Modellieren am Beispiel des ‚Dosenproblems‘
Situation Mathematisches Modell Lösung im Modell Lösung In der Realität Von der Situation zum mathematischen Modell zur Lösung
Brainstorming: Was muss bei der Wahl der Verpackung beachtet werden? Herstellungsart Form der Dose (rund, eckig,...) Materialverbrauch Stapeln Herstellungsprozess Ästhetik Gestaltung des Etiketts Handhabbarkeit (Öffnen, Kinder,...) Lagerungsdichte (Transport nach Taiwan) Dicke und Art des Materials
Ziel der Modellierung an der Dose Herstellungskosten möglichst gering, bzw. Gewinn möglichst hoch ansiedeln Möglichst kleiner Materialverbrauch bei großem Inhalt Optimale Maße einer Konservendose herausfinden! optimales Verhältnis zwischen Radius r und Höhe h
Rechnung: V=π r² h O= 2 r² π + 2 π r h h = V / r² π = 0,84 / r² π O= 2 r² π + 2 π r 0,84 / r² π O= 2 r² π + 1,68 / r f(r)=2 r² π + 1,68 / r f‘(r)=4 r π - 1,68 / r² |geringste Oberfläche wenn f‘(r)=O O= 4 r π – 1,68 / r² ________ 1,68 / r² = 4 r π => r=³ 1,68 / 4π 0, h= 0,84 / 0,511² π 1,02 Verhältnis: h = 2 r
Allgemeine Rechnung: V= r² π h => h= V / r² π O= 2 r² π + 2 π r h O= 2 r² π + 2 π r V / r²π = 2 r² π + 2 V / r f(r)= 2 r² π + 2 V / r f‘(r)= 4 r π -2V / r² |f‘(r)=O O= 4 r π – 2 V / r² 2 V / r² = 4 r π V= 4r³π / 2 =2r³π h= V / r² π = 2r³π /r²π h=2r
Ergebnis Optimale Dose – Quadratisches Profil FALSCH Echte Dose hat Überlappungen am Verschluss Überlappungsmaße am Original abnehmen
Überlappungsmaße r 2 =r+0,7 h 2 =h+0,6
Rechnung an der 840ml-Dose O= 2 π r 2 ² + 2 π r h 2 O=2 π ( r + 0,7 )² + 2 π r (h + 0,6) O=2π(r²+1,4r+0,49)+2πr(V/πr²+0,6) =2πr²+2π1,4r+2πV/πr+2πr0,6 =2 π r² + 4 π r + 0,89 π + 2 V / r