Mathematische Ansätze Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren Mathematische Ansätze

Mathematische Ansätze Stoffunabhängige Gleichungen Materialgesetze Kompatibilität 15 Unbekannte: x y z xy xz yz x y z xy xz yz u v w Mathematische Ansätze

Mathematische Ansätze stoffunabhängige Gleichgewichtsgleichungen 6 kinematische Gleichgewichtsgleichungen 6 Materialgleichungen Mathematische Ansätze

Gleichgewichtsgleichungen Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen F a b Virtueller Schnitt Mathematische Ansätze

Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen F Normalspannungen =dFn/dA dFn dA dFt dF Spannungsvektor der resultierenden Schnittgrößen Sv=dF/dA Tangentialspannungen =dFt/dA Mathematische Ansätze

Stoffunabhängige Gleichungen z Gleichgewichts- gleichungen zy zx yx yz xy xz y x Mathematische Ansätze

Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen: x/x + yx/y + zx/z + X = 0   y/y + xy/x + zy/z + Y = 0 z/z + yz/y + xz/x + Z = 0 Mathematische Ansätze

Mathematische Ansätze Eliminiert man aus den 15 Gleichungen alle Spannungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Verschiebungen: G [u + (1-2) –1 (/x)] +X = 0 G [v + (1-2) –1 (/y)] +Y = 0 G [w + (1-2) –1 (/z)] +Z = 0 (Navier) Mathematische Ansätze

Mathematische Ansätze In den Navier Gleichungen sind: u = 2u/x2+ 2u/y2 + 2u/z2 v = 2v/x2+ 2v/y2 + 2v/z2 w = 2w/x2+ 2w/y2 + 2w/z2 (Laplace) Mathematische Ansätze

Mathematische Ansätze Eliminiert man aus den 15 Gleichungen die Verschiebungen und deren Ableitungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Spannungen:  x+(1+)–1(2/x2)+2X/x+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0  y+(1+)–1(2/y2)+2Y/y+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0  z+(1+)–1(2/z2)+2Z/z+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0 (Beltrami) Mathematische Ansätze

Mathematische Ansätze  xy+(1+)–1 (2/xy) + X/y + Y/x = 0  xz+(1+)–1 (2/xz) + X/z + Z/x = 0  yz+(1+)–1 (2/yz) + Y/z + Z/y = 0 (Beltrami) Mathematische Ansätze

Mathematische Ansätze In den Beltrami-Gleichungen sind:  x= 2x/x2+ 2x/y2 + 2x/z2  y= 2y/x2+2y/y2 + 2y/z2  z = 2z/x2+ 2z/y2 +2z/z2 Die Lösung der DGL (Navier + Beltrami) gelingt nur in seltenen Fällen bei einfacher Geometrie und einfacher Belastung Mathematische Ansätze

Stoffunabhängige Gleichungen Spannungstensor Bechleunigungsvektor Mathematische Ansätze

Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen: Sx= xex + yxey+ xzez   Sy= yxex + yey + yzez Sz= zxex + zyez + zez Tensordarstellung: x xy xz   S = yx y yz zx zy z S Spannungstensor Mathematische Ansätze

Mathematische Ansätze 15 Unbekannte: x y z xy xz yz x y z xy xz yz u v w 3 Stoffunabhängige Gleichungen 6 Materialgleichungen 6 Kompatibilitätsgleichungen Mathematische Ansätze

Mathematische Ansätze Kompatibilitäts- bedingung: Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen Die Verschiebungsvektoren und deren Komponenten sind stetige Funktionen Mathematische Ansätze

Mathematische Ansätze Kompatibilitäts- bedingung: Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen u=u(x,y,z,t)=ux(x,y,z,t)ex+uy(x,y,z,t)ey+uz(x,y,z,t)ez Mathematische Ansätze

Mathematische Ansätze B1 D u(x+dx,y,dy,z) u(x+dx,y,z) u(x,y+dy,z) u(x,y,z) C B ux(x+dx,y,z)=ux(x,y,z)+(ux(x,y,z)/ x)dx Mathematische Ansätze

Kinematisches Gleichgewicht x = u/x u v w y = v/y z = w/z xy = v/x + u/y xz = w/x + u/z yz = w/x + v/z Mathematische Ansätze

Mathematische Ansätze iklm= 0 Kompatibilitäts- bedingung: Riemann Tensor 4. Stufe Mathematische Ansätze

Mathematische Ansätze σ Stoffgesetze: 1-starres Material 2-linear-elastisch 3-nichtlinear-elast. 4-linear-elastisch-ideal- plastisch 5-starr-plastisch 6-viskoses Material: Kriechen 7-viskoses Material: Relaxieren 5 4 3 2 1 6 7 ε Mathematische Ansätze

Mathematische Ansätze Stoffgesetze: Verzerrungstensor Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungstensor Spannungsgeschwindigkeit Mathematische Ansätze

Mathematische Ansätze Elastisches Materialverhalten Stoffe ohne Gedächtnis Verzerrungstensor Spannungstensor Mathematische Ansätze

Mathematische Ansätze plastisches Materialverhalten Stoffe mit permanentem Gedächtnis Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungsgeschwindigkeit Mathematische Ansätze

Mathematische Ansätze viskoses Materialverhalten Stoffe mit schwindendem Gedächtnis Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungstensor Mathematische Ansätze

Mathematische Ansätze 3. Schwingkopf 1. Kopf für Zellsuspension 2. Hülse 4. Sockel M6 5. Zylinderschraube 6. Beschleunigungssensor Mathematische Ansätze

Mathematische Ansätze 3. Schwingkopf • Gesamtansicht Mathematische Ansätze

Mathematische Ansätze 3. Schwingkopf • FEM - Simulation Mathematische Ansätze

Mathematische Ansätze 3. Schwingkopf • FEM - Analyse Mathematische Ansätze

Mathematische Ansätze Näherungsverfahren: Diskretisieren des Zellen und der Zellstrukturen des Materialverhaltens der Belastungsfunktionen der Zeit, direkte Zeitintegration Mathematische Ansätze