Grenzen endlicher Automaten Theoretische Grundlagen der Informatik Prof. Dr. Michael Löwe

Grenzen endlicher Automaten Inhalt Rekursion in endlichen Automaten Anwendung: Nachweis der Unlösbarkeit Normierte Endliche Automaten Normierung der Alphabete Normierung der Zustände Universelle Funktion für endliche Automaten Grenzen endlicher Automaten

Rekursion in endlichen Automaten e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, ......en Eingabe T n > |Z| Zn = Zn-x z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 F n-x <= |Z| a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ......an Ausgabe Grenzen endlicher Automaten

Rekursion in endlichen Automaten Eingabe: w = w1 w2 w3 |w| > |Z|, |w1 w2| <= |Z| Ausgabe: v = v1 v2 v3 z0 z zR Eingabe: w‘ = w1 w2 w2 w3 Ausgabe: v‘ = v1 v2 v2 v3 z0 z zR Grenzen endlicher Automaten

Lemma 17 (Rekursion in Endlichen Maschinen): Sei M = (E, A, Z, T, F, z0, R) eine Endliche Maschine und fM: E*  A* die berechnete Funktion. Dann kann man eine natürliche Zahl n angeben mit folgenden Eigenschaften: (1) Alle Eingabeworte w, die länger sind als n (i. e. |w| n) und für die fM definiert ist, i.e. fM(w) = v, lassen sich so in drei Teile w1w2w3 zerlegen, dass (i) w2  , (ii) |w1w2|  n und (iii) fM auch für w1(w2)i w3 definiert ist für alle i  0. (2) Analog zur Zerlegung von w existiert eine Zerlegung von v in drei Teile, i. e. v = v1v2v3, so dass fM(w1(w2)iw3) = v1(v2)iv3. Grenzen endlicher Automaten

Anwendung: Unlösbarkeit Die Funktion q: {a}*{b}*::= q(a...(k-mal)...a) = b...(j-mal)...b, wobei j Anzahl der Quadratzahlen bis k ist, lässt sich nicht mit einem endlichen Automaten berechnen. Sei n fest und w = a.....(n - mal).....a, dann gilt für jede Zerlegung w = w1w2w3: w1 = ax, w2 = ay und w3 = az. Es muss gelten q(w) = v = v1v2v3: v1 = bp, v2 = bn und v3 = bm Daraus folgt: q(x + (i  y) + z) = p + (i  n) + m für alle i 0. Was natürlich nicht stimmt!!! Warum??? (x + 1)2 – x2 = x2 + 2x + 1 – x2 = 2x + 1 Grenzen endlicher Automaten

Normierung endlicher Automaten 1. Schritt: Standardalphabet B = {0, 1, |} für Ein- und Ausgabe Kodierung der Zeichen : E  B* und : A  B*: {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}{0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011} Kodierung der Ein- und Ausgabe: *: E* B* und *: A* B*: abbce  0001|0010|0010|0011|0110| Normierung der Funktionen T und F: z1 z2 <e 10 , a 3 a 1 > Konstruktion 20 z1, 1 z1, 10 z1, 101 z1, 1010 <1, e <0, <|, 11|01|01|> Grenzen endlicher Automaten

Normierung endlicher Automaten 2. Schritt: Standardnamen (Digitalzahlen) für die Zustände {Initial, 1, 2, 3, 4, 5, Abbruch}  {1, 10, 11, 100, 101, 110, 111} Standardnummer 1 für den Anfangszustand: z0 = 1 3. Schritt: Kodierung eines Automaten im Standardalphabet {0, 1, |} M = (E = {a, b, c}, A = {d, e}, Z = {y, z}, z0 = y, T, F) Kombinierter Übergang: T  F: E  Z  Z  A* a y z d d e Kodierung  eines Übergangs: T  F(a, y) = (z, dde)  01|1|10|01|01|10|| Kodierung der gesamten Funktion: (TF(a,y))(TF(a,z))(TF(b,y))(TF(b,z))(TF(c,y))(TF(c,z))||| Grenzen endlicher Automaten

Grenzen endlicher Automaten Universelle Funktion Die universelle Funktion für Endliche Maschinen U: B*  B* ist definiert durch: (1) U(w) = *fM(v), falls die Eingabe aus der Kodierung einer Endlichen Maschine und der Kodierung einer Eingabe für diese Maschine besteht, i. e. w = M *v; (2) U undefiniert sonst Grenzen endlicher Automaten

Grenzen endlicher Automaten Der Algorithmus Lese die Eingabe bis zur Sequenz “|||||”; wenn es die Sequenz nicht gibt, halte nicht mehr. Rekonstruiere daraus die Funktionstabelle FT für T und F Wenn das nicht klappt, halte nicht mehr. Setze den aktuellen Zustand z = “1”; setze den Ausgabestrom a = “” Solange die Eingabe nicht leer ist Lies das erste Eingabezeichen in Variable e ein Suche in FT den Eintrag toDo für Spalte1 = e und Spalte2 = z Wenn kein Eintrag vorhanden, dann halte nicht mehr. z = toDo(Spalte3) und a = a & toDo(Spalte4) wenn z kein Ruhezustand, dann halte nicht mehr. Grenzen endlicher Automaten

Das theoretische Ergebnis Die universelle Funktion für Endliche Maschinen kann nicht durch eine Endliche Maschine berechnet werden. Warum nicht??? Grenzen endlicher Automaten