Leitidee Zufall Montag, den 14. Januar 2008 14.30 - 17.00 Uhr Grundbegriffe und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung - Präsentation – Zufallsgeräte relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Ergebnisse und Ereignisse Summen- und Produktregel zweistufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme 2. Übungen 3. Simulationen in Excel 4. Mathematik interaktiv Software zur Simulation; Zeichnen von Baumdiagrammen

Leitidee Zufall Bildungsstandards BW Klasse 10

Leitidee Zufall Leitidee Daten und Zufall Die Schülerinnen und Schüler - werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus, - planen statistische Erhebungen, sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stellen sie graphisch dar, auch unter Verwendung geeigneter Hilfsmittel (wie Software), interpretieren Daten unter Verwendung von Kenngrößen, - reflektieren und bewerten Argumente, die auf einer Datenanalyse basieren, - beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen, - bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten. Bildungsstandards national Mittlerer Bildungsabschluss

Leitidee Zufall Einstufige Zufallsversuche Zufallsgeräte, Zufallsversuch, Ergebnisse, relative Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit, Ereignis, Summenregel, sicheres Ereignis, unmögliches Ereignis, Gegenereignis Zufallsgeräte

Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Bei vielen Zufallsversuchen (Ziehen einer Kugel aus einem Behälter, Werfen eines Würfels, …) lassen sich die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ergebnisse durch - die Annahme gleicher Chancen (bedingt z. B. durch die Symmetrie der Zufallsgeräte) für die möglichen Ergebnisse bestimmen. Wie groß ist aber die Wahrscheinlichkeit mit dem Reißnagel „Seite“ zu werfen? Hier müssen Sie ein Experiment durchführen.

relative Häufigkeit "Bauchlage" Leitidee Zufall – Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Relative Häufigkeit ... Anzahl „Bauchlage“ / Anzahl der Würfe Anzahl der Würfe 5 10 15 20 25 30 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Anzahl "Bauchlage" 2 6 18 21 53 65 75 87 110 125 relative Häufigkeit "Bauchlage" 0,4 0,6 0,67 0,75 0,72 0,7 0,625 0,66 0,65 0,621 0,611

Anzahl der günstigen Fälle / Anzahl der möglichen Fälle Leitidee Zufall – Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Das Experiment mit dem Reißnagel legt für die Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses folgende Definition nahe: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses = relative Häufigkeit des Ergebnisses (n gegen unendlich) ------------------------------------------------------------------------------------------------ Die Definition Anzahl der günstigen Fälle / Anzahl der möglichen Fälle führt mit der Annahme der Gleichwahrscheinlichkeiten zum gleichen Ergebnis.

Ergebnisse und Ereignisse Beispiel Leitidee Zufall Ergebnisse und Ereignisse Beispiel Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine gerade Zahl zu ziehen? Wir betrachten mehrere Ergebnisse. Mehrere Ergebnisse bilden ein Ereignis. 1 2 3 4 5 1 2 1 6 3 1 2

Ergebnisse und Ereignisse Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „gerade Zahl“? günstige F/ mögliche F = Leitidee Zufall Ergebnisse und Ereignisse 5/12 Wahrscheinlichkeiten für Ergebnis 2: Ergebnis 4: Ergebnis 6: 1 2 3 4 3/12 1/12 5 1 2 1 1/12 6 3 1 2 Summenregel Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die das Ereignis bilden.

Leitidee Zufall Ergebnis: Ausgang eines Zufallsversuchs Ein Ereignis setzt sich aus mehreren Ergebnissen zusammen. Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet sich aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse. Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1. Das unmögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0 . Alle ungünstigen Ergebnisse bilden das Gegenereignis. Ist p die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, so ist die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses ist (1- p).

Leitidee Zufall Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: Die gewürfelte Zahl ist gerade ungerade eine Primzahl eine Quadratzahl kleiner als 5 größer als 2 und kleiner als 5 kleiner als 7 größer als 6 0,5 0,5 0,5 0,333… 0,666… 0,333… 1

Zweistufige Zufallsversuche Leitidee Zufall 2-mal Ziehen mit Zurücklegen Zweistufige Zufallsversuche Zweistufige Zufallsversuche, Baumdiagramm, Pfadregel Mögliche Ergebnisse: aa, an, na, nn 3/5 2/5 n a P(aa) = 3/5 * 3/5 = 9/25 P(an) = 3/5 * 2/5 = 6/25 P(na) = 2/5 * 3/5 = 6/25 P(nn) = 2/5 * 2/5 = 4/25 3/5 2/5 3/5 2/5 a a a n n a n n

Leitidee Zufall Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades im Baumdiagramm erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multipliziert.

Leitidee Zufall 2-mal Ziehen ohne Zurücklegen Mögliche Ergebnisse: aa, an, na, nn P(aa) = 3/5 * 1/2 = 3/10 P(an) = 3/5 * 1/2 = 3/10 P(na) = 2/5 * 3/4 = 3/10 P(nn) = 2/5 * 1/4 = 1/10 3/5 2/5 n a 1/2 1/2 3/4 1/4 a a a n n a n n

Die Todesstrafe in Zelophanien Leitidee Zufall Die Todesstrafe in Zelophanien Wer in Zelophanien zum Tode verurteilt wird, erhält eine letzte Chance. Mit verbundenen Augen darf er einen der drei Behälter wählen und aus diesem Behälter eine Kugel ziehen. Eine weiße Kugel rettet sein Leben. Wie groß sind die Überlebenschancen? P(L) = 1/3*5/6 + 1/3*2/3 + 1/3*1/2 = 2/3 = 67%

Leitidee Zufall Hölzchen ziehen

Leitidee Zufall Hölzchen Ziehen Lösung

Ergebnisse und Ereignisse Jemand bietet dir ein Würfelspiel an. Dazu sollen zwei Würfel gleichzeitig geworfen und die Augensumme gezählt werden. Du darfst dir vorher aussuchen, ob du mit der Augensumme 5, 6, 7, 8 oder mit allen anderen Augensummen gewinnen möchtest. Begründe deine Wahl.

1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6 2, 1 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, 6 3, 1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6 4, 1 4, 2 4, 3 4, 4 4, 5 4, 6 5, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5, 6 6, 1 6, 2 6, 3 6, 4 6, 5 6, 6

1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6 2, 1 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, 6 3, 1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6 4, 1 4, 2 4, 3 4, 4 4, 5 4, 6 5, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5, 6 6, 1 6, 2 6, 3 6, 4 6, 5 6, 6

Augensumme 2: 1,1 Augensumme 3 1,2 2,1 Augensumme 4 1,3 2,2 3,1 Augensumme 5 1,4 2,3 3,2 4,1 Augensumme 6 1,5 2,4 3,3 4,2 5,1 Augensumme 7 1,6 2,5 3,4 4,3 5,2 6,1 Augensumme 8 2,6 3,5 4,4 5,3 6,2 Augensumme 9 3,6 4,5 5,4 6,3 Augensumme 10 4,6 5,5 6,4 Augensumme 11 5,6 6,5 Augensumme 12 6,6

□ Alle angegebenen Möglichkeiten sind gleich wahrscheinlich Wenn du eine gewöhnliche Münze sechsmal hintereinander wirfst, welche der folgende Ausgänge wirst du am wahrscheinlichsten nicht beobachten? □ WZW ZWZ □ WWZ ZWW □ WWW WWW □ ZZW ZWZ □ Alle angegebenen Möglichkeiten sind gleich wahrscheinlich

□ beides ist gleich wahrscheinlich Wenn du eine gewöhnliche Münze sechsmal hintereinander wirfst und die Folge ZZZ ZZZ beobachtest, was würdest du dann beim nächsten Wurf erwarten? □ W □ Z □ beides ist gleich wahrscheinlich

Leitidee Zufall Aufgabe 1

Leitidee Zufall Aufgabe 1 Lösung

Leitidee Zufall Aufgabe 2

Leitidee Zufall Aufgabe 2 Lösung

Mit Zurücklegen P(r,w) + P(w,r) = 1/3*2/3 + 2/3*1/3 = 4/9 1/3 2/3 r w

Ohne Zurücklegen P(r,w) + P(w,r) = 1/3*8/11 + 2/3*4/11 = 16/33 1/3 2/3 3/11 8/11 4/11 7/11 r w r w P(r,w) + P(w,r) = 1/3*8/11 + 2/3*4/11 = 16/33

1; 1 2; 1 3; 1 4; 1 5; 1 6; 1 1; 3 2; 3 3; 3 4; 3 5; 3 6; 3 Jedes Ergebnis hat die Wahrscheinlichkeit 1/12. P(Produkt größer als 10): 1/4 P(Summe mindestens 4): 5/6

Leitidee Zufall Kombinatorik Wie viele verschiedene Wege führen über die drei Flüsse? Leitidee Zufall Kombinatorik Produktregel Mit ihr bestimmt man die Anzahl der (günstigen) Fälle a*b*c Eine Münze wird 6mal geworfen 1,0,1,0,0,0 1,1,0,0,0,0 … 26 = 64

Leitidee Zufall Kombinatorik Produktregel In einer Urne sind 5 Kugeln mit den Nummern 1 bis 5. Drei Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Wie viele Ergebnisse gibt es? 5*4*3 = 60 Produktregel der Kombinatorik Besteht ein Zufallsexperiment aus r Stufen und haben die einzelnen Stufen n1, n2,... nr Ausgänge, so hat der Gesamtversuche n1*n2*...*nr mögliche Ausgänge.

Leitidee Zufall Kombinatorik Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit Produktregel TOTO Wie viele Möglichkeiten gibt es bei der 13er Wette? 313 = 1 594 323 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit 12 Richtige zu haben? 13*2 / 1 594 323 = 0,000 016 3

Leitidee Zufall Kombinatorik 1- 0,747 = 0,253 Produktregel Das Geburtstagsproblem Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 15 Personen mindestens 2 am gleichen Tag Geburtstag haben? 365*364*363*…*351/36515 = 0,747 1- 0,747 = 0,253

Leitidee Zufall Kombinatorik Produktregel Bilder sammeln Eine Schokoladencremefirma hatte aus Werbezwecken in jeden Glasdeckel ein Sammelbild eines berühmten Popstars gepackt. Die Serie bestand aus 30 verschiedenen Bildern. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach dem Kauf von 5 Gläsern mindestens ein Bild doppelt auftritt? 30*29*28*27*26/305 = 0,704 1 – 0,704 = 29,6%

Leitidee Zufall Kombinatorik Produktregel, Fakultät In einer Schale befinden sich vier verschiedenfarbige Kugeln. Sie werden zu einer Kette aufgezogen. Wie viele Möglichkeiten gibt es? (Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen) 4*3*2*1 = 4! = 24

Leitidee Zufall Kombinatorik Produktregel, Fakultät Wie viele verschiedene Zahlen lassen sich aus den Ziffern 1, 2, 4, 6, 8 bilden? 5! = 5*4*3*2*1 = 120 Werden n Objekte der Reihe nach angeordnet, so hat man n*(n-1)*(n-2)*...*2*1 Möglichkeiten dies zu tun. Es gibt n! Permutationen.

Leitidee Zufall Kombinatorik Aufgabe 8 Produktregel, Fakultät, Permutationen Aufgabe 8

Leitidee Zufall Kombinatorik Aufgabe 8 Lösung Produktregel, Fakultät, Permutationen Aufgabe 8 Lösung

Leitidee Zufall Kombinatorik Aufgabe 9 Produktregel, Fakultät, Permutationen Aufgabe 9

Leitidee Zufall Kombinatorik Aufgabe 9 Lösung Produktregel, Fakultät, Permutationen Aufgabe 9 Lösung