Routenplanung querfeldein - Geometric Route Planning Mareike Otte

Motivation Fußgänger bewegen sich anders als Autos nicht über Graphen sondern über Flächen Wie können Hindernisse bzw. Freiflächen dargestellt werden? 03.07.2003 Mareike Otte

Lösung Repräsentation der Geometrie durch Polygone keine Beschränkung auf Kanten, exakte Trajektorie wird bestimmt Damit geeignet für Fußgängernavigation Schifffahrt 03.07.2003 Mareike Otte

Karte der kürzesten Wege Shortest path map (SPM) Aufspaltung des freien Raumes in Regionen, entsprechend der verbindenden Struktur von kürzesten Wegen zwischen einem Punkt s, zu einem beliebigen Punkt in der Region 03.07.2003 Mareike Otte

Zellzerlegung 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Zerlegung der Karte in Polygone mit Löchern (nicht begehbar) Bestimmung ihrer Minima und Maxima Einfügen von horizontalen Kanten Nummerierung der neu entstandenen Kacheln  Berechnungszeit: O (n) 03.07.2003 Mareike Otte

Erstellen eines Verbindungsgraphen Kacheln sind durch Knoten repräsentiert Kanten sind Verbindung von aneinandergrenzenden Kacheln Eine Kachel hat mind. eine Kante Berechnungszeit: O (n) Auffinden von Punkten: O (n log n) 03.07.2003 Mareike Otte

Erstellen eines Verbindungsgraphen 10 10 8 9 9 6 7 8 5 6 7 4 5 4 2 3 2 3 1 1 03.07.2003 Mareike Otte

Funnel (trichtern) Auffinden von konvexen Punkten Auf der linken Seite werden die konvexen Punkte des linken Polygons genutzt, auf der rechten Seite die des rechten Quellpunkt liegt immer auf dem kürzesten Weg Die Verbindungsketten bewegen sich voneinander weg Der Winkel zwischen den Ketten ist minimal 03.07.2003 Mareike Otte

Funnel (trichtern) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II I 03.07.2003 Mareike Otte

Funnel (trichtern) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II I 03.07.2003 Mareike Otte

Funnel (trichtern) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II I 03.07.2003 Mareike Otte

Funnel (trichtern) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II I 03.07.2003 Mareike Otte

Funnel (trichtern) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II I 03.07.2003 Mareike Otte

Berechnungszeit in einem komplexen Polygon Zellzerlegung: O (n) Verbindungsgraph: O (n) Auffinden von Punkten: O (n log n) Trichterverfahren: O (n²) Gesamtberechnungszeit: O (n²) + O ( n log n)... Geometrisches Verfahren also sehr zeitaufwendig 03.07.2003 Mareike Otte

Continuous Dijkstra Method Alternative Continuous Dijkstra Method 03.07.2003 Mareike Otte

Continuous Dijkstra Method die Karte der kürzesten Wege (SPM) wird direkt konstruiert der Zeitaufwand ist linear ist sowohl anwendbar auf die euklidische Metrik (sog. geod. Distanz ), wie auf die L1 Metrik 03.07.2003 Mareike Otte

Aufbau Wellenbewegung vom Quellpunkt s aus die Wellenfront ist Menge aller Punkte der Polygone im Abstand  zu s Wellenfront ändert sich, je nach Eigenschaft der Wavelets Wavelets sind Kreisbögen, die durch schon beim Durchlaufen erreichte Punkte gehen 03.07.2003 Mareike Otte

Eigenschaften der Wavelets Wavelets können: völlig verschwinden an ein Hindernis grenzen (Knoten) an ein Hindernis grenzen (Kante) mit einem anderen Wavelet zusammenprallen 03.07.2003 Mareike Otte

Continuous Dijkstra Method mit der L1 Metrik Ausgangspunkt: Quellpunkt s Wellenfront ist stückweise linear Wavelets sind Geraden mit der Steigung 1 Wellenfront steht immer rechtwinklig zu den Wavelets 03.07.2003 Mareike Otte

Berechnungszeit Berechnungszeit: O (n log n) im Gegensatz zum „normalen“ Dijkstra-Algorithmus: O (e + n log n) 03.07.2003 Mareike Otte

Offene Probleme Wie kann man mit einer Metrik-Kosten-Funktion, die auch die euklidische Länge mit berücksichtigt, in einer Karte (bestehend aus Polygonen mit Löchern) die Anzahl von Stopps z.B. in einem Hafen, bzw. die Wahrscheinlichkeit dieser Anzahl berechnen?  Travelling Salesman Problem 03.07.2003 Mareike Otte

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! 03.07.2003 Mareike Otte