Ortsabhängige Kräfte Bsp.: Rakete im Gravitationsfeld (g nicht const.) h=r-R Erde (später mehr) Nur r-Komp. (Abschuss vom Pol) Rakete Heuler Gaub E1 WS14/15

Fluchtgeschwindigkeit (2.kosmische Geschwindigkeit) R r h=r-R Erde mit für Fluchtgeschwindigkeit (2.kosmische Geschwindigkeit) Kleinste Kreisbahn (Newton) 1. Kosmische Geschwindigkeit Gaub E1 WS14/15

Gesamtimpuls (Rakete+Gas) im All Newtons Sicht: Actio = Reactio! bezogen auf Erdoberfläche Ausstoßgeschwindigkeit relativ zur Rakete Raketen-gleichung Triebwerks-Schub T m t Nur z-Richtung Für t< T bei Start von der Erde: Viel Treibstoff schnell verbrennen Gaub E1 WS14/15

unterhalb der Fluchtgeschwindigkeit Mehrstufige Trägerraketen Bsp.: 1. Stufe Saturn V unterhalb der Fluchtgeschwindigkeit Mehrstufige Trägerraketen Apollo 11 Saturn V lauch http://www.youtube.com/watch?v=wvWHnK2FiCk Gaub E1 WS14/15

§2.7 Energiesatz der Mechanik Arbeit + Leistung Linienintegral „Arbeit“[W]= Nm = Joule y x z Bahnkurve Anmerkung: W = 0 für Leistung: [P]= =Watt=W Bsp. Gleichförmige Kreisbewegung: ; Bsp.: Dehnarbeit einer Feder von : Gaub E1 WS14/15

Konservative Kraftfelder x y z II Wenn => Integral wegunabhängig  Kraftfeld konservativ Konservatives Kraftfeld: Die Arbeit hängt nur von Start- und Endpunkt, nicht vom Weg ab. Vektoranalysis: Stokes´scher Satz  konservativ falls rot Gaub E1 WS14/15

Bsp.: homogenes Kraftfeld z x II I Konservatives Kraftfeld Bsp.: zentrales Kraftfeld I II konservativ Gaub E1 WS14/15

Potentielle Energie konservatives Kraftfeld  Bemerkung: I. Vorzeichen so gewählt, dass Arbeit, die am Körper am Körper verrichtet wird, dessen erhöht Arbeit die geleistet wird um P ins Unendliche zu bringen II. Nullpunkt wird oft so gewählt, dass Gaub E1 WS14/15

Bsp. Gravitationsfeld Nahe Erdoberfläche  g = const. mit Geleistete Arbeit hat zur Zunahme der geführt Für grösseren Entfernungsbereich gilt das Gravitationsgesetz r R Gaub E1 WS14/15

Energiesatz der Mechanik konservatives Kraftfeld Def.: Die Zunahme der kinetischen Energie eines Körpers ist gleich der an ihm geleisteten Arbeit  Im konservativen Kraftfeld ist die Summe aus potentieller Energie und kinetischer Energie konstant Gaub E1 WS14/15

Bsp: freier Fall ; ; Unabhängig von z! Gaub E1 WS14/15

Dafür benötigte Arbeit Potential  Kraftfeld Dafür benötigte Arbeit Def.: Potential = Potentielle Energie pro Masse Nabla Bsp.: Gravitation => Schwerkraft Gaub E1 WS14/15

Bestimmung von G, Bsp: Gravitationswaage = 2 L FG Drehmoment des verdrillten Fades  Gravitationswage Schema Gravitationswaage Gaub E1 WS14/15

Drehimpuls Ebene beliebig gekrümmte Bahn Def.: Drehimpuls m O In Polarkoordinaten: 0 weil Ebene von und weil Kreisbewegung: ; Gaub E1 WS14/15

Drehmoment: Newton 0 weil . Def: Drehmoment Für zentrale Kraftfelder ist = const. bzgl. Kraftzentrum  Drehimpulserhaltung Zeitliche Veränderung des Drehimpulses ist gleich dem wirkenden Drehmoment Gaub E1 WS14/15

werden bzgl. eines festen Punktes O im Raum definiert Man Beachte: und werden bzgl. eines festen Punktes O im Raum definiert Gerade Bewegung kann Drehimpuls haben bzgl. Analogie: Später noch: Gaub E1 WS14/15

Johannes Keppler Tycho Brahe Gaub E1 WS14/15

Planetenbewegung: Kepplergesetze (Basierend auf Beobachtung Tycho Brahes)) I. Planeten bewegen sich auf Ellipsen mit Sonne im Brennpunkt II. Fahrstrahl von Sonne zu Planet überschreitet in gleichen Zeiten gleiche Flächen III. Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die 3. Potenzen ihrer großen Halbachsen oder für alle Planeten Gaub E1 WS14/15

Zum 2. Kepplerschen Gesetz Bogen ≈ Sehne ds + 1. Gesetz (planare Bahn) => Richtung L konst Gaub E1 WS14/15

!! Newtons Analyse: G= 6,67384⋅10−11m3/kg⋅s2 Planetenbahnen Fallender Apfel Selbe Axiomatik Gravitation ! aus (Zentralkraft) aus Actio = Reactio  Mit Ellipse ~ Kreis => Fallrohr 3. Keppler Newtonsches Gravitationsgesetz G= 6,67384⋅10−11m3/kg⋅s2 Gaub E1 WS14/15

Bestimmung von g: Mathematisches Pendel Lösung der DGL: Gaub E1 WS14/15

+ Bronstein oder Mathematica Genauer: Start mit + Bronstein oder Mathematica 1.00 1.01 1.02 ; Gaub E1 WS14/15

Gravitation Kugelschale Kreisscheibe der Dicke dx schneidet aus der Kugelschale der Dicke da das Volumenelement (Kreisring) Gravitation Kugelschale X y a P y = a sina, ds = da / sina R dA ds ds dx dA = y dj ds dV= y dj ds dx x dj y Aufsicht Schnittfläche Nebenüberlegung: Kreisring in n Segmente dV unterteilen und Beiträge zu Ep aufaddieren: Gaub E1 WS14/15

Gravitation Kugelschale Kreisscheibe der Dicke dx schneidet aus der Kugelschale der Dicke da das Volumenelement (Kreisring) dV = 2 p a dx da dV = 2 p y ds dx, y = asina, ds=da/sina Gravitation Kugelschale X y a P R ds mit = Masse der KS Gaub E1 WS14/15

Außerhalb der Hohlkugel erscheint die gesamte Masse konzentriert in O R EP a Innerhalb Hohlkugel: R innerhalb der Kugel! F a R const. R  a ! für R < a Gaub E1 WS14/15

Gravimetrie der Erdoberfläche 1 Gal = 1 cm/s² = 0,01 m/s²; also etwa ein Promille der durchschnittlichen Erdbeschleunigung von ca. 9,81 m/s² ≈ 10 m/s² = 1000  Gal, Gaub E1 WS14/15

Varianten der Coulomb WW Gaub E1 WS14/15

Varianten der Coulomb WW Siehe J.N. Israelachvili, Intermolecular and Surface Forces with Applications to Colloidal and Biological Systems, Academic Press 1985 Gaub E1 WS14/15

HAB typisch ≈10-20 J Hamaker Konstante Bsp.: VdW-Potentiale ausgedehnter Körper Nochmalige Integration => Potetial zwischen 2 Wänden HAB typisch ≈10-20 J Hamaker Konstante Gaub E1 WS14/15

Van der Waals Wechselwirkung hält den Gecko am Glas fest Gaub E1 WS14/15