Simulation komplexer technischer Anlagen Teil II: Elemente zum Bau virtueller Anlagenkomponenten Kapitel 9: Algorithmen 3: Gewöhnliche Differentialgleichungen Inhalt • Gewöhnliche Differentialgleichungen • Euler-Verfahren • Runge-Kutta-Verfahren • Adams-Verfahren • Gear-Verfahren • Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen in a £ t £ b Zu lösen sei mit y(a) = yo Typischerweise hat bei solchen Problemen die unabhängige Variable die Bedeutung der Zeit. yo ist dann ein Anfangswert. Von den Problemen, die im Rahmen dieser Vorlesung behandelt werden, fordern wir: a) Sie müssen eine eindeutige Lösung y(t) haben. b) Die Lösung darf nur vom Anfangswert abhängen. c) Sie darf sich nur wenig ändern, wenn yo oder f wenig (z.B. durch Rundungsfehler) geändert werden. Ein System der Ordnung m ist durch m-Gleichungen definiert. Diskretisiert man dieses System, so erhält man ein System von Gleichungen, das man vorteilhaft mit Hilfe von Matrizen und Vektoren beschreibt.

Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen Integriert man so erhält man Das Intervall tn bis tn+1 heißt Zeitschritt n+1 für einen Zeitschritt gilt: Daraus ergeben sich folgende Möglichkeiten, yn+1 zu bestimmen: 1. Integration der rechten Seite nach dem Newton-Verfahren  Euler- und Runge-Verfahren. 2. Entwicklung der rechten Seite nach Lagrange-Funktionen und anschließende Integration  Adams-Verfahren. 3. Näherung der Ableitung (linke Seite) durch eine Approximation der Ordnung n  Gear-Verfahren. Die Verfahren werden in den folgenden Abschnitten kurz erläutert.

Euler-Verfahren Der Integrand wird durch einen konstanten Wert genähert. Dazu gibt es drei Möglichkeiten: a) f (y,t) = f (yn,tn) b) f (y,t) = f (yn+1, tn+1) c) f (y,t) = f (yn+, tn+ ) mit 0  q  1 Die rechte Seite wird damit Daraus folgen 3 Bestimmungsgleichungen für a) explizites Verfahren: yn+1 = yn + h • f (yn, tn) b) implizites Verfahren: yn+1 = yn + h f (yn+1, tn+1) (entspricht Iterationsvorschrift) c) modifiziertes Euler-Verfahren: yn+1 = yn + h f (yn+q , tn+q) Setzt man q = 0, 5, so folgt Prediktorschritt Korrektorschritt yn+1 = yn + h f (yn+1/2, t n+1/2) Euler-Verfahren entsprechen der Differenzennäherung

Die Wärmeleitgleichung als Beispiel Die Wärmeleitgleichung ist eigentlich eine partielle Differentialgleichung. Sie lautet Diskretisiert man zunächst den x-Raum, so erhält man x  xi, T  Ti und oder am Ortspunkt i Das ist eine gewöhnliche Differentialgleichung, allerdings aus einem System von Differentialgleichungen für alle diskreten Punkte des Ortsraumes. Zur Lösung des Problems benötigen wir Die Länge des Stabes Die Zahl der Punkte i Werte für T am linken und rechten Rand Einen Wert von  Die Dauer der Simulation Die Zahl der Zeitschritte Die Temperaturverteilung zum Zeitpunkt 0. Die Diskretisierung ist konsistent, wenn Orts- und Zeitableitung am gleichen Raum-Zeit-Punkt erfolgen.

Die Wärmeleitgleichung in diskreter Form Explizites Verfahren Implizites Verfahren Gemischtes Verfahren (Zwischenschrittverfahren) Fehlerfortpflanzung beim expliziten Verfahren Für cond g = verringert sich Fehler wegen folgt, daß a beschränkt ist, Dt und Dx hängen also voneinander ab.

Runge-Kutta-Verfahren Verwendet man zur Integration der rechten Seite Verfahren höherer Ordnung, so erhält man die Klasse der Runge-Kutta-Verfahren zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. a) Integration mit Trapez-Regel Verfahren von Heun Lösung iterativ mit Startwert b) Iteration mit Simpson-Regel Die Simpson-Regel verwendet die Punkte tn,tn+1/2 und t n+1 zur Integration, f (y,t) muß also an diesen Punkten genähert werden. Dies leistet gerade das Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 4. Die Zwischenwerte werden wie folgt genähert: Für f (y,t) = f (t) degeneriert das Verfahren zur Simpson-Formel.

Beispiel zum Runge-Kutta-Verfahren Gegeben sei das Anfangswertproblem: = y2 y (0) = -  0  t  0,3 h = 0,1 Und für den Schritt n+1 folgt:

Adams-Verfahren

Baskford-Adams-Verfahren Man unterscheidet zwei Fälle: a) j = 1 Verfahren nach Adams-Baskford Bestimmung von yn+1: Integration zwischen tn und tn+1 Entwicklung von f bis zur Stelle tn Aus Entwicklung bis tn wird Verlauf extrapoliert - Prediktor-Schritt. Für die Integrale n; gilt

Adams-Moulton-Verfahren b) j = 0 Verfahren nach Adams-Moulton Bestimmung von yn+1 Integration zwischen tn und tn+1 Entwicklung von f bis zur Stelle tn+1 (ersetze n durch n+1 in allgemeiner Formel) Entwicklung verwendet schon Endwert - Korrektor-Schritt oder implizit. Lösungen nur iterativ. Für die Integrale von bni gilt

Gear-Verfahren - 1

Gear-Verfahren - 2

Stabilität

Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen Ein System der Ordnung m wird durch m Gleichungen definiert Diskretisiert man dieses System, so kann man für jede Gleichung eine der beschriebenen Methoden verwenden. Die Auswahl muß nach physikalischen Gesichtspunkten geschehen. Haben die Gleichung verschiedene Zeitkonstanten, wird das Gleichungssystem "steif". Dann breiten sich Fehler stark aus (implizite Lösugnen). Hat man Nichtlinearitäten zu betrachten, so müssen Newton- oder Newton-Raphson-Methoden zur Lösung verwendet werden.

Lösung von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen Die zugehörige Jakobi- oder Hesse-Matrix erhält man durch Ableitung der Ausgangsgleichung. Sie hat folgende Elemente:

Aufbau eines Programms zur Lösung von Differentialgleichungen Die numerische Lösung von Differentialgleichungen kann - zumindest für einfache Probleme - schnell und übersichtlich programmiert werden. Im Folgenden ist ein typisches Flußdiagramm gezeigt. Lösung des Gleichungssystems Berechnung der rechten Seiten Neue Matrizen Nicht linear ja nein (bei Quellrechnung, Endzeitpunkt, Endgenauigkeit) Eingabe und ihre Verarbietung Geometrie, Materialdaten, Randbedingungen, Anfangswerte Ausgabe Nein linear Erzeugung des Gleichungssystems Ende Zeitfortschaltung, Eigenwertiteration, Nichtlinearität