik (SIT) Eine Insektenpopulation mit anfangs uo Weibchen und uo Männchen möge bei natürlichem Wachstum pro Generationjeweils auf das r ‑ fache anwachsen. Zur Bekämfung der Population wird pro Generation eine bestimmte Anzahl s von sterilen Männchen ferigesetzt, die sich mit der Naturpopulation völlig vermischt. Modellannahme uo=1 Million, r=3.

Sterile Insektentechnil S.I.T.