Wichtige Transformationen Referentin: Yvonne Schindler Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Wichtige Transformationen FFT – Fast Fourier Transformation DCT – Diskrete Cosinus Transformation Wavelets Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Transformationen Transformationen sollen gegeben Daten so umwandeln, dass eine Bearbeitung weniger aufwendig ist, eine eindeutige Wiederherstellung durch Rücktransformation möglich ist Das Ziel einer jeden Transformation ist es, Daten in eine andere Repräsentation zu bringen, die Vorteile für die anschliessenden Operationen bringt. Allerdings sind nicht alle Transformationen gleich gut geeignet für die Repräsentation von bestimmten Daten. Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Transformationen Transformation und Rücktransformation sind aufwendig Aber: Berechnungen im transformierten Raum sind meist wesentlich einfacher Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Transformationsbeispiel Lösen der Gleichung X=Y / Z ohne Taschenrechner X = Y / Z Hoher Aufwand Durch Division Lösung Transformation log(X) = log (Y) – log (Z) Geringer Aufwand Durch Subtraktion Lösung Ein Beispiel für eine sinnvolle Transformation ist die Lösung der Gleichung X=Y/Z ohne Taschenrechner. Ohne Transformation ist das eine relativ schwierige Aufgabe. Wenn aber Logarithmentabellen hat, ist die Transformation einfach, die Subtraktion ist auch recht einfach und die Rücktransformation ist ebenfalls relativ einfach, so dass man für den gesamten Prozess weniger Anstrengungen aufbringen muss, als wenn man die Gleichung so löst. Analog zu diesem Beispiel funktionieren auch die Transformationen, die heute vorstellen werde. Rücktransformation Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Transformation Durch Rechnergenauigkeit kommt es aber doch schon bei der Transformation zu Datenreduktion. Bsp.: Die Zahl Pi 3,141595265359... wird vom Rechner auch nur gerundet genutzt Datenreduktion am Beispiel der zahl PI, 3,141595265359... Ist das Original, aber wir erkennen auch 3,1415 als PI an ohne, dass ein großer Unterschied für uns besteht. Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Fouriertransformation 1822 Jean-Baptiste-Joseph Fourier: ,,Die analytische Theorie der Wärme`` Man kann Funktionen durch die Summe von Sinus- und Cosinusfunktionen darstellen 1822 verfasste Jean-Baptiste-Joseph Fourier sein Buch „ Die analytische Theorie der Wärme. Darin kam er zu der Erkenntnis, dass man Funktionen als Summer von unendlich vielen Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen kann. Nichtperiodische Funktionen brauchen unendliche viele sin- und cos-Funktionen. Periodische brauchen endlich viele. Durch die unendliche Anzahl ist klar, dass eine gewisse Datenreduktion zustande kommt, da der Computer nicht mit unendlich vielen Werten rechnen kann. Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

1-dim. Fouriertransformation n Daten Fouriermatrix Die 1-dimensionale Fouriertransformation geht von einem Vektor mit n Daten aus IR in einen Vektor aus C. Über die Umkehrfunktion kann man dann wieder den Vektor in IR erzeugen. Damit ist die Fouriertransformation theoretisch verlustfrei. Praktisch hat der Rechner aber eine bestimmte Genauigkeit. Die reicht aber auch aus, denn es ist kein unterschied für den Menschen sichtbar. C Normierungsfaktor R Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

n-te Einheitswurzel xn hat in C n Lösungen Bsp.: x8 hat 8 Lösungen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Fouriermatrix Def.: Sei n  N und n n-te Einheitswurzel in C. Die nxn-Matrix F mit Fk,l= nk*l für alle k, l    {0, ..., n-1}, heißt Fouriermatrix. Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

1-dim. Fouriertransformation n Daten Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Inverse Fouriermatrix Für eine Rücktransformation braucht man eine inverse Fouriermatrix F ist unitär => F-1 = Ft transponiert konjugiert für alle k,l  {0, ..., n-1} Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Beweis für inverse Fouriermatrix 1 k=l =>1 kl => c=(k-l) Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Beweis für inverse Fouriermatrix 2 geometrische Reihe Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Beweis für inverse Fouriermatrix 3 => Ft = F-1 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

2-dim. Fouriertransformation Inverse: Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Fast Fouriertransformation Idee: Einzelne Berechnungen der Matrix-Vektor- Multiplikation in bestimmter Reihenfolge ausführen und schon berechnete Zwischenwerte benutzen n muss dafür eine 2er-Potenz sein Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Fouriertransformation Anwendungsbeispiel Fouriertransformation Bearbeitung Inverse Fouriertransformation Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Diskrete Cosinus Transformation DCT wird bei JPEG und MPEG benutzt Bei JPEG wird die DCT auf 8*8=64 Pixel angewandt Dabei werden die 64 Pixelwerte in 64 Frequenzbereiche Svu (mit v, u {0 ... 7}) umgesetzt, die somit eine zweidimensionale Frequenz wiedergeben. S00 wird als DC-Koeffizient bezeichnet und entspricht dem Frequenzanteil 0 in beiden Achsen. Er bestimmt den Grundfarbton für die gesamte Dateneinheit. Die übrigen Svu werden AC-Koeffizienten genannt. Große regelmäßige Flächen im Bild schlagen sich in niedrigen Frequenzanteilen nieder, feine Details und genaue Auflösung von Farbunterschieden in hohen. Die DCT nutzt die Schwächen des menschlichen Auges und filtert die hohen Ortsfrequenzen heraus, die das Auge ohnehin nicht wahrnehmen kann. Da sich benachbarte Pixelwerte in der Regel kaum unterscheiden, werden nach der DCT nur der DC-Koeffizient und einige niederfrequente AC-Koeffizienten größere Werte annehmen. Die anderen Koeffizienten werden fast Null oder meistens sogar gleich Null sein. Es müssen daraufhin also nur kleine Zahlen kodiert werden, was bei geeigneter Darstellung bereits einen Komprimierungseffekt hat. Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

DCT - Idee Gerade Funktion, d.h. f(x) = f(-x) Fouriertransformation anwenden: Dabei wird der imaginäre Anteil 0 Man könnte das Ganze auch analog für den Sínus machen, aber man herausgefunden, dass die DCT für das Auge angenehmer ist. Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

DCT – Herleitung 1 Gerade Funktion durch Verdoppelung der Werte 2n f(-n+1), f(-n+2), ... f(-1), f(0), f(1), ... ,f(n) n+1 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

DCT – Herleitung 2 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

DCT – Herleitung 3 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

DCT – Herleitung 4 Fertig!!! Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Wavelets Funktionen können auch durch die Summe von anderen Funktionen (Basisfunktionen) dargestellt werden. Die Transformation geht schrittweise voran Wavelets werden z.B. bei JPEG2000 benutzt und beim FBI um Fingerabdrücke zu speichern Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Basisfunktion Als Basisfunktion kann jede orthogonale Funktion genommen werden, für die gilt: Daher auch die Bezeichnung Wavelet engl. Wave = Welle Diese Funktionen verbinden die grundlegende Eigenschaft der Orthogonalität (d.h. die Vektoren der Funktionen stehen senkrecht zueinander (wie cosinus & sinus), die eine Transformation und eine identische Rekonstruktion erst ermöglicht. Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Haar-Wavelet Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Weitere Wavelet - Beispiele Daubechies 6 Daubechies 8 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Grundprinzip Berechnung des Mittelwertes und der Differenz Tiefpass und Hochpassanteile werden gespeichert. - Der Tiefpassanteil wird weiter analysiert. - durch immer kleiner werdender Hochpassanteile und einen einzigen Tiefpassanteil gekennzeichnet Die Berechnung des Mittelwertes und der Differenz zwischen zwei benachbarten Pixelwerten. - Die Ergebnisse werden als Tiefpass und Hochpassanteile gespeichert. - Der Tiefpassanteil wird mit den Haar-Funktionen weiter analysiert. - Letztendlich ist das wavelet-transformierte Bild durch eine gewisse Anzahl immer kleiner werdender Hochpassanteile und einen einzigen Tiefpassanteil gekennzeichnet Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Beispiel 13 13 5 5 9 13 17 21 13 5 11 19 0 0 -2 -2 9 15 4 -4 0 0 -2 -2 12 -3 4 -4 0 0 -2 -2 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Grundprinzip Grafik 1 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Grundprinzip Grafik 2 Es resultieren zwei Bilder, man hat also nun mehr Daten als vorher, die jedoch redundant sind. Man kann diese Bilder dann um den Faktor 2 verkleinern ohne Information zu verlieren. Der beschriebene Vorgang geschieht sowohl in horizontaler als auch in vertikaler Richtung. Die nachfolgende Abbildung zeigt ein Bild vor und nach der Transformation: In den Hochpassanteilen der ersten Transformationsstufe werden die feinen Bildstrukturen erfasst, in den Hochpassanteilen der folgenden Transformationsstufen werden zunehmend gröbere Bildstrukturen erfasst. Die Kompression ist jetzt wesentlich einfacher, da große Teile schwarz sind. Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Vergleich DCT - Wavelet Original FFT dopplet so viele Daten wie DCT gefensterten Fourier-Transformation (Short-Time Fourier-Transformation (STFT)) Nachteil Fourier: Treten nämlich in einem Bild höhere Frequenzanteile auf - z.B. durch ausgeprägte Kanten - so wirken sich diese auf alle Koeffizienten aus. Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Vergleich Kompression 1:25 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Vergleich Kompression 1:50 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

Quellen & weiterführende Literatur E-Kreide-Vorlesungen - FFT, DCT, Wavelets Internet – Studien- und Diplomarbeiten Elbert Oran Brigham (1995) Schnelle Fourier Transformation Josef Hoffmann (1991) Bildkompression mit DCT und anderen Transformationen Daubechies I. (1992) Ten Lectures on Wavelets Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen