Lernprogramm für die Oberstufe Negative Zahlen Lernprogramm für die Oberstufe

Das kannst du schon…? 25 - 30 - 15 + 40 = 20 - 30 - 15 + 40 = In der vorgegebenen Reihenfolge lässt sich der Rechenauftrag mit unseren Mitteln noch nicht lösen. Durch Umstellen (Operationszeichen erster Stufe mitnehmen!) wird die Aufgabe gut lösbar! Das Ergebnis heisst: 20

Und wenn es kalt wird? 25 - 30 - 15 + 40 = +25 +20 - 30 +40 - 15 Das Wetter spielt verrückt: Zuerst ist es angenehm warm. Dann kühlt es zweimal nacheinander empfindlich ab. Gegen Ende der Woche steigt die Temperatur enorm an… +25 +20 25 - 30 - 15 + 40 = - 30 0° +40 Rechne von links nach rechts, ohne umzustellen! Stell dir vor, es handle sich um Temperaturen in Grad Celsius. Es darf deshalb auch unter Null gehen! Das Ergebnis ist natürlich auch hier: +20 Wir machen ab: Zahlen über Null können als positive Zahlen (+x) oder einfach als Zahlen ohne Vorzeichen (x) geschrieben werden: +20 = 20 Negative Zahlen verlangen nach einem negativen Vorzeichen: - 5 ; - 20 oder (-5) ; (-20) - 15

Die Sache mit den Vorzeichen… positives Vorzeichen positives Vorzeichen (-38) + (+38) – (-10) = (+10) Operationszeichen negatives Vorzeichen negatives Vorzeichen Wir unterscheiden zwischen Vorzeichen und Operationszeichen. Vorzeichen geben an, wo sich der Zahlwert auf dem Zahlen-strahl befindet. Operationszeichen geben an, was mit den Zahlen zu „tun“ ist! 50 (-50) (-38) (+38)

Entdecke Rechenregeln für die Addition und Subtraktion mit negativen Zahlen! 50 (-50) 12 – 40 = (- 28) 50 (-50) (-12) – 40 = (- 52) 50 (-50) (-12) + (-40) = (- 52) 50 (-50) (-12) – (+40) = (- 52) 50 (-50) (-12) + 40 = 28 50 (-50) (-12) – (-40) = 28 Arbeite mit Zahlenstrahlen! Im Heft entspricht ein Häuschen 2 Zahlwerten. Die Operation „Minus“ dreht den Zahlwert! Vorzeichen bestimmen die Richtung des Subtrahends.

Operationszeichen und Vorzeichen „stossen“ aneinander… Beispiele: 12 + (+20) = 12 + (-20) = 12 - (+20) = 12 - (-20) = 12 +20 = 12 -20 = 12 - 20 = 12 + 20 = (+32) (-8) (-8) (+32) Positive Klammern dürfen weggelassen werden! Negative Klammern dürfen nur weggelassen werden, wenn alle Operationszeichen 1. Stufe in der Klammer gewechselt werden! Erinnerst du dich noch an unsere Klammerregeln: Positive und negative Klammern… ? Obige Beispiele könnten als positive und negative Klammern aufgefasst werden!

Addiere und subtrahiere neg. Zahlen! 15 – (+28) + (-36) – (-5) + 6 – (+19) – ( -7) = (-32) – 12 – (+8) + (-21) + 9 – 28 – (+40) + (-51) = (-14) – 34 + 7 – (-12) + (-23) – 17 – (+22) – 18 = 52 – (-12) – (+33) + (-11) – 15 – 24 – (-8) – (+5) = (-100) – 45 – (-19) + (-21) + 18 – 30 – (+70) = 15 – 28 – 36 + 5 + 6 – 19 + 7 = (-50) +9 +8 (-32) – 12 – 8 – 21 + 9 – 28 – 40 – 51 = (-183) +7 +6 +5 (-14) – 34 + 7 + 12 – 23 – 17 – 22 – 18 = (-109) +4 +3 +2 52 + 12 – 33 – 11 – 15 – 24 + 8 – 5 = (-16) +1 -1 (-100) – 45 + 19 – 21 + 18 – 30 – 70 = (-229) -2 Vorgehen: Schaffe zuerst alle Klammern weg, indem du die „Klammerregeln“ für Operationen 1. Stufe anwendest! Denke daran: Ein Rechenauftrag fängt nie mit einem Minus an! Eine negative Zahl am Anfang eines Terms beginnt immer so: (-x) Stelle dir dann ein Thermometer vor oder einen Lift in einem mehrstöckigen Haus mit vielen Kellergeschossen! Rechne im Kopf! Notiere die Ergebnisse! Klicke erst dann wieder! -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

Negative Zahlen multiplizieren… Zur bildlichen Darstellung der Multiplikation eignet sich ein Koordinatenkreuz. Wir berechnen Flächen! (A = l * b; hier: A = x * y) (+5) * (+5) kann einfachheitshalber auch als 5 * 5 geschrieben werden. Das Ergebnis ist sicher positiv: (+25) = 25 (nach Abmachung) (+5) * (-5) = 5 * (-5) = => Das Ergebnis ist (-25) sicher negativ! (-5) * (+5) = (-5) * 5 = (nach Abmachung!) 5 * (-5) = (Kommutativgesetz!) (-25) Wie kann das Ergebnis von (-5) * (-5) heissen? Betrachte das nebenstehende Bild! Was ver-mutest du? Merke: (-5) * (-5) = (+25) (+5) (-5) * (+5) = (+5) * (+5) = (-25) (+25) (-5) (+5) (-5) * (-5) = (+5) * (-5) = (+25) (-25) (-5) Spiegelachse

Vorzeichenregel für die Multiplikation ( x) ( y) ( xy) + * + = + + + * - = - ( x) ( y) ( xy) - - * - = + ( x) ( y) ( xy) + - * + = - ( x) ( y) ( xy) - Mathematisch korrekt, aber nicht sehr übersichtlich und einprägsam! In dieser „unkorrekten“ Darstellung sind die Vorzeichenregeln einprägsamer!

Division: Umkehroperation der Multiplikation Schreibe folgende Rechen-aufträge auf Notizpapier und rechne: (+35)*(+6) = (+35)*( -6 ) = (-35) * (+6) = (-35) * (-6) = Schreibe jetzt die soeben gelösten Aufgaben als Umkehroperationen auf! (+210) : (+6) = (- 210) : (-6) = ( - 210) : (+6) = (+210) : (- 6) = Gegenoperationen xn (+210) (+35) Operationen 3. Stufe (-210) (+35) Gegenoperationen : * (-210) (-35) Operationen 2. Stufe (+210) (-35) Gegenoperationen Schreibe nun eine vereinfachte Übersicht über die Vorzeichenregeln bei Divisionen! + Operationen 1. Stufe + : + = + - : - = + - : + = - + : - = - Bei gleichen Operations- zeichen wird das Ergebnis positiv! Skizziere das „Operationshaus“ und fülle die wichtigsten Begriffe ein! Überprüfe dein Ergebnis mit Mausklick! Ergänze, was in deinen Notizen fehlt! Bei verschiedenen Opera- tionszeichen wird das Ergebnis negativ!

Übung macht den Meister! (-4) * (+16) = (-72) : (+3) = (-162)*(-2) = 96 : (-4) = (-162):(-2) = (-27)* 4 = 282 : (-3) = (-756):14*(-3)= (-2)*(-18):(-12)= (-64) (-29)+12+(-13) = 37-(-5)+(-50)-8 = 13+(-45)-(-12)-9 = 2*(-17)-(-19)+(-8)= 2*(-17)-(-19)*(-8) = 2*(-15)-(-24):(-8) = (-5)*16+36:(-2)+3= (-84):(-7)*(-5)-85 = [123:(-3)*(-2)-(-6)]:(-8)= (-30) (-24) (-16) 324 (-29) (-24) (-23) 81 (-186) (-108) (-33) (-94) (-95) 162 (-145) (-11) (-3) Schreibe die obigen Aufgaben ins Heft! Löse sie ohne TR und kontrolliere dann mit Mausklick! Verbessere, wenn nötig!

Negative Zahlen auf dem TR Angenommen, du möchtest folgende Rechenanweisung in den TR eintippen: Dann benötigst du dazu: - die Vorzeichentaste - die Operationstasten ( + , - ,* , : ) - und hier die Klammertasten Taste der Reihe nach in den TR: Merke: Negative Zahlen verlangen im TR keine Klammern! Das Vorzeichen kann mit der Taste gewechselt werden! Ausserdem „kennt“ er die Regel: Höhere Operationsstufe zuerst! [ (+123):(-3)*(-2)-(-6) ]:(-8)= Klammer- tasten ) Operations- zeichen ( ( 123 : 3 + - x 2 + - 6 + - ) : 8 + - = - 11 + - + - Vorzeichen

Vorzeichen und Potenzen… xn Operationen 3. Stufe 22 32 42 * : Operationen 2. Stufe 2 * 2 3 * 3 4 * 4 Operationen 1. Stufe + 2 + 2 3 + 3 + 3 4 + 4 + 4 + 4 Die höheren Operationsstufen lassen sich auf die unteren Operationsstufen zurück führen. Also müssen die Vorzeichenregeln auch für die Operationen höchster Stufe gelten. Im Zweifelsfall schreibe ich Potenzen in vereinfachter Darstellung: Als Multiplikation oder…

Und nun: Potenziere ganze Zahlen! Schreibe als Multiplikation: Vorzeichenregel: Ergebnis: vereinfacht: (+5)2 = (+5)* (+5) = (+25) = 25 (+5)3 = (+5)* (+5) * (+5) = (+125) = 125 (-5)2 = (-5) * (-5) = (+25) = 25 (-5)3 = (-5) * (-5) * (-5) = (-125) (+25) (-125) (-5)4 = (-5) * (-5) * (-5) * (-5) = (+625) = 625 (+25) * (+25) (-2)5 = (-2) * (-2) * (-2) * (-2) * (-2) = (-32) Löse die Aufgaben schrittweise! Folge den Anweisungen (Pfeile)! Kannst du eine Regel erkennen? Notiere diese und diskutiere deinen Vorschlag mit einem Partner oder einer Partnerin!

(-XXL) - (-XXL ) = (+XXL) (-1)*(-XXL) = XXL …und dabei könnte man mich mit einem klitzekleinen Vorzeichen kehren… Huch – ich weiss, ich bin durch und durch NEGATIV (-1)*(-XXL) = XXL (-XXL) - (-XXL ) = (+XXL)