Lateinquadrate

Nur eine Standardanordnung für k=3 ABC BCA CAB ACBBCACABCBABAC ABC CAB BCA ACBBCACABCBABAC (Anzahl der Quadrate mit Standardanordnung) x k! x (k-1)! = 12

Lateinquadrate Standardanordnung, k=4 ABCD BADC CDBA DCAB ABCD BCDA CDAB DABC ABCD BDAC CADB DCBA ABCD BADC CDAB DCBA Jedes dieser Quadrate führt bei Festhalten der ersten Zeile auf 6 mögliche Permutationen der Zeilen Zusammen mit den 24 Permutationen der ersten Zeile ergibt dies 144 mögliche Quadrate. Insgesamt : 4x24x6 = 576 Quadrate

Orthogonale Lateinquadrate k=3 ABC BCA CAB ABC CAB BCA Legt man die Quadrate übereinander, so taucht jede Kombination von Behandlungen gleich oft auf, z.B. hier AA, AB, BA, AC, CA … je einmal. Wenn k eine Primzahl oder eine Potenz einer Primzahl ist lassen sich orthogonale Lateinquadrate konstruieren.

Konstruktion orthogonaler Lateinquadrate k=5 ABCDE BCDEA CDEAB DEABC EABCD ABCDE CDEAB EABCD BCDEA DEABC

Konstruktion, k=5 ABCDE DEABC BCDEA EABCD CDEAB ABCDE EABCD DEABC CDEAB BCDEA Bei Übereinanderlegen von zwei Quadraten kommt in den k 2 Feldern jeweils ein Paar AA, BB, CC, DD, EE, sowie jeweils eines der k(k-1) Paare AB, BA, AC, CA, … vor. Die Konstruktion funktioniert für jede mögliche erste Zeile.

Williams-Quadrate ABCD CADB DCBA BDAC k=4 In den Zeilen folgt jede Behandlung unmittelbar auf jede andere genau einmal, AB, BA, AC, CA, …. Ausgewogenheit bezüglich einfacher Nachwirkungseffekte

Williams-Quadrate, k gerade Erste Zeile i 1 (1), …, i k (1) Permutation von 0, …, k-1 Z.B.: 0, 1, k-1, 2, k-2, 3, k-3, …, k/2 k=6: 0, 1, 5, 2, 4, Bedingung: (i j (1) -i j-1 (1) )|mod k, j=2,…,k: Permutation von 0, …, k-1 Algorithmus zur Konstruktion: i j (r+1) =i j (r) +1|mod k

Williams-Quadrate (Einschub) Erste Zeile nicht eindeutig i j (1) → „Prime to k“ x i j (1) |mod k z.B. k=6: Multiplizieren mit 2 0, 1, 5, 2, 4, 3 0, 2, 4, 4, 2, 0 auch nicht mit 3! mit 5 0, 5, 1, 4, 2, 3 Andere Anfangszeile 0, 2, 1, 4, 5, 3

Konstruktion eines Williams-Quadrats k=6 0A0A 1B1B 5F5F 2C2C 4E4E 3D3D |mod

Williams-Quadrate, k ungerade Zwei Quadrate zu Block zusammenfassen Z.B.: k= Allgemein: Quadrat 1, 1.Z.: 0,1,k-1,2,k-2,…,(k-1)/2,(k+1)/2 Quadrat 2, 1.Z.: (k+1)/2,(k-1)/2,…,k-2,2,k-1,1,0 Algorithmus: i j (r+1) =i j (r) +1|mod k

Modell für ein LQ Y ijk = μ + ρ i + π j + τ k + ε ijk “Row”: Proband “Column”: Periode Behandlung Zufallsfehler

Ausgewogene unvollständige Blöcke t Behandlungen b Blöcke (z.B. Patienten) k (<t) Behandlungen pro Block Jede Behandlung einmal pro Block r Wiederholungen jeder Behandlung insgesamt λ mal jedes Behandlungspaar in den Blöcken N=rt=bk λ(t-1)=r(k-1) b≥t

Ausgewogene unvollständige Blöcke AB BA AC CA BC CB Blöcke (Patienten) t=3 b=6 k=2 r=4 λ=2 N=12

Modell Y ij = μ + τ j + β j + ε ij Messung, wenn im Block j die Behandlung i angewandt wurde Behandlung Block (Proband) Zufallsfehler

Blöcke mit Behandlungswiederholungen (individuelle Bioäquivalenz) RTRT TRTR TRTR RTRT Abschätzung der Variabilität innerhalb der Blöcke zwischen verschiedenen Anwendungen der gleichen Behandlung oder bei Wechsel der Behandlungen. Behandlungen R :Referenz T: Test Blöcke z.B. Probanden

Modell Enthält Variabilität innerhalb der Probanden getrennt nach Behandlung Varianzkomponente für die Wechselwirkung Proband x Behandlung (Variabilität durch Wechseln der Behandlungen, “Switchability”)