Energiebänder im Festkörper

Inhalt Klassisch: Energieniveaus eines freien Atoms Quantenmechanik: Energie des Bohrschen Atommodells Aufspaltung der Energieniveaus durch Kopplung bei Annäherung eines zweiten Atoms Quantenmechanik: Alle Elektronen eines Festkörpers bilden eine quantenmechanische Gesamtheit, jedem Elektron wird eine Welle zugeordnet Lösung der Schrödingergleichung für Elektronen im „Kasten“ Daraus resultiert das Bändermodell für Isolator Halbleiter Leiter

Kristalline Festkörper

Bohrsches Atommodell r4=16r1 r3=9r1 r2=4r1 r1 E1=-0,85 eV E3=-1,5 eV

Klassisches Modell Aufbau der Atome nach Bohrs Modell Aufspaltung der Energieniveaus bei Kopplung an benachbarte Atome (analog dem Doppelpendel)

Energie der Elektronen in Bohrs Atommodell Abstand vom Kern mal 0,0529 [nm] Bindungsenergie E [eV]

Zwei Atome im Kasten, klassisch

Zwei Atome im Kasten, klassisch

Quantenmechanisches Modell Die Elektronen von den in einem Festkörper gebundenen Atome werden als ein „gebundener Zustand“ aufgefasst Anstelle der lokalisierten Atome treten stehende Wellen im „Kasten“ Die Wellenlängen sind Teiler der doppelten Kastenlänge Anstelle der Energie der Elektronen in Abhängigkeit vom Bahnradius tritt die Energie der Wellen in Abhängigkeit von der Wellenzahl Berechnung mit der Schrödingergleichung für das Kastenpotential

Zwei Teilchen in einem Kasten, quantenmechanisch x=0 x=L Klassisch: Quantenmechanisch:

Erste Welle für zwei Teilchen in einem Kasten x=0 x=L

Zweite Welle für zwei Teilchen in einem Kasten x=0 x=L

Wellenzahl und Energie Was kostet die Anregung einer Welle mit Wellenzahl n ? 1/m Wellenzahlen „die in den Kasten passen“ 1 J Energie zu Wellen mit Quantenzahl n

Erste Welle für zwei Teilchen in einem Kasten x=0 x=L 1m Wellenlänge 1 1/m Wellenzahl 1 J Energie

Zweite Welle für zwei Teilchen in einem Kasten x=0 x=L 1m Wellenlänge 1 1/m Wellenzahl 1 J Energie

Elektronen sind „Fermionen“ Wellenzahl und Energie zur Wellenzahl können für eine Spin-Richtung nur einmal vergeben werden Der Festkörper (zunächst eine lineare Kette) habe die Länge L, er enthalte N Elementarzellen mit 2N Elektronen Man beginnt mit der Wellenzahl k1 =π/L und ordnet sie zwei Elektronen mit unterschiedlichem Spin zu Man erhöhe die Wellenzahl bis kN =N·π/L

De Broglie Beziehung zwischen Wellen- und Teilcheneigenschaft Eine Welle mit Wellenzahl k entspricht einem Teilchen mit Impuls p=ħ·k

Beispiel: Kristall mit vier Elementarzellen Jedem Elektronenpaar (↑↓), z. B. für He Atome, wird genau eine Energie εn zugeordnet 4 1s ↓ 4 1s ↑ 3 1s ↓ 3 1s ↑ 2 1s ↓ 2 1s ↑ 1 1s ↓ 1 1s ↑

Wellen im Kristall mit vier Elementarzellen Gitter mit vier Elementarzellen Vier Wellen mit Wellenzahlen k=n·π/L passen in dieses Gitter, d. h. sie zeigen Knoten an den Enden des Kristalls

Vier Wellen im Kristall mit vier Elementarzellen Aufenthaltswahrscheinlichkeit für vier Wellen mit Wellenzahlen k=n·π/L

Energie εn der Elektronen von He im Kristall mit vier Elementarzellen Energie εn=n2h2/(8mL2) Zu jeder Welle mit Wellenzahl k=n·π/L gehört die Energie εn ~n2 4 1s ↑ 3 1s ↑ 2 1s ↑ 1 1s ↑ Nummer n der Wellenzahl Impuls ~ n

Volle Besetzung des 1s Niveaus im He-Kristall Abstand vom Kern mal 0,0529 [nm] Bindungsenergie E [eV] Energie Band 1 s

Einbau von vier weiteren Elektronen in den Kristall mit vier Elementarzellen, z. B. Übergang von He mit zwei Elektronen zu Li mit drei Elektronen Kristall aus He-Atomen Kristall aus Li-Atomen

Wellen zu den Wellenzahlen n=5,6,7,8 Vier weitere Elektronen benötigen weitere Wellenzahlen

Zuordnung der Wellenzahlen Nur ↑ besetzt, vier ↓ Wellen noch frei! 4 2s ↓ 4 2s ↑ 3 2s ↓ 3 2s ↑ 2 2s ↓ 2 2s ↑ 1 2s ↓ 1 2s ↑ 4 1s ↓ 4 1s ↑ 3 1s ↓ 3 1s ↑ 2 1s ↓ 2 1s ↑ ↑ und ↓ besetzt 1 1s ↓ 1 1s ↑

Vier freie Wellenzahlen (↓) in der 2s Schale des Li-Kristalls Abstand vom Kern mal 0,0529 [nm] Nur ↑ besetzt, vier ↓ Wellen noch frei! 2 s Band Bindungsenergie E [eV] Bandlücke Band ↑ und ↓ besetzt 1 s

Alternative Zuordnung: Nur zwei Paare ↑ ↓ besetzt, zwei Paare sind noch frei! 4 2s ↓ 4 2s ↑ 3 2s ↓ 3 2s ↑ 2 2s ↓ 2 2s ↑ 1 2s ↓ 1 2s ↑ 4 1s ↓ 4 1s ↑ 3 1s ↓ 3 1s ↑ 2 1s ↓ 2 1s ↑ ↑ und ↓ besetzt 1 1s ↓ 1 1s ↑

Zwei freie Wellenzahlen (↑↓) in der 2s Schale des Li-Kristalls Abstand vom Kern mal 0,0529 [nm] Nur zwei Paare ↑ ↓ besetzt, zwei Paare sind noch frei! 2 s Band Bindungsenergie E [eV] Bandlücke Band 1 s ↑ und ↓ besetzt Leiter

Freie Plätze im „Band“, elektrische Leiter Freie Wellenzahlen in einem Band erlauben den Elektronen Energie und Impuls (p=ħ·k) aufzunehmen, das Material ist elektrisch leitfähig Im Beispiel der Li-Kristall

Voll Besetzte Bänder, Nichtleiter Voll besetzt ist ein Band, wenn alle Wellenzahlen vergeben sind In diesen Bändern können die Elektronen keine Energie und keinen Impuls aufnehmen Im Beispiel der He-Kristall diese Materialien sind Nichtleiter

Volle Besetzung des 1s Niveaus des He Kristalls Abstand vom Kern mal 0,0529 [nm] Bindungsenergie E [eV] Energie Band 1 s ↑ und ↓ besetzt Nichtleiter

Kleine Bandlücke: Halbleiter Bei genügend kleiner Bandlücke Zwischen einem voll besetzten und dem nächsten, unbesetzten Band genügt eine kleine Energiezufuhr, um das Material vom nichtleitenden in den leitenden Zustand zu überführen Diese Materialien nennt man Halbleiter

Modell eines Halbleiters: Kleine Bandlücke über dem Valenzband Abstand vom Kern Kleine Bandlücke mal 0,0529 [nm] Leeres Leitungsband Leitungs Band ↑ und ↓ besetzt 2 s Valenz Band Bindungsenergie E [eV] Bandlücke Band ↑ und ↓ besetzt 1 s Halbleiter

Zusammenfassung Klassisch: Energieniveaus eines freien Atoms Energie des Bohrschen Atommodells Aufspaltung der Energieniveaus durch Kopplung bei Annäherung eines zweiten Atoms Quantenmechanik: Alle Elektronen eines Bandes bilden eine quantenmechanische Gesamtheit, jedem Elektron wird eine Welle zugeordnet Lösung der Schrödingergleichung für Elektronen im „Kasten“ Daraus resultiert das Bändermodell für Isolator Halbleiter Leiter

Konstanten e 1,60 10-19 1 C Elementarladung 1,05 10-34 1 Js Formel-zeichen Wert SI Einheit Anmerkung e 1,60 10-19 1 C Elementarladung 1,05 10-34 1 Js Plancksches Wirkungsquantum h 6,63 10-34 me 9,11 10-31 1 kg Masse des Elektrons 8,85 10-12 1 F/m Elektrische Feldkonstante ,