Konformationsberechnungen Die Berechnung der mittleren Distanz <r> und des Gyrationsradius führt nur zu einer unzureichenden Beschreibung des Moleküls. Will man zur Bestimmung der Konformation einer makromolekularen Kette die Raumkoordinaten jedes Atoms angeben, muss man die Gesamtheit der Wechselwirkungspotentiale zwischen den Atomen verwenden. Dabei sind a) die Valenzbindungen zwischen den verbundenen Atomen und b) die Anziehungs- und Abstoßungskräfte zwischen den verbundenen Atomen zu berücksichtigen 3.1 Verbundene Atome 3.1.1 Valenzbindung In der Nähe des Gleichgewichtswertes r0 stellt ein harmonisches Potential eine gute Näherung dar

Konformationsberechnungen Die folgenden Werte werden im Kraftfeld-Programm AMBER vorgegeben In der Nähe des Valenzwinkels θ0 im Gleichgewicht verwendet man ebenfalls eine harmonische Näherung der Form Hierfür findet man im Programm AMBER die Werte

Konformationsberechnungen 3.1.2 Torsionspotential Für eine Rotation auf dem Valenzkegel wird ein Potential der Form verwendet. Für X-C-C-X z.B. ist n=4 und γ=0 und V = 4 kcal/mol. 3.2 Nicht verbundene Atome Die Gesamtheit der Wechselwirkungen zwischen Atomen und Atomgruppen besteht aus a) Coulomb – Wechselwirkungen b) Van-der Waals – Wechselwirkungen (London-Dispersions-WW) c) Wasserstoffbrücken

Konformationsberechnungen Eine analytische Form der potentiellen Energie für die gesamte Wechselwirkung aller Atome besitzt dann folgende Form Probleme: a) Wahl von qi und ε schwierig – Abschirmung durch H2O bzw. Ionen! b) Anwesenheit von Ionenpaaren verringert die Nettoladung q c) DK in der Nähe einer Ladung verändert

Konformationsberechnungen 3.3 Topologische Zwänge Beim Aufbau der dreidimensionalen Struktur können sich zwischen Atomen, die innerhalb der Kette weit entfernt sind, kovalente Bindungen aufbauen. Dies ist in Proteinen z. B. bei Disulfid Brücken der Fall, die durch Oxidation von zwei SH-Gruppen entstehen. Eine solche Bindung ist im bisherigen Ausdruck für die gesamte Wechselwirkungsenergie nicht berücksichtigt. Für die Aufrechterhaltung der 3D-Struktur ist sie aber von entscheidender Bedeutung. Gleiches gilt für Phosphodiester Bindungen , die sich zwischen den Enden einer DNA-Kette ausbilden und zu einer zirkulären Struktur führen. 3.4 Die Organisation einer Helix Die Sekundärstruktur von Makromolekülen ist häufig durch das Strukturelement einer Helix gekennzeichnet. Eine Helix entsteht, wenn ein Punkt in gegebenem Abstand um eine Achse bei gleichzeitiger Parallelverschiebung rotiert. Eine makromolekulare Helix wird durch Monomere gebildet, die um den Winkel α versetzt sind und um eine Translation p entlang der Achse verschoben werden. Die Schrittweite P einer Helix entspricht einem Umlauf, also α = 2π.

Konformationsberechnungen Die Koordinaten eines Atoms der Helix lassen sich durch ein Achsensystem ausdrücken, indem die Oz-Achse mit der Helixachse durch die folgenden Beziehungen vertauscht wird (Polarkoordinaten) wobei das Verhältnis n von Schrittweiten- zu Translationsparameter, n = P/p, nicht notwendig ganzzahlig ist und r den Abstand Atom – Achse angibt. z0 und Φ0 sind Parameter, deren Wert vom gewählten Atom der Kette abhängen. Um den Drehsinn zu ermitteln, wird z in positiver Richtung durchlaufen. Eine Helix ist rechtsgängig, wenn die Bewegung von einem Monomeren zum nächsten in positiver Richtung entlang Oz erfolgt und durch einen positiven Winkel α in der xOy – Ebene bestimmt ist.

Konformationsberechnungen Bei Proteinen tragen helikale Strukturen wesentlich zur Starrheit des Moleküls bei und spielen auch für Erkennungsmechanismen mit Nukleinsäuren und Membranen eine wichtige Rolle. Bei Nukleinsäuren sind die Doppelhelizes der DNA und die doppelhelikalen Bereiche der RNA wichtige strukturelle Charakteristika; es können auch tripelhelikale Bereiche auftreten Helikale Strukturen treten auch im Protein-Nukleinsäure-Komplex des Chromatins auf. Subzelluläre Organismen (Viren, Flagellen, Tubuli, Kollagenfasern etc.) zeigen ebenfalls organisierte helikale Strukturen. Die Bildung und Stabilität dieser Helices ist in der Biologie von großer Bedeutung.

Konformationsberechnungen 3.5 Konformationeller Helix – Knäuel Übergang Der Übergang von einer ungeordneten (Knäuel) zu einer geordneten (Helix) Konformation vollzieht sich, ähnlich wie ein Phasenübergang, in einem sehr engen Temperaturbereich. Es handelt sich dabei um einen kooperativen Prozess. Betrachte dazu eine reversible Konformationsänderung eines Moleküls: A ↔ B. In verdünnter Lösung ist die Änderung der freien Aktivierungsenthalpie abhängig von der Temperatur und den internen Koordinaten der beiden Zustände A und B: Wenn dies in kondensierten Phasen auch gilt, dann ist der Übergang Helix – Knäuel fast ausschließlich durch eine Änderung der Nachbarschaft bestimmt, sprich der größte Teil von ΔG ist durch die Änderung der Wechselwirkung mit den Nachbarn bestimmt. Dies sind typische Charakteristika eines kooperativen Prozesses. Im Falle des Helix-Knäuel Übergangs ist dies ein intramolekularer Prozess.

Konformationsberechnungen 3.5.1 Thermodynamischer Bezug Zur Berechnung der relevanten thermodynamischen Funktionen ist die Kenntnis der zugehörigen Zustandssumme nötig. In einer kanonischen Gesamtheit von N Teilchen in einem Volumen V bei gegebener Temperatur T, in der sich die Anzahl n1, n2, n3 … von Molekülen in den Energiezuständen U1, U2, U3, …. befinden, ist die Zustandsumme gegeben durch (gi – Entartungsgrad) Die Wahrscheinlichkeit pi, ni Teilchen im Zustand Ui anzutreffen, beträgt Der Mittelwert einer Größe X ist dann gegeben durch

Konformationsberechnungen Diese Betrachtung lässt sich auf Makromoleküle ausdehnen, wenn man sie als Summe von Mikrozuständen mit zugehöriger Boltzmann-Verteilung betrachtet. Näherungsweise existieren Monomere nur in den Zuständen 0 und 1 (z.B. 0 = Knäuel, 1 = Helix), wobei der Übergang mit einer Änderung ΔG der freien Enthalpie einhergeht und für das Gleichgewicht 0 ↔ 1 gilt:

Konformationsberechnungen 3.5.2 Reissverschluss-Modell Im einfachsten Modell gibt es nur einen geordneten Bereich, also z.B. 000 11111 000 oder 111111 000, also nur eine Region mit benachbarten Einsen. Die Einführung einer neuen 1 (Ausbreitungsphase) am Rande eines 1-er Blocks wird bestimmt durch die Gleichgewichtskonstante während die Einführung einer 1 (Verschmelzungsphase) in einen 0-er Block bestimmt wird durch eine Gleichgewichtskonstante (σ << 1)

Konformationsberechnungen Die Zustandsfunktion wird unter der Annahme gebildet, dass alle möglichen Zustände mit geeignetem statistischen Gewicht berücksichtigt werden. Zum Beispiel trägt der Zustand 000 11111 000 mit σs5 zur Zustandsfunktion bei. Wenn das Makromolekül n Elemente umfasst, erhält man wobei 1 dem kollektiven Beitrag aller Nullen und Ak der Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente 1 in einer Folge zwischen den n Elementen anzuordnen entspricht.

Konformationsberechnungen Damit ergibt sich der Helix-Anteil der Kette zu wobei gilt Dieses Modell eignet sich gut für kurze Ketten und führt zur Bevorzugung entweder langer helikaler Ketten oder komplett denaturierter Moleküle.

Konformationsberechnungen Einschub: Berechnung einer Zustandsfunktion

Konformationsberechnungen 3.6.3 Matrizenmodell Ein Makromolekül entspricht einer Folge von 0 und 1, wobei das statistische Gewicht g der Folge von 0 und 1 Zuständen einem Boltzmann-Faktor entspricht und ΔG der Änderung der freien Enthalpie beim Hinzufügen eines Segments gegebenen Zustands zu einem darauf folgenden Segment entspricht. Weiterhin wird festgelegt g = 1 für jede 0 g = s für jede 1 nach einer anderen 1 g = σ s für jede 1 nach einer 0 Der Parameter σ charakterisiert dabei die Kooperativität der Zustandsänderung. Ist σ = 1 so gilt für den Anteil an organisierten Elementen (Helix)

Konformationsberechnung Ist hingegen σ sehr klein, so ist es viel einfacher, Bereiche mit 0 oder 1 zu vervollständigen als eine 1 nach einer 0 einzufügen, also einen neuen geordneten Bereich zu beginnen. Man kann σ also als Nukleationsparameter betrachten, wobei ein kleiner Wert eine hohe Kooperativität signalisiert. Der Übergang wird durch Fluktuationen ausgelöst, die Nukleationszentren entstehen lassen. σ kann auch als eine reziproke Oberflächenspannung verstanden werden, wobei σ = 0 einer unendlich hohen Oberflächenspannung zwischen geordneten und ungeordneten Bereichen (sprich Phasen) entspricht. Man hat dann entweder ein vollständig geordnetes oder vollständig ungeordnetes System. Nur in diesem Fall (σ = 0) ist ein echter eindimensionaler Phasenübergang zu beobachten , andernfalls (σ ≠ 0) liegt immer eine Mischung beider Phasen vor.

Konformationsberechnung Neben den statistischen Gewichten g ist noch eine Methode zur Berechnung der Zustandsfunktion des Makromoleküls nötig. Das statistische Gewicht eines gegebenen Monomeren i wird durch einen Vektor ai beschrieben. Werden nur nächste-Nachbar-Wechselwirkungen berücksichtigt, so hat der Vektor nur zwei Komponenten, wobei jede dem statistischen Gewicht eines der Zustände des Monomeren i entspricht. Der Übergang von einem Segment i zum nächsten i+1 lässt sich mit einer Übergangsmatrix Mi beschreiben

Konformationsberechnung Ist es notwendig, die Wechselwirkung mit mehr nächsten Nachbarn zu berücksichtigen, so ist es notwendig von Gruppen von μ Monomeren auszugehen, deren Gewichtsvektoren dann 2μ Komponenten besitzen. Dabei wird das letzte Monomere der Kette durch den Vektor repräsentiert, dessen Komponentensumme der Zustandsfunktion Z des Moleküls entspricht. Die Berechnung von Z ergibt: wobei λ1 den größten Eigenwert der Übergangsmatrix darstellt. Für den Helix-Anteil erhält man wie im vorherigen Modell

Konformationsberechnung Spezialfälle: 1) nicht-kooperativer Übergang 2) „alles oder nichts“ System mit Phasenübergang

Konformationsberechnung Die folgende Abbildung illustriert das Verhalten des Übergangs. Die Anfangssteigung beträgt σ und nur die Kurven für σ < 1 besitzen einen Wendepunkt an den Stellen s = 1 und θ = ½

Konformationsberechnung Man kann eine Breite Δs des Übergangs definieren mit: wobei gilt Im Bild gilt: Δs = AA‘ + BB‘

Konformationsberechnung Es genügt, den Term d2λ1/ds2 zu berechnen und in allen anderen Termen s = 1 zu setzen. Damit erhält man und wenn σ = 10-4 beträgt, folgt Die Breite des Übergangs ist damit ein direktes Maß für die Kooperativität, also den Nukleationsparameter.

Konformationsberechnung Ist der Übergang die Folge einer Temperaturerhöhung, so erhält man wegen Die Breite ΔT des Übergangs wird analog definiert: ΔH stellt die Enthalpie-Änderung des Helix – Knäuel Übergangs dar, wobei der Kooperativität des Übergangs Rechnung getragen ist.

Konformationsberechnung Einschub: Berechnung von Z und θ Werden nur nächste-Nachbar-Wechselwirkungen berücksichtigt, so beträgt der Spaltenvektor des ersten Segments a1 = (1,1)T. Die Berechnung der Matrizen und Vektorprodukte ist bei diagonaler Übergangsmatrix erheblich vereinfacht. Diagonalisierung einer Matrix:

Konformationsberechnung Der Vektor an+1 ist also durch die beiden Werte λ1n und λ2n gegeben, womit folgt: Für große n gilt: Um den Anteil θ an organisierten Strukturelementen zu berechnen, wird geprüft, ob im Mittel k organisierte Monomere im Makromolekül vorhanden sind. Deren statistisches Gewicht geht in die Zustandssumme mit sk ein, Z ~ sk, so dass folgt: wobei eine zum ersten Modell identische Bestimmungsgleichung für den Helix-Anteil θ erhalten wurde.