„Kernmodelle und ihre experimentelle Überprüfung“ Vergleich des MO-Modells mit experimentellen Anregungsenergien und Spins Seminar zum Thema „Kernmodelle und ihre experimentelle Überprüfung“ Christiane Toepser Bonn, den 23/30.11.2005

Geltungsbereich des MO-Modells Das MO-Modell gilt zunächst nur für Kerne mit einer Teilchenzahl die um eins größer ist, als eine magische Zahl. Im späteren Teil des Vortrags werden wir jedoch sehen, dass sich der Geltungsbereich ausweiten lässt.

Beispiele hierzu sind: 4120Ca21 hat ein Neutron mehr als die geschlossene N=20-Schale => erwarteter Grundzustand: 7/2- analog für 4121Sc20 => erwarteter Grundzustand: 7/2- für 9141Nb50 erwartet man 9/2+ für 9140Zr51 erwartet man 5/2+ Alle diese Vorhersagen wurden experimentell bestätigt!

Der dargestellte Geltungsbereich des Modells ist jedoch noch gering. Deshalb Idee: Für jede volle j-Schale gilt J=0 Beispiel: 49Ca hat eine gefüllte f 7/2-Schale und ein Teilchen darüber hinaus => erwarteter Grundzustand: Jπ =3/2- Auch die Vorhersage in diesem Beispiel wurde experimentell bestätigt!

Das vorhergehende Beispiel zeigt, wie man für j-Schalen und volle Hauptschalen in Kernen mit einem Nukleon mehr, als der doppelt magischen Zahl, den Jπ-Wert des Grundzustandes leicht finden kann!

Eingrenzung ist immer noch eng, deshalb: Betrachte Kern mit 2j Nukleonen in äußerer Schale, d.h. dort existiert ein Loch Ausserdem gilt J(volle Schale)=0 => J(volle Schale-1)+j=0 => Orbital mit 2j Nukleonen hat J=j

Der Spin eines Teilchens und eines Lochs sind gleich Der Spin eines Teilchens und eines Lochs sind gleich. Sie haben nur eine entgegengesetzte Richtung!

Insgesamt kann man festhalten, dass der Grundzustand solcher Kerne nur von der Lage des einzelnen Teilchens oder Lochs abhängt!

Beispiele zur Drehimpulsbetrachtung: Bei 41Ca und 47Ca füllen die letzten Neutronen das 1f 7/2-Orbital => erwartete Grundzustände: Jπ = 7/2- 39Ca hat ein Loch im d 3/2-Orbital => erwarteter Grundzustand: Jπ = 3/2+ 95Zr hat ein Loch im d 5/2-Orbital => erwarteter Grundzustand: Jπ = 5/2+ Auch die Vorhersagen in diesen Beispielen wurden experimentell bestätigt!

Nun will man das Modell auch noch ausweiten, um Voraussagen über Energien und Jπ-Werte angeregter Zustände machen zu können.

Hierzu: Schematisches Bild zum Auffüllen von Kernen mit Neutronenzahl = magisch+1 Erst Annahme: Zahl der Protonen magisch => tot. Drehimpuls J=j¹ Dann: Einfach angeregte Zustände mit kleinsten Energielevels: J=j² und J=j³ Anregungsenergien: E=Ej²-Ej¹ bzw. E=Ej³-Ej¹

Beispiel hierzu: Erwarteter erster angeregter Zustand von 41Ca: 3/2- Diese Betrachtungen erlauben es uns z.B. die Abfolge von J-Werten und Energien für tief liegende Levels von Kernen wie 41Ca, 91Zr, 209Pb und 209Bi vorherzusagen. Beispiel hierzu: Erwarteter erster angeregter Zustand von 41Ca: 3/2- Auch die Vorhersage in diesem Beispiel wurde experimentell bestätigt!

Weiteres Beispiel: Einfacher Inhalt von Protonenschale Z=82 bis Z=126 ist bestätigt Abfolge der Levels, aber offensichtlich nicht immer wie im Schema von Folie 1

Geltungsbereich nur für Einteilchen- und „Einloch“-Systeme wäre allerdings immer noch eher klein.

Stellen wir uns nun vor wir haben drei Teilchen in der j-Schale: Dann könnten sich diese koppeln gemäß J=j+j+j nach dem MO-Modell sind die Energien entartet in der Praxis sind sie es aber nicht!!! => Kollision mit den Effekten der restlichen Wechselwirkungen (erlaubte Zustände ergeben sich aus dem Pauli-Prinzip)

Nun ist es eine Möglichkeit, die Drehmomente zweier Teilchen zu J¹²=0 zu koppeln und das dritte Teilchen dann unabhängig davon an das Paar zu koppeln. Dann wäre J=j³. Beweis der These: Grundzustand von Kernen mit Nukleonenzahl = magisch+2 wie z.B. 18O, 42Ca oder 210Pb sind tatsächlich Jπ=0 Es ist festzustellen, dass die Grundzustände aller gg-Kerne Jπ=0 betragen!

Nun zurück zu den 3-Teilchen-Systemen: Haben gesehen, dass J¹²=0 ignoriert werden kann, d.h. Jgesamt=Jletztes Nukleon Beispiele: 43Ca =>Jπ = 7/2- 93Zr =>Jπ = 5/2+ Auch die Vorhersagen in diesen Beispielen wurden experimentell bestätigt!

Ebenso kann der Gültigkeitsbereich des MO-Modell ausgeweitet werden auf: Systeme mit fünf oder mehr Teilchen in der j-Schale J(gesamt)=j(letztes Teilchen) Systeme mit drei Neutronenlöchern Beispiel: 87Zr: Jπ=9/2+ Auch die Vorhersage in diesem Beispiel wurde experimentell bestätigt!

Angeregte Zustände entstehen durch Anheben von Teilchen auf ein höheres Niveau. Sehen wir uns Teil 4 des Bildes an: Wenn ein Teilchen aus j¹ nach j² angehoben wird, so koppeln die beiden in j¹ befindlichen Teilchen zu J=0 und Jgesamt=j²

Nun gehen wir noch einen Schritt weiter Teilchen aus einem vollen j¹ in ein nicht volles j² mit ungerader Nukleonenzahl angehoben => J(j²-Orbital)=0. Im j¹-Orbital macht nun das Loch den Drehimpuls aus zu J=j¹. (Natürlich könnte j¹ auch ein Level aus der nächst unteren Schale sein.)

Beispiel hierzu: Bei 41Ca kann ein d3/2- oder ein s 1/2-Neutron in das f 7/2-Orbital gehoben werden. Dann hätte man eine 1-Loch-2-Teilchen-Konfiguration. Diese hätte Jπ= 3/2+, wobei die beiden f 7/2-Neutronen sich zu 0 koppeln würden. Tatsächlich kann man bei Messungen solche Niveaus feststellen!

Weiteres Beispiel für diesen Prozess: 69Ni(Z=28, N=41) 67Ni (N=39) hat, wie erwartet, Grundzustand Jπ=1/2-, da es im 2p1/2-Orbital ein Loch hat. Im 68Ni sind das Orbital und die volle N=28-40 Hauptschale gefüllt. Im 69Ni sollte 41. Neutron also in das 1g 9/2 Orbital gehören => 9/2+Grundzustand Mit geringer Energie angeregter Zustand kann erreicht werden, durch Anheben eines der beiden Neutronen aus dem 2p1/2- in das 1g9/2-Orbital. => J(g²9/2)=0, Gesamtspin: 1/2-(aus 2p1/2-Orbital) Diese Beschreibung stimmt tatsächlich mit der Situation in 69Ni überein!

Weitere interessante Eigenschaft des MO-Modells: Betrachten Isotope des 39Y, die eine ungerade Anzahl Protonen haben. => Sie alle haben einen 1/2--Grundzustand, was auch das erwartete Orbital für das 39.Proton ist. Wichtig:1/2- bleibt Grundzustand vieler dieser Kerne, unabhängig von der Neutronenzahl! 41Nb zeigt ähnliches Verhalten nur, dass das 41.Proton im g 9/2-Orbital liegt. ACHTUNG: Konstanz von J bei Variation der geradzahlig vorhandenen anderen Art von Nukleonen nicht immer der Fall !! (z.B. Sb-Isotope)

Weitere interessante Vorhersage: Betrachte Kern mit magischer Zahl von Nukleonen => Jgs =0 wie bereits gesehen. Nun Energiezufuhr um ein Nukleon aus höchstem Orbital in gefüllter Hauptschale in j¹-Orbital der nächsten Hauptschale zu heben. Der Gesamtspin wird dann gegeben sein durch Kopplung der j-Werte des Lochs(h) und des Teilchens(p). An diesem Punkt können wir nicht sagen, welcher J-Zustand der niedrigste sein wird!!

Behandlung des Problems: Außer den Orbitalen gleicher Parität in schweren Kernen, haben die Grundzustände in jeder Hauptschale entgegengesetzte Parität im Vergleich zu denen darunter und darüber. => Daher ist es klar, dass die meisten der am wenigsten angeregten Zustände in doppelt magischen Kernen negative Parität haben. (Die Gesamtparität ist das Produkt aus den Paritäten jedes Nukleons.)

Weitere Behandlung des Problems: Alle gepaarten Nukleonen in einem gegebenen Orbital ergeben π = + und der angeregte Zustand (s.unten) hat π = πi = πhπp, was in den meisten Fällen der magischen Kerne negativ ist. Tatsächlich haben die niedrigsten angeregten Zustände von doppelt magischen Kernen typischerweise negative Parität.

Wir haben also gesehen, wie sich unser MO-Modell auf 1-Loch-Zustände ausweiten lässt und, wenn man sich auf die bevorzugte J=0 Kopplung von Paaren identischer Nukleonen im selben Orbital beruft, können wir das Modell auf viele andere ungerade A-Kerne (einfach magisch) ausweiten. Auch einfache angeregte Zustände könne auf diese Art vorhergesagt werden.

Es sind diese einfachen Ausweitungen, die dem MO-Modell eine solch breite Anwendung und Signifikanz verleihen.

Nun zu Interaktionen zwischen Teilchen in verschiedenen j-Schalen und zu den Unterschalen Energien der Teilchen im Modell ändern sich aus zwei Gründen mit N und Z. z.B.:Approx-imation im Teilchen-modell: E  1/r²  A-2/3 Der Einfluss dieses Effekts ist allerdings gering gegenüber manch anderen WW.

Andere Wechselwirkungen: Ein deutlich signifikanterer Aspekt ist an anderen Stellen zu finden. z.B. die Effekte geschlossener Schalen mit gefüllten Orbitalen auf die Energie eines Teilchens im Valenzraum Zunächst mag man denken man könnte diese Einflüsse ignorieren, aber in den letzten Jahren hat man festgestellt, dass dem nicht so ist.

Das Grundlegende Resultat ist zunächst trivial: Da für eine geschlossene Schale J=0 gilt ist seine Wellenfunktion sphärisch symmetrisch. Stellen uns vor: ein einzelnes Valenznukleon ausserhalb einer solchen Schale in einem j-Orbital. Da die geschlossene Schale keine bevorzugte Ausrichtung im Raum aufweist, ist dessen WW mit dem Nukleon unabhängig von m. Das heißt, dass die WW äquivalent ist zu einer Änderung des sphärisch symmetrischen Zentralpotentials.

WW von offenen Schalen mit den darunter liegenden vollen Schalen hat eine wichtige Konsequenz: Hauptschalen bestehen aus unterschiedlichen einzelnen j-Schalen. Jeder der j-Werte einer geschlossenen Hauptschale kann einen anderen Einfluß auf die Valenz-j-Schale haben. =>die relativen Energien der einzelnen Teilchen einer gegebenen Hauptschale hängen sehr stark von den speziellen darunter liegenden gefüllten, geschlossenen Schalen ab.

Ausgedehnte Datenreihen haben ermöglicht die empirischen Einteilchen-Energien für eine große Zahl von Kernen mit einem Loch oder Teilchen in WW mit verschiedenen vollen Hauptschalen zu bestimmen.

Manche Ergebnisse hierzu sehen wir auf Folie2 (oben links): Energien von Proton und Neutron in der 82/126-Schale ausgelöst durch Levels in 209Bi und 207Pb => sehen: die Energien sind nahezu gleich!!! (leichter Unterschied durch Coulomb-Effekt) Ergebnis sinnvoll, da jeweiliges Valenzteilchen bzw. Valenzloch WW mit gleichem darunterliegenden Orbital fühlt. Einziger nennenswerter Unterschied: Neutronenloch im Pb interagiert mit 43 Neutronen, während Proton im Bi mit 44 Neutronen interagiert.

Da individuelle Nukleon-Nukleon-WW in einer Größenordnung von wenigen hundert keV liegen und die j-Abhängigkeit vernachlässigbar ist => Unterschied in der WW mit 43 oder 44 Teilchen eher kleiner Effekt

Nun zu den Feldern oben rechts und unten auf Folie2: Hier ist das Gleiche gezeigt für eine 50/82 Schale. => das gleiche Ergebnis!!! Unten: Neutronenlöcher in 131Sn interagieren mit den gleichen 50 Neutronen und 40 Protonen wie in Zr, aber es kommen noch Z=40-50 Protonen aus der geschlossenen Schale und die Neutronen aus der eigenen Schale hinzu. => Konsequenz: Energien von Sn und Zr sehr unterschiedlich!!!

WICHTIG: die WW einer Schale j¹ mit einer anderen (geschlossenen oder offenen) Schale j² hängt von der Überlagerung der entsprechenden Wellenfunktionen ab. Der einzige Unterschied wenn j² geschlossen ist, ist dass dann die WW Winkel-unabhängig ist. Orbitale mit ähnlichen Quantenzahlen nlj haben höhere Überlappungen.

Sehen nun: Abhängigkeit von der radialen Überlappung verschiedener Orbitale mit einem 1s-Orbital: n=n1-n2 und l=l1-l2 Offensichtlich ist die einfache Abschätzung, dass die WW stark mit 1/(n+l)geht recht passend.

In unserem Fall von Folie2 unten: Das 1g9/2-Protonen-Orbital füllt sich von Z=40 bis 50 => übt große anziehende Wirkung auf das 1g7/2-Neutronen-Orbital aus, was die Energie drastisch senkt. Im Gegensatz hierzu hat ein Orbital wie das 3s1/2 eine reine Überlappung mit dem 1g9/2 Orbital und relativ hierzu steigt seine Energie.

Dieselbe Idee in mehr Details, als Funktion von A: Hier zu sehen: 2d5/2- und 1g7/2- Protonen-Levels des Sb(Z=51)Kerns als Funktion der Neutronenzahl. Da die Energien in unserem Modell recht stabil sind sollte eine Zugabe von Neutronen die Protonen-Levels nicht beeinflussen. Sehen aber, dass die beiden beobachteten Niveaus mit wachsendem N die Ordnung wechseln.

Doch warum ist das so? Stark anziehende p-n-WW zwischen den einzelnen übrigen Valenzprotonen die den Sn(Z=50)-Kern umkreisen und den Neutronen in der N=50-82 Schale bewirkt dramatische Änderung in der Protonen-Level-Ordnung. Neutronen, die 1g7/2- und das 1h11/2- Orbital füllen haben größere Überlagerungen mit den Protonen aus dem 1g7/2- Orbital als mit denen im 2d5/2- Orbital. =>Deshalb ist die Energie des Ersten erniedrigt. =>Dieser Effekt ist stark genug um den Wechsel der Orbitale (bei ca. N=70) zu bewirken!!!

Beispiele zu diesem Effekt zeigen uns, dass man mit Wechseln in der Ordnung der Teilchen rechnen muss. Dies gilt insbesondere für Kerne bei denen die WW zwischen den Nukleonen das Potentials des einzelnen Teilchens verändern. Ausserdem sind wegen des Coulomb-Potentials die Abfolgen von Protonen und Neutronen wie erwartet leicht unterschiedlich, besonders in schweren Kernen.

Nun die drei wichtigsten Punkte: Eine geschlossene Schale hat den gleichen Effekt auf alle magnetischen Unterzustände eines Teilchens in einer offenen Schale (was äquivalent ist zu einer Änderung des sphärischen Potentials) Die Energien verschiedener Schalen können unterschiedlich beeinflußt werden durch die darunterliegenden Schalen verschieden darunterliegende geschlossene Schalen (j-, oder Hauptschalen) können eine gegebene offene Schale sehr unterschiedlich beeinflussen.

Dies bedeutet, dass es wichtig ist wieder zu betonen, dass eine Illustration des Schalenmodell-Levels nur eine halb-quantitative Richtgröße geben kann: Die Energien sind massenabhängig!!!

Natürlich gibt es aber auch Diskrepanzen zwischen dem Modell und Experimenten. Bsp.:169Yb und 161Dy

Noch eine Möglichkeit das Modell anzupassen: