Wahrscheinlichkeits-rechnung Eine Einführung nach der Historie

Der große Plan Der anrüchige Start Laplace-Wahrscheinlichkeiten 6 aus 49 Das Geburtstagsproblem Bedingte Wahrscheinlichkeiten Kolmogoroffs Befreiungsschlag Was ist Zufall? Würfeln und Zufall Wir stoppen nach spätestens 90 Minuten, wir werden weiter über das Thema reden

Worüber Sie nichts erfahren Gausssche Normalverteilung Dichtefunktion

Der Start: Würfeln Würfeln mit einem „fairen“ Würfel Problem A: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln? Problem B: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine 6 oder eine 1 zu würfeln? Problem C: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keine 6 zu würfeln?

Einige Bezeichnungen Zufallsexperiment: Würfeln Ergebnismenge M: {1,2,3,4,5,6} Zufälliges Ereignis: A = {6} B = {6,1} Wahrscheinlichkeit: P(A) =1/6 P(B) =2/6

Noch einige Bezeichnungen Gegenereignis zu A: Anzahl der Elemente einer Menge X: |X|, z.B. |A| = 1 |B|= 2

Pierre Simon Laplace 1749 – 1827 Physiker und Mathematiker Mechanik, Kosmologie 1812: Théorie analytique des probabilités

Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Voraussetzungen: „Faire Würfel“ Man kann schmerzfrei dividieren, also M ist endlich Sie hatten bis jetzt sicher keine Probleme!

Eine wichtige Eigenschaft P({keine 6}) = 1 – P({eine 6}) = 5/6 Allgemein:

Eine neue Aufgabe Zweimal würfeln, natürlich fair. A = {mindestens eine 6} P(A) = 2/6?

Lösung M = {(1,1), (1,2), ….., (6,5), (6,6)} |M| = 36 A = {(1,6), (2,6), …, (6,6), (6,5), … , (6,1)}, also: |A| = 11 und damit: P(A) = 11/36 < 2/6 Kennen Sie eine andere richtige Lösungsmethode?

Eine Alternative

Laplace-Wahrscheinlichkeiten Einfaches Konzept Strikte Voraussetzungen Probleme: Wie ermittelt man |M|? Wie ermittelt man |A|? Da fängt der Ärger an, damit fing es an!

Antoine de Gomband, Chevalier de Méré Ein Zocker, weit besser als sein Ruf Kein Bild verfügbar Er hatte ein Problem (Wette 1, Wette 2) Damit wandte er sich an Pascal, dieser konsultierte Fermat, beide lösten das Problem Dies wurde zur Geburtsstunde der WR.

Pascal 1623 – 1662 Theologe, Philosoph, Mathematiker, Physiker Einer der Riesen, auf dessen Schultern wir stehen

Pierre de Fermat 1601 – 1665 First Class Mathematiker, ein Superstar Zahlentheorie, ohne ihn gäbe es keine asymmetrischen Verfahren in der Kryptologie Der große Fermat: Ende der 80ger Jahre bewiesen

Wette 1 De Méré: Viermal würfeln. A = {mindestens eine 6} Darauf setze ich. Und dies tat er mit Erfolg!

Wette 1: Die Lösung |M| = 6·6·6·6 = 64 A ist kompliziert. Besser:

Wette 2 De Méré: 24-mal würfeln mit zwei Würfeln B = {mindestens eine Doppelsechs} Darauf setze ich. Und dabei verlor er!

De Mérés Argument Würfeln mit einem Würfel: C = {eine Sechs}, P(C) = 1/6 Würfeln mit 2 Würfeln D = {Doppelsechs}, P(D) =1/36 P(D) = 1/6∙P(C). Bei C genügen vier Würfe zum Gewinnen, bei D genügen dann 6∙4 = 24 Würfe.

Wette 2: Die Lösung |M| = 3624 B ist kompliziert. Besser:

Eine Verallgemeinerung Zweimal Würfeln. Wie oft muss man mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit p =0,69 mindestens eine Doppelsechs zu erhalten?

Lösung

P(An) Frage: Warum die vielen Fehleinschätzungen? n P 19 0,38 20 0,41 21 0,44 22 0,48 23 0,51 24 0,54 25 0,57 26 0,60 27 0,63 Frage: Warum die vielen Fehleinschätzungen?

P(An) allgemein

P(An) De Méré war nahe am Gewinnpunkt n P(An) 20 0,431 21 0,447 22 0,462 23 0,477 24 0,491 25 0,506 26 0,519 27 0,533 28 0,546 De Méré war nahe am Gewinnpunkt

Historische Note: Samuel Pepys 1633 – 1705 Berühmter Tagebuch- schreiber Wandte sich 1693 mit de Mérés Problem an Newton War mit der richtigen Antwort unzufrieden

Eine Frage am Ende des Würfelns: Nichtunterscheidbare Würfel Zweimal würfeln. Unterscheidbare Würfel: |M| = 6·6 = 36 P(Doppelsechs) = 1/36 Nicht unterscheidbar: |M| = 21 P(Doppelsechs) = 1/21

Das Problem: Gibt es nicht unter- scheidbare Würfel? Und wie entscheidet man, welche Annahme richtig ist?

Das Geburtstagsparadoxon Ein erstaunliches Ergebnis. Vereinfachende Annahmen: Es gibt keine Schaltjahre. Jeder Tag hat als Geburtstag die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Ein einfaches Problem Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, dass jemand am 1. Januar Geburtstag hat? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit q, dass jemand nicht am 1. Januar

Lösung p = 1/365 = 0,0027 Im zweiten Fall: q = 364/365 = 1-p = 0,9973

Eine Verallgemeinerung Gegeben sind n Personen. An = {mindestens einer hat am 1. Januar Geburtstag} Gesucht: P(An)

Lösung Es ist günstig, das Gegenereignis zu betrachten: Ān = {keiner hat am 1.1. Geburtstag} |M| = 365n, |Ān| = 364n Man erhält: P(An) =1-P(Ān) = 1-(364/365)n

Frage: Ab welcher Personenzahl würden Sie darauf wetten, dass mindestens eine Person am 1.1. Geburtstag hat?

P(An)

Geburtstagsproblem 5 Personen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben?

Lösung Es ist günstig, das Gegenereignis zu betrachten: Ā = {keine zwei haben am gleichen Tag Geburtstag} |M| = 3655 | Ā | = 365∙364 ∙363 ∙362∙361 Man erhält: P(A) =1-P(Ā) = 0,027

Das allgemeine Problem: n Personen An ={mindestens zwei haben am gleichen Tag Geburtstag} Wie groß muss n sein, damit P(An) > ½?

Berechnung von P(An)

P(An)

Geburtstagsparadox in der Kryptologie Wichtig bei Man in the Middle- Angriffen, wichtig für die Länge von Hashfunktionen bei digitaler Signatur

Eine Prosavariante des Paradoxons Lincoln-Kennedy- Misterium Erstaunliche Parallelen im Leben Verschwörung? Erklärung: In jeder genügend großen Personengruppe gibt es überraschende Übereinstimmungen Hinweis: Ockhams Messer

Ockham 1280-1349 Prinzip der einfachsten Erklärung Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem (Eine spätere Formulierung)

Ziehung der Lottozahlen A = {mindestens 4 Richtige} B = {1. gezogene Zahl ist falsch} P(A) ≈ 0,001

Lotto: A = {mindestens 4 Richtige} B = {1. gezogene Zahl ist falsch} P(A) ≈ 0,001 P(A|B) = Wahrscheinlichkeit für A, wenn B eingetreten ist. „Bedingte Wahrscheinlichkeit“

Lotto: A = {mindestens 4 Richtige} B = {1. gezogene Zahl ist falsch} P(A) ≈ 0,001 P(A|B)≈0,0004 P(A|nicht B) ≈0,005 „Bedingte Wahrscheinlichkeit“

Bedingte Wahrscheinlichkeiten P(A|B) = Wahrscheinlichkeit für A, wenn B eingetreten ist. Berechnung:

Eine Aufgabe: Zwei Urnen: U1 und U2. U1: 6 rote Kugeln, 6 blaue Kugeln Eine Urne wird zufällig ausgewählt: P(U1) =1/3, P(U2) = 2/3 Aus der gewählten Urne wird eine Kugel entnommen. P(blau) = ?

Lösung

Eine Baumdarstellung:

Die berühmte Umkehrung Thomas Bayes 1702 – 1761 1764 Essay towards solving a problem in the doctrine of chances

P(A|B) = ?

Satz von Bayes

Peter Gauweiler Kantiger Politiker, empfahl Anfang in den achtziger Jahren einen flächendeckenden Aidstest

Eine Anwendung A = positiv B = Test sagt positiv P(A) =0,0001 P(B|A)=0,999 P(B|Ā)=0,01 P(A|B) =?

Überrascht?

Die Grenzen der Laplace-Methode: Voraussetzungen: „Fairness“ |M| < ∞

Kolmogoroffs neue Sicht Andrey N. Kolmogoroff 1903 – 1987 1933: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeits- rechnung

Axiome für Wahrscheinlichkeiten Gegeben ist ein Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge M. E sei die Menge aller zufälligen Ereignisse. Eine Wahrscheinlichkeit P ist eine Abbildung P: E→R mit:

Axiome:

Bedeutung: Beginn der modernen Wahrscheinlichkeits- rechnung modernen Statistik Einige Protagonisten: Richard von Mises, Paul Lévy, Boris Gnedenko, William Feller,

Neue Probleme: Mathematisch: Was sind zufällige Ereignisse? Oder welche Mengen sind messbar? Stochastische Prozesse (zeitliche Zufallsabläufe)?

Neue Probleme: K‘s Axiome sagen, wie man mit Wahrscheinlichkeiten rechnet, wenn man sie hat. Sie sagen nicht, wie man sie bestimmt.

Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten: Die a-priori-Methode Die statistische Methode Die Methode der subjektiven Wahr- scheinlichkeiten

Viele offene Fragen Grundsätzlich: Was ist Zufall? Grundsätzlich: Was macht Würfeln zufällig? Psychologisch: Woher die vielen Fehleinschätzungen, die Paradoxa? Und: Warum ist die Glockenkurve so wichtig?

Haben Sie noch Fragen?

Es gibt noch viel zu berichten: Wie ist es beim Lotto? (Kombinatorik) Wie erzeugt man Zufallszahlen? Und was hat es mit dem Ziegenproblem auf sich?

Literaturtipps Von Randow: Das Ziegenproblem rororo 2004 7,90 € Monk u.a.: Gewinnen mit Wahrscheinlichkeit rororo 2002 Vergriffen Basieux: Die Welt als Roulette rororo 1995 8,50 € Büchter/Henn Elementare Stochastik Springer 2005 24,95 € Szekely: Paradoxa Harri Deutsch 2001 24,80 €

Wenn Sie mehr wissen wollen www.wickipedia.de: Da werden Sie geholfen. Geschichte der Mathematik: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/

Weiter im September: Mit Kombinatorik Für die Lange Nacht suchen wir Mitstreiter

Zum Ende eine CD-Rom Mit den Tholeyer Vorträgen Mit nützlichen Programmen