Fehlerkorrektur-Codes Lange Nacht der Wissenschaften 14. Juni 2003 Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mathematik Prof. Dr. R.-P. Holzapfel M. Petkova

Das Ziel des Projektes Mit dem Projekt soll das Prinzip der Fehlerkorrektur Code leichtverständlich vorgestellt werden. Mit dem Projekt soll das Prinzip der Fehlerkorrektur Code leichtverständlich vorgestellt werden. Wie kann man eine Nachricht kodieren? Wie kann man eine Nachricht kodieren? Wie kann man bei der Übertragung aufgetretene Fehler beseitigen? Wie kann man bei der Übertragung aufgetretene Fehler beseitigen? Wo werden Fehlerkorrektur Codes angewendet? Wo werden Fehlerkorrektur Codes angewendet?

sondern auch im Alltag Nicht nur für militärische Zwecke,

Codes und Chiffren Altgriechenland: Skytale 500 v.Chr. Altgriechenland: Skytale 500 v.Chr. Cäsar Cäsar Enigma 1918 Enigma 1918 Public – Key Verfahren (z.B. RSA) 1978 Public – Key Verfahren (z.B. RSA) 1978

Zufällige Störungen Übertragungskanal Datenkompression (Quellkodierung) z.B. Zuordnung Buchstaben Zahlen Klartext Nachricht Absender Kodierte Nachricht (Kanalkodierung) Empfangene Nachricht Dekodierung Dekodierung der Quellkodierung z.B. Zuordnung Zahlen Buchstaben Klartext Nachricht Empfänger Das Prinzip der Kodierung Nachrichten werden im allgemeinen als elektronisches Signal übertragen, deswegen muss der Klartext erst in die entsprechende, von den Geräten bearbeitbare Form umgewandelt werden.

Ziel der Verschlüsselung Informationsübertragung: Authentizitätsgarantie (Digitale Signaturen, RSA) Authentizitätsgarantie (Digitale Signaturen, RSA) Fehlerkorrektur (Goppa – Codes) Fehlerkorrektur (Goppa – Codes)

Fehlerkorrigierende Codes Richard Hamming, Bell Telephone Laboratories 1940s Richard Hamming, Bell Telephone Laboratories 1940s Fehlerkorrektur durch Einfügung von Redundanz Fehlerkorrektur durch Einfügung von Redundanz Richard Hamming JOC/EFR August 2001 The URL of this page is: © Copyright information

Konstruktion von Fehlerkorrigierenden Codes Große Dimension und d min entsprechend der Codewortlänge Große Dimension und d min entsprechend der Codewortlänge Effektiver Fehlerkorrekturalgorithmus Effektiver Fehlerkorrekturalgorithmus

Code C/F q ist ein Unterraum von F q n G: F q m F q n u Gu G invertierbare lineare Transformation, ordnet jeder Nachricht ein Code – Wort zu C/F q ist ein Unterraum von F q n G: F q m F q n u Gu G invertierbare lineare Transformation, ordnet jeder Nachricht ein Code – Wort zu Parameter: n Länge der Code – Wörter k Dimension des Codes wt(c) = #{ c i / c = (c 1,…,c n ), c i <>0 } d min = min{d / d(c i, c j ) = wt(c i – c j )} Parameter: n Länge der Code – Wörter k Dimension des Codes wt(c) = #{ c i / c = (c 1,…,c n ), c i <>0 } d min = min{d / d(c i, c j ) = wt(c i – c j )}

Beispiele für algebraische Codes Reed – Solomon Codes CD – Brenncodes (durch Auswertung von Polynomen) Reed – Solomon Codes CD – Brenncodes (durch Auswertung von Polynomen) Goppa – Codes, 1980 großer Fehlerkorrekturpotenzial (Auswertung von algebraischen Funktionen) Goppa – Codes, 1980 großer Fehlerkorrekturpotenzial (Auswertung von algebraischen Funktionen)

Goppa – Codes Codes auf glatten Kurven C/F q Codes auf glatten Kurven C/F q Über endlichem Körper F q Über endlichem Körper F q Gute Fehlerkorrektureigenschaften (Skorobogatov-Vladut/ Duursman) Gute Fehlerkorrektureigenschaften (Skorobogatov-Vladut/ Duursman)

Kontruktion von Goppa – Codes C/F q glatte Kurve Dualer (Funktional) Code {P 1,…,P n } rationale Punkte Divisor B = j P j Divisor D D(P j ) = 0 d j = (P j ) fa. L(D) C L (B,D) = {d 1,…,d s } Dualer (Funktional) Code {P 1,…,P n } rationale Punkte Divisor B = j P j Divisor D D(P j ) = 0 d j = (P j ) fa. L(D) C L (B,D) = {d 1,…,d s } Primärer (Residue) Code {P 1,…,P n } rationale Punkte Divisor B = j P j Divisor D D(P j ) = 0 j d j (P j ) = 0 fa. L(D) C (B,D) = {d 1,…,d s } Primärer (Residue) Code {P 1,…,P n } rationale Punkte Divisor B = j P j Divisor D D(P j ) = 0 j d j (P j ) = 0 fa. L(D) C (B,D) = {d 1,…,d s }

Parameter C L (B,D) n = deg(B) m = l(D) – l(D – B) d min => n – deg(D) C L (B,D) n = deg(B) m = l(D) – l(D – B) d min => n – deg(D) C (B,D) n = deg(B) m = n – deg(D) + g – 1 + l(D – B) d min => deg(D) – (2g – 2) C (B,D) n = deg(B) m = n – deg(D) + g – 1 + l(D – B) d min => deg(D) – (2g – 2)

Aufgabe und Prinzip der Fehlerkorrektur f = c + e Aufgabe: Aus den Merkmalen des fehlerhaft übertragenen Wortes f, unter der Voraussetzung, dass höchstens t Fehler vorkommen, den Wert des Fehler – Wortes e zu berechnen Aufgabe: Aus den Merkmalen des fehlerhaft übertragenen Wortes f, unter der Voraussetzung, dass höchstens t Fehler vorkommen, den Wert des Fehler – Wortes e zu berechnen Prinzip: 1. Finde welche e i 0 2. Rechne den genaueren Wert von e i aus Prinzip: 1. Finde welche e i 0 2. Rechne den genaueren Wert von e i aus

Anwendung VLF Kommunikationssysteme: - der Empfänger kann die Information nicht gleich empfangen und dekodieren - große Übertragungsdistanzen VLF Kommunikationssysteme: - der Empfänger kann die Information nicht gleich empfangen und dekodieren - große Übertragungsdistanzen Ionosphärische Kommunikationssysteme - bei Flugzeugen und Schiffen Ionosphärische Kommunikationssysteme - bei Flugzeugen und Schiffen

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