Risk Analysis of Accumulation and Withdrawal Plans Topics in Investment Risk Analysis of Accumulation and Withdrawal Plans Abteilung Finanzen

Gliederung Agenda Einleitung Ansparpläne 2.1 Risikomaße und Analysedesign 2.2 Back Testing 2.3 Zukunftsmodellierung 2.4 Ergebnisse Entnahmepläne 3.1 Auszahlungsregeln, Simulation, Ergebnisse 3.2 Constant Proportion Portfolio Insurance (CPPI) 3.3 Zusammenfassung Diskussion

Einleitung - Die drei Säulen der Altersvorsorge - Säule: die gesetzliche Rentenversicherung Säule: die betriebliche Altersvorsorge Säule: die private Altersvorsorge

Einleitung - Voraussetzung für das Umlageverfahren - Bedingung für das Funktionieren des Umlageverfahrens Anzahl der Beitragszahler * durchschnittliches Einkommen * Beitragssatz = Anzahl der Rentner * durchschnittliches Rentenniveau

Einleitung - Gründe für zunehmende private Altersvorsorge - Probleme des Umlageverfahrens: Demographische Entwicklung Sinkende Geburtenrate Steigende Lebenserwartung Arbeitsmarktentwicklung Hohe Arbeitslosigkeit Kürzere Lebensarbeitszeit => steigende Finanzierungslücke

Einleitung - Reform der Altersversorgung - Übergang vom 3-Säulen- zum 3-Schichten-Modell Schicht: geförderte Basisversorgung Schicht: geförderte Zusatzversorgung Schicht: nicht geförderte private Zusatzversorgung

Einleitung - Zukunftsaussichten - Zunehmende Versorgungslücke im Alter Verhaltene Annahme der bisher staatl. geförderten Altervorsorgeprodukte => Somit ist die private Altervorsorge unausweichlich

Risikomaße und Analysedesign - Einführung - Volatilitätsmaße: Risiko als Ausmaß der Abweichung von einer Zielgröße Varianz Standardabweichung Shortfallmaße: Risiko als Gefahr der Unterschreitung einer (exogen) gegeben Benchmark (Zielrendite) Shortfallwahrscheinlichkeit Mittlerer Exzessverlust Shortfallerwartungswert

Risikomaße und Analysedesign - Volatilitätsmaße - Varianz : Die Varianz misst das Ausmaß der (quadrierten) Abweichungen der Realisationen vom Erwartungswert Formal: Standardabweichung : ergibt sich aus der positiven Wurzel der Varianz Vorteil : gleiche Dimension wie der Erwartungswert

Risikomaße und Analysedesign - Kritik an den Volatilitätsmaßen - Vorteile : Technische Vorteile bei Portfoliobildung Große Abweichungen werden stärker gewichtet Nachteile : positive und negative Abweichungen werden gleichermaßen berücksichtigt Nichtbeachtung des Grades der Asymmetrie (bei längeren Anlagehorizonten)

Risikomaße und Analysedesign - Shortfallrisikomaße - Shortfallwahrscheinlichkeit : misst die Wahrscheinlichkeit einer Unterschreitung der Benchmark Formal : Nachteil : Keine Berücksichtigung der Höhe der Unterschreitung

Risikomaße und Analysedesign - Shortfallrisikomaße - Mittlerer Exzessverlust : Der Mittlerer Exzessverlust erfasst den mittleren Betrag der Unterschreitung der Benchmark, unter der Bedingung eines Shortfalls. Formal : Auch bedingter Shortfallerwartungswert Stellt ein Worst-Case-Risikomaß dar

Risikomaße und Analysedesign - Shortfallrisikomaße - Shortfallerwartungswert : Gibt den mittleren Betrag der Unterschreitung der Benchmark an Verlusthöhe und jeweilige Wahrscheinlichkeit gehen somit in die Berechnung ein Formal: Es gilt folgende Beziehung zwischen SW, SE und MEL:

Risikomaße und Analysedesign - Kritik an den Shortfallrisikomaßen - Vorteile : sinnvolleres Risikoverständnis Bezug zu Investor bei asymmetrischer Verteilung vorzuziehen Nachteile : Ein Shortfallrisikomaß eines Portfolios ergibt sich nicht aus einer Funktion der einzelnen Shortfallrisikomaße

Risikomaße und Analysedesign - Vorstellung der Sparpläne - Durchführung der Analyse anhand drei verschiedener Sparplanvarianten im Zeitraum von 1969 bis 2004 Aktiensparplan (DAX) Rentensparplan (REXP) Statisches Portfolio Betrachtung realer Renditen, Bereinigung durch Consumer Proce Index (CPI)

Risikomaße und Analysedesign - Sparplandesign - Annahmen: Jährliche Einzahlungen von 1200 EUR Zahlung erfolgt vorschüssig zum 31.12 jeden Jahres Vernachlässigung von Transaktionskosten (Ausgabeaufschläge und Managementgebühr)

Back Testing - Einleitung - Ergebnisse des Back Testings Entwicklung der einzelnen Sparpläne Durchschnittsrendite Endvermögen Betrachtung der Shortfallrisiken Shortfallwahrscheinlichkeit Mittlerer Exzessverlust Shortfallerwartungswert

Back Testing - Entwicklung der einzelnen Sparpläne -

Back Testing - Entwicklung der einzelnen Sparpläne - Entwicklung der Sparpläne Investmentform: DAX REXP Stat. Portf. Reale Rendite 2,45% 4% 3,25% Reales Endvermögen 50.000 EUR 100.000 EUR 75.000 EUR Nom. Endvermögen 85.000 EUR 175.000 EUR 130.000 EUR

Back Testing - Betrachtung der Shortfallrisiken - Shortfallwahrscheinlichkeit

Back Testing - Betrachtung der Shortfallrisiken - Shortfallwahrscheinlichkeit Investmentform: DAX REXP Stat. P. 5 Jahre 51,61% 9,68% 32,26% Jahre 26,92% 0% 19,23% 15 Jahre 14,29% 0% 0% Jahre 18,75% 0% 0% 25 Jahre 9,09% 0% 0% 30 Jahre 16,67% 0% 0%

Back Testing - Betrachtung der Shortfallrisiken - Shortfallwahrscheinlichkeit Bei einem Renteninvestment und einem Investment in ein statisches Portfolio nimmt die Shortfallwahrscheinlichkeit sehr rasch den Wert Null an Beim DAX-Investment nimmt die Shortfallwahrscheinlichkeit ebenfalls mit steigendem Zeithorizont ab, verbleibt aber auf einem signifikant hohen Niveau

Back Testing - Betrachtung der Shortfallrisiken - Mittlerer Exzessverlust

Back Testing - Betrachtung der Shortfallrisiken - Mittlerer Exzessverlust Bei einem Renteninvestment und bei einem statischen Portfolio nimmt der auch Mittlere Exzessverlust sehr rasch den Wert Null an, bedingt durch den Wert Null der Shortfallwahrscheinlichkeit Bei dem Investment in den DAX erhöht sich hingegen mit steigendem Zeithorizont der Mittlere Exzessverlust

Back Testing - Betrachtung der Shortfallrisiken - Shortfallerwartungswert

Back Testing - Betrachtung der Shortfallrisiken - Shortfallerwartungswert DAX: Schwankt auf einem signifikanten Niveau, bedingt durch die gegenläufigen Effekte von Shortfallwahrscheinlichkeit und Mittleren Exzessverlust REXP und statisches Portfolio: Konvergiert direkt gegen Null und nimmt diesen Wert nach 10, bzw. 15 Jahren an

Back Testing - Ergebnisse - Im beobachteten Zeitraum: REXP: höhere Durchschnittsrendite geringeren Risiken DAX: geringere Durchschnittsrendite viel höhere und persitente Risiken Bedingt durch die Baisse der Jahre 2000-2003 konnte mit einem Renteninvestment eine deutlich höhere Durchschnittsrendite bei gleichzeitig geringerem Risiko erzielt werden!

Zukunftsmodellierung - Einordnung - Bisher wurde auf Basis der Daten der letzten 35 Jahre die Leistungsfähigkeit von Investmentsparplänen untersucht, nun soll eine Prognose für die Entwicklung in den nächsten 35 Jahren erfolgen. Dazu muss die zukünftige Entwicklung der Kapitalmärkte simuliert werden. Das finanzmathematische Standardmodell zur Prognose von zufallsabhängigen Wertentwicklungen wie z.B. Kursverläufe von dividendenlosen Aktien bzw. thesaurierenden Aktienportfolios ist die geometrische Brown’sche Bewegung (geometrische Wiener- Prozess).

Zukunftsmodellierung - Die geometrische Brown`sche Bewegung - Der Aktienkurs stellt sich nach dem Euler-Schema für die geometrische Brown‘sche Bewegung nach der nächsten kurzen Zeitperiode ∆t wie folgt dar: für ∆t = 1 Jahr Grundlagen: - Markov-Eigenschaft: alle Informationen über die vergangenen Entwicklungen sind bereits im aktuellen Kurs (Sn) enthalten. Die Zuwächse stellen sich dabei als stochastisch unabhängige Zufallsgrößen dar. Zudem sind die Zuwächse normalverteilt.

Zukunftsmodellierung - Die geometrische Brown`sche Bewegung - Die einzelnen Komponenten der Rendite Komponente: erwartete Wert der Rendite (Drift): Investoren erwarten prozentuale Rendite 2. Komponente: stochastische Komponente der Rendite (Diffusion): - Aktienkursentwicklung ist volatil bzw. unsicher: - stochastische Komponente Zufallsstichprobe Z mit Z ~ N (0,1) Hierbei gilt als Näherung für Z: Die besten Schätzer für µ und sind hierbei die realisierten Werte des Backtest.

Zukunftsmodellierung - Vier mögliche Pfade eines DAX-Sparplans - Pfad1: Endvermögen nach 35 Jahren: rund 370.546 EUR Pfad2: Endvermögen nach 35 Jahren: etwa 1 EUR

Zukunftsmodellierung - Monte-Carlo-Simulation - Im Rahmen der Monte-Carlo-Simulation werden nun für den DAX und den REXP jeweils 10.000 Pfade simuliert. Jeder einzelne stellt dabei eine Möglichkeit der zukünftigen Entwicklung darstellen. Durch die Simulation von 10.000 Pfaden und die Bildung des Mittelwerts aus den einzelnen Ergebnissen lässt sich der wahrscheinlichste Verlauf der Indizes und somit auch der darauf basierenden Sparpläne ermitteln.

Zukunftsmodellierung - Ergebnisse der Simulation der Entwicklung der Sparpläne -

Zukunftsmodellierung - Auswertung der Entwicklung der Shortfallmaße -

Zukunftsmodellierung - Beurteilung der gefundenen Ergebnisse - Hohes Maß an Übereinstimmung der Ergebnisse der Simulation und des Backtest durch die verwendeten Drift- und Streuungsparameter Somit auch bei der Prognose deutliche Überlegenheit des Renteninvestments gegenüber von Aktienanlagen Pfadabhängigkeit der Ergebnisse

Ergebnisse - Fazit - Zeitraumbetrachtung Renten haben in dieser Periode Aktien outperformt, => Widerspruch zur geltenden Meinung Persistenz des Risikos bei Aktien Keine Pauschalisierung der Ergebnisse möglich Diversifiziertes Portfolio für Altersvorsorge (sämtl. Assetklassen)

Teil 2 - Entnahmepläne - Agenda Einleitung Ansparpläne 2.1 Risikomaße und Analysedesign 2.2 Back Testing 2.3 Zukunftsmodellierung 2.4 Ergebnisse Entnahmepläne 3.1 Auszahlungsregeln, Simulation, Ergebnisse 3.2 Constant Proportion Portfolio Insurance (CPPI) 3.3 Zusammenfassung Diskussion

Problemstellung Sorge um finanzielle Absicherung im Rentenalter Immer mehr Rentner pro Arbeitnehmer gesetzliche Rentenversicherung kann nicht mehr den gewohnten Lebensstandard gewährleisten Zusätzliche private Absicherung sinnvoll Wie soll das angesparte und angelegte Vermögen im Alter optimal ENTNOMMEN werden?

Simulation der zukünftigen Renditen Vermögen wird in ein Portfolio angelegt, dass zu 50 % aus DAX Werten und zu 50 % aus Renten des REXP besteht Durchschnittliche Rendite und Varianz wurde aus einer historischen Zeitreihe geschätzt mit Hilfe der geometrisch Brownschen Bewegung wurden jeweils 1000 zukünftige stetige Jahresrenditen über 45 Jahre simuliert Verwendete Formel: Wobei:

Vorstellung der Auszahlungsregeln (1) Leibrente Leistung wird vor Beginn der Rente durch Einmalzahlung erworben Verpflichtung zu einer lebenslangen konstanten Rentenzahlung Langlebigkeitsrisiko trägt die Versicherungsgesellschaft Keine Vererbung des Restkapitals und keine Vererbung der Zahlungsansprüche Verwendete Formel: (Gesamtannuität)

Vorstellung der Auszahlungsregeln (2) b) Entnahme eines festen Betrags Ein fester Betrag wird in jeder Periode entnommen. Bei der Simulation wird dieser Betrag bis zum max. Endalter von 110 Jahren entnommen. c) Entnahme eines fixen Anteils Bis zum Endalter wird jedes Jahr ein prozentualer Anteil des verbleibenden Vermögens ausgezahlt. d) Entnahme eines Anteils nach der 1/T Regel Mit zunehmendem Alter wird ein höherer Anteil des verbleibenden Vermögens entnommen. Formel:

Risikomaße, Untersuchung & Ergebnisvorstellung Betrachtung der durchschnittlichen Rendite und der Volatilität als Risikomaß für eine Untersuchung über mehrere Perioden nicht sinnvoll. Betrachtung von Shortfall-WS, Shortfall-Erwartungswert & Mean Excess Loss (wie bereits definiert) Shortfall tritt ein, wenn ein Referenzwert unterschritten wird Speziell bei Entnahmeplänen, wenn die Auszahlung der Leibrente unterschritten wird. Bei den Simulationen wurden Versicherungskosten, Inflation, Depotkosten etc. nicht berücksichtigt.

Modell Annahmen Annahmen für die Untersuchung Leibrente vs. Festbetragsentnahme, Entnahme eines Anteils & Entnahme nach der 1/T Regel Für 100 Euro kann man eine sichere Leibrente in Höhe von 6,52 Euro jährlich erhalten Fragestellung: Welches Risiko geht der Pensionär ein, wenn er das Vermögen in Höhe von 100 € selbst anlegt und jeweils jährlich 6,52 € , 6,52 % des Restvermögens bzw. den Anteil von 1/T des Restvermögens jährlich entnimmt? Weitere Annahmen: maximale Lebenserwartung = 110 Jahre, Sterbetafel 1994 T (Sterbe-WS weiblich), 1000 Simulationspfade

Ergebnisse (1)

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Schlussfolgerungen Keine eindeutige Empfehlung für einen Entnahmeplan möglich Entscheidung für einen Entnahmeplan abhängig von individuellen Verhältnisse & Bedürfnisse (Gesundheit, Konsumverhalten) Leibrente als Benchmark wäre für einen risikoaversen Pensionär für die gesamte Laufzeit die beste Lösung Unbeachtet blieben bei der Simulation Versicherungskosten, Inflation, Depotkosten, flexible Geldanlage aufgrund von unsicheren Märkten In dem nun folgendem Modell werden einige dieser Punkte berücksichtigt.

In einer Phase des Lebens, wo Risikoaversion am höchsten ist Erste Überlegungen Langfristige Entscheidungen unter Risiko treffen Ohne Möglichkeit diese Entscheidungen zu ändern Anlagezeitpunkt des Vermögens wichtig Sicherheitsbedürfnis wächst stetig In einer Phase des Lebens, wo Risikoaversion am höchsten ist

Kapitalmarktrisiken

Constant Proportion Portfolio Insurance (CPPI) Entwickelt in den 80er Jahren in den USA (Black & Jones) Kapitalerhalt für bestimmte Perioden gesichert Auf unerwartete Ereignisse kann reagiert werden Höhere Sicherheit (im Vgl. zu Entnahmeplänen) Diversifikation über Zeit und Assetklassen

Dynamisches CPPI Dynamisches CPPI Pfadabhängig Dynamische Asset Allocation „Tailor made“ Produkte Dynamisches CPPI CAPM Risikoneigung (M)

Modell Beschreibung Vermögen 100 GE Mindestziel Kapitalerhalt Multiplikator von 4 In deutsche Aktien und Renten investiert Nicht in Aktien angelegte Teil des Vermögens in Anleihen investiert Vergangenheitsdaten Auszahlung mindestens Leibrente (Referenzfall) Flexible Umschichtung im Portfolio Floor Cushion ( C ) Multiplikator (M ) E = M * C

CPPI - Simulation

Vermögensverlauf

Vorteile von CPPI Sicherheit des Kapitals immer gewährleistet Sehr Flexibel und Dynamisch Sicherheit des Kapitals immer gewährleistet Mindestens Entnahmen wie bei Leibrente Chance auf mehr Konsum Fast kein Ruinrisiko - bei Verlusten Umschichtung in risikoarme Assets Praxisnutzung, Vererbungspotential immer vorhanden Keine Prognose für die Entwicklung der Aktienmärkte nötig

Nachteile von CPPI Realisierte Gewinne werden nicht eingefroren Häufige Portfolioanpassung / Transaktionskosten (Gebühren, Kommissionen, steuerliche Belastungen) Zeitaufwendig (periodische Anpassungen) Keine Garantie des angestrebten Floors Over-Night-Risiko / Lemminge-Verhalten

Ergebnisse Leibrente – risikolose Benchmark mit Nachteilen Dynamisches CPPI – Verbindet Vorteile von Leibrente mit Vorteilen der Entnahmepläne

Zusammenfassung Sehr wichtig, sich über Rentenentnahme & private Rentenversorgung Gedanken zu machen Individuelle Betrachtung notwendig Schwierig, alle Risiken einzubeziehen In der Simulation keine dominante Strategie für die gesamte Laufzeit, risikoaverser Pensionär würde eher eine Leibrente kaufen, auch wenn dieser Markt in Deutschland nicht stark ausgeprägt ist CPPI ist gut umsetzbare Lösung, wenn der Pensionär in der Lage ist, Marktinformation regelmäßig abzufragen und darauf zu reagieren

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