LdL am S. Roth :05: :05:44 Weitere Übungsbeispiele zur Booleschen Algebra Franz Jehle Boolesche Algebra, 4.3 / 4.4

:05:44LdL am S. Roth2 Axiome für Boolesche Verbände Für alle a, u, c є V gilt: I. a) au = u ab) a + u = u + a II. a) (au) c = a (u c) b) (a + u) + c = a + (u + c) III. a) a (a + u) = a b) a + a u = a IV. a) a (u + c) = a u + a c b) a + u c = (a + u) (a + c) V. a) a · 1 = ab) a + 0 = a VI. a) a  = 0b) a +  = 1 Verband distributiver Verbandkomplementärer distributiver Verband Seite 3Seite 4Seite 5Seite 6Seite 7Seite 8Seite 9

:05:44LdL am S. Roth3 1.Beispiel Es ist zu zeigen, dass die Es ist zu zeigen, dass die Verschmelzungsgesetze III Verschmelzungsgesetze III aus den Verschmelzungsgesetze III Verknüpfungsaxiomen I, IV, V und VI abgeleitet werden können. Lösung (Gesetz III b) Lösung (Gesetz III b) a + au = ? Verschmelzungs- / Absorptionsgesetze Wir wollen zeigen, dass gilt: a + au = a

:05:44LdL am S. Roth4 Nach Axiom V a a + au = a ∙1 + a u Nach Axiom IV a a + au = a (1 + u) Nach Axiom V a a + au = a [(1 + u) · 1] Nach Axiom I b und VI b a + au = a [(u + 1) (u + ū) Nach Axiom IV b a + au = a (u + 1 ∙ ū) Nach Axiom I a und V a a + au = a (u + ū)

:05:44LdL am S. Roth5 Nach Axiom VI b a + au = a · 1 Nach Axiom V a a + au = a q.e.d. Beweis erfolgreich erbracht.

:05:44LdL am S. Roth6 2. Beispiel Wir wollen zeigen, dass es bei der Definition der Booleschen Verbände genügt hätte, statt der Existenz von genau einem komplementären Element ā zu a є V die Existenz von mindestens einem komplementären Element ā zu fordern. Wir wollen zeigen, dass es bei der Definition der Booleschen Verbände genügt hätte, statt der Existenz von genau einem komplementären Element ā zu a є V die Existenz von mindestens einem komplementären Element ā zu fordern. Lösung Lösung Wir nehmen an, es gäbe zu a zwei komplementäre Elemente Wir nehmen an, es gäbe zu a zwei komplementäre Elemente und . und .

:05:44LdL am S. Roth7 Nach den Axiomen VI muss dann gelten: Nach den Axiomen VI muss dann gelten: (1) a · = 0 (2) a + = 1 (3) a ·  = 0 (4) a +  = 1 Es gilt: Nach Axiom V a: = · 1 Nach Voraussetzung (4): = · (a +  )

:05:44LdL am S. Roth8 Nach Axiom IV a: Nach Axiom IV a: = · a + · = · a + ·  Nach Axiom I a und Voraussetzung (1): = 0 + · = 0 + ·  Nach Axiom I b: = · + 0 = ·  + 0 Nach Voraussetzung (3): = · + a · = ·  + a ·  Nach Axiom I a und IV a: = ( + a) =  ( + a)

:05:44LdL am S. Roth9 Nach Axiom I b: Nach Axiom I b: = ∙ (a + ) =  ∙ (a + ) Voraussetzung (2): = ∙ 1 =  ∙ 1 Nach Axiom V a: = =  Es ist also stets: = = 

:05:44LdL am S. Roth10 Damit ist gezeigt, dass es bei der Definition der Booleschen Verbände ausgereicht hätte, die Existenz von genau einem komplementären Element ā zu fordern. q.e.d. Beweis erfolgreich erbracht.