Solitäre Wellen & Solitonen Als Quelle…. Im Gegensatz …. Haben Gleichungen gegeben… Gerne nachrechnen… Damit Zusammenhänge klar herausgearbeitet werden können

Solitäre Wellen & Solitonen Einführung (Entdeckung der Solitonen) Korteweg – de – Vries – Gleichung Fermi – Pasta – Ulam – Problem Arbeiten von Zabusky & Kruskal Die Sine – Gordon – Gleichung Grundprinzipien für lineare Wellen (Ausbreitung) Elementare Ideen zur Ausbreitung nichtlinearer Wellen John Russell merken Erste Gleichung die dieses Verhalten beschreibt Zusammenhang zwischen NL-Sys. Zabusky-Kruskal Faktor 0.022 NL-Schröd. Auch ähnlich zur KDV Sine-gordon… Zusammenfassung was wir darüber wissen Vergleich dazu was es zu den NL-Wellen gibt… Gleichung ohne Solitonen-Verhalten Zusammenhang zu Qm BSP: Stein in Wasser Badewanne Wellenberg wird flacher und breiter

Die Entdeckung der Solitonen Ich beobachtete die Bewegung eines Bootes, das von einem Pferdegespann ziemlich rasch einen engen Kanal entlang gezogen wurde, als das Boot plötzlich anhielt nicht jedoch die Wassermasse im Kanal , die das Boot in Bewegung gesetzt hatte; sie sammelte sich rund um den Schiffsbug in einem Zustand wilder Erregung, ließ das Schiff dann plötzlich hinter sich , rollte mit hoher Geschwindigkeit vorwärts, nahm dabei die Form einer großen einzelnen Erhöhung an, ein abgerundeter , glatter, wohldefinierter Haufen Wasser, der entlang dem Kanal anscheinend ohne Formveränderung oder Geschwindigkeitsabnahme seinen Lauf nahm. Ich begleitete diese Welle auf meinem Pferd und überholte sie , während sie sich immer noch mit einer Geschwindigkeit von etwa acht oder neun Meilen pro Stunde bewegte, wobei sie ihre ursprüngliche Gestalt von etwa 30 Fuß Länge und ein bis eineinhalb Fuß Höhe beibehielt. Die Höhe nahm allmählich ab, und nachdem ich das ganze für etwa ein oder zwei Meilen beobachtet hatte, verlor ich es in den Windungen des Kanals aus dem Auge.

Die Entdeckung der Solitonen Was passiert einer gewöhnlichen Welle in einem sehr tiefen Kanal ??? Funktionenreihe nach Fourier: Beliebige Welle in viele Sinus-Wellen zerlegen Verschiedene Frequenzen haben verschiedene Geschwindigkeiten Verschiedene Frequenzen Verschiedene Geschwindigkeiten

Die Entdeckung der Solitonen Dispersion = Auseinanderlaufen von Wellen verschiedener Frequenzen Russell‘s Welle Keine Dispersion Warum ? Nichtlineare Kopplung Warum zeigt Russell-Welle keine Dispersion??? Kann man ja auch zerlegen in verschiedene Frequenzen… Erklärung:….. NL koppeln die individuellen Sinus-Wellen aneinander. Diese NL wurden am Boden wirksam Erzeugen Gegenteil von Turbulenzen Bsp:…. Marathonlauf

Die Entdeckung der Solitonen Russell‘s Experimente Russell versucht sich mit Experimenten das Verhalten zu erklären… Im Garten… Erläuterung der Experimente Zusammenhang Amplitude und Geschwindigkeit Geschwindigkeit Amplitude Translationswellen

Die Entdeckung der Solitonen

Die Entdeckung der Solitonen Scheinbar einzelne Welle teilt sich auf langsam schnell Einholen einer Welle durch andere Beobachter der erst später zuschaut Animation Zeigt Überlagerung Man erkennt NL- Übergang / keine Superposition!!!!! ? Gedächtnis ? Alles beim Alten außer Kleine Phasenverschiebung

Die Entdeckung der Solitonen Gebrochene Welle

Korteweg-de-Vries-Gleichung 10 Jahre nach Russell‘s Tod – 2 Holländer folgende Formel hergeleitet: D.J.Korteweg Erste Gleichung die dieses Verhalten beschreibt… Herleitung aus Grundprinzipien schwer… Umskalierung auf Form ….. Suchen eine Translationsinvariante Lösung Umskalierung Suchen Translationsinvariante Lösung

Korteweg-de-Vries-Gleichung Translationsinvariante Lösung der Form: mit: Forderung: Die Forderung sagt nur dass…. Lösung ist…. Nachrechnen wer will…. Lösung:

Fermi-Pasta-Ulam-Problem Verknüpfung von: Nichtlinearem Problem mit KDV-Gleichung !!! Hauptsächlich linear. +. Störung Ohne Störung… Energie jedem Mode…konstant Erwartet … NL- …Gleichverteilung Ergebnisse von FPU waren andere Mit Russell-Solitary-Wave Zusammenhang Bedeutung der FPU-Problem ….Arbeiten angeregt Orginal Arbeit… numerische Rechnung Kleine Zusammenfassung über Zusammenhang von NL-Problem mit KDV-Gleichung Bsp: Betrachte: N-1 N N+1 Nur Ww. unter Nachbarn Bewegungsgleichung:

Fermi-Pasta-Ulam-Problem Bsp‘s:   …sind so gewählt, dass die max. Auslenkung von Q herrvorgerufen durch die Nichtlinearitäten sehr klein sein soll !! FPU haben dieses Problem untersucht für Ww. der Form…

Fermi-Pasta-Ulam-Problem Numerisch Integrieren Anfangsdaten eines Sinus Ziel: In die KDV-Gleichung umschreiben Qn in eine kontinuierliche Form bringen mit: Mac-Laurin-Erweiterung Wenn integrieren + Anfangsdaten eines Sinus folgendes Ergebnis:… Energie verteilt sich nicht gleichmäßig auf alle Moden Energiedichte der Nachbarmoden hat zeitl. Period.Verhalten… Wollen Gleichung 1.3.1 in die Kdv-Gleichung für den Konti-Fall umschreiben Q in Konti-Form bringen… Führen Konti- Variable ein… Bewegungsgleichung:

Fermi-Pasta-Ulam-Problem Betrachte: f….als Mac-Laurin-Reihe: Die Wahl von f wie in (1) führt nun zu: Müssen nun Substituieren…. R hängt davon ab, ob kubisch oder quadratisch…. Mit R=1 erhält man Konsistenz nur wenn ….. Welle kann sich nach links und rechts ausbreiten…. Boussinesq…. mit: Boussinesq-Gleichung!!!

Fermi-Pasta-Ulam-Problem Lösung der Boussinesq-Gln.ist (für endlose Kette): Ziel: Wollen die Boussinesq-Gln. auf die KDV-Gln. reduzieren!!! Skalierung: für…x,t,u, + neuen Parameter einführen Entwickeln: u in … Konsistenz nur wenn:

Fermi-Pasta-Ulam-Problem Die KDV-Gleichung erhält man wenn man die Gln. für u(1) integriert: Für kubisch-nichtlineare Ketten mit f(Q) wie in (2) erhält man: Müssen r = 0 wählen: Konsistenz nur wenn: Integration führt dann auf: Modifizierte KDV-Gleichung

Zabusky & Kruskal Def: ……..“Solitäre Welle“ Welle die sich ohne Änderung der Form fortpflanzt und ein lokales Profil besitzt Soliton: ….Taucht erstmals auf in den Arbeiten von Z & K Bisher: Solitäre Welle … Wellen die sich fortpflanzen ohne ihre Form zu verändern….lokalisiertes Profil!!!!! Nach obiger Def…gibt es viele Gleichungen mit Solit.Well.Lösg… Soliton….erstmals in Arbeiten von Zab und Krusk Z und K haben umfangreiche numerische Rechnungen durchgeführt…. Folgendes beobachtet:…. Anfänglich wurde Welle steiler wo Steigung negativ …. Weil…die Nl dominiert über 3-ten-Ableitungsterm wegen Kleinem Rho Wenn Welle immer steiler,dann Ableitungsterm immer wichtigerund balanciert irgendann die Nl- aus… Auf steiler Seite Schwingungen bis fast Soitäre Welle Bemerkenswerte Eingeschaft ihrer Wellen: beim durchdringen keine Änderung… Wegen dieses Verhalten …..Soliton…. Bisher gedacht, das wegen Nl. Die welle zerbrechen muß Wichtige Ergebniss….Energie kann ohne Dispersion fortpflanzen…. Keine alleinige Eigenschaft der KdV-Gleichung…. Allerdings …viele Glns mit Solitör-lsg haben kein Soliton-lsg…. Die Wellenform keine Bedeutung bei def von Soliton…. Einige Glns …sw-lsg nahe an Soliton-lsg aber es kommt zu Schwingungen… KDV-Gleichung: ….Multiplizierten den 3-ten Ableitungsterm mit Faktor: 0,022 & Periodische Randbedingungen: Ergebnis: ….Welle mit stabiler Amplitude & fast identisches Profil wie“ Solitäre . Welle!“ Viel wichtiger als die Form ist die Teilcheneigenschaft !!!

Zabusky & Kruskal KDV-Soliton…. (sech)2 - Form MKDV-Soliton…. Ziel: …. Wollen Modell studieren für den Stoß zweier Solitonen … müssen die KDV – Gln. erstmal in eine homogene Gln. transformieren. …Ausgangspunkt ist die KDV – Gleichung in der Form: Das kdv-Soliton hat sech-quadrat-lsg…. Das Mdkv-Soliton hat sech –lsg… Kapitel 3,4 über spezielle Eigenschaften solcher Mathematischer Gln‘s Werden nun Zusammenstoß untersuchen…. Bekommnen sogenannte Cole-Hopf- Gleichung Folgt eine in f homogene Gleichung: Cole – Hopf - Transformation

Zabusky & Kruskal Ziel: … Wollen diese Gleichung lösen Suchen eine Lösung der Form: Wollen lösen… Single SW ist gegeben als …deshalb diesen Ansatz Setzen diesen Ansatz ein und erhalten ….Tafel…. In erster Ordnung einfach zu lösen… ist eine exakte lsg… Einsetzen in zweiten Teil….

Zabusky & Kruskal Weil lineare Gln.: …soviele Exponentialfkt. einfügen wie man will Wählen nur zwei Stück : Exakte Lösung von f(1) einsetzen in rechte Seite obiger Gln.

Zabusky & Kruskal Integration gibt: ??? Endlos ???: Setzen Lsg. von f(1) und f(2) in die rechte Seite ein: Für alle folgenden Iterationen gilt: Absolut notwendig damit wir eine exakte Lsg. erhalten !!! …Bricht ab in dritter ordnung Erhalten letztenendes als Lösungen…. Gleiche Vorgehensweise auch bei drei-parameter Soliton Hirota ausgerechnt für n solitonen Wir erhalten somit als exakte Lsg. :

Die Sine – Gordon – Gleichung Klein – Gordon – Gleichung: Herleitung aus der Lagrangedichte: Skyrme (1958): „Nichtlineare Feldtheorie“ Ausgangspkt. Ist die …. Kann man aus der Lagrangedichte herleiten…. Skyrme …..die für 1-dim fall übergeht in eine nl-Erweiterung der Lag-dichte.. Ersetzen… Die lsg…nennt man kink… Haben zwei soliton-lsg gefunden… Suchen nach stabilen Wellenlösungen: ( Mit Lorentzinvarianz )

Die Sine – Gordon - Gleichung Kink Kollision zweier Kinks 1875 zeigte Bäcklund den Aufbau einer Lösungshierarchie Bäcklund - Transformation

Die Sine – Gordon - Gleichung

Die Sine – Gordon - Gleichung Ziel: Suchen die Bäcklundtransformierte für die Sine – Gordon - Gleichung Betrachte: Allgemeine nichtlineare Klein – Gordon – Gleichung: In den Koordinaten: Annahme: Beide Lösungen sind unabhängig: Sine-gordon älter als die kdv… Von besonderem Interesse Arbeiten von Bäcklund… Zeige wie man die Bäcklund-transf….für die sine-gordon-gln findetl… Betrachten… Wollen uns vorstellen,das es möglich ist…. Betrachte: Gleichungspaar: Mit den Variablen:

Die Sine – Gordon - Gleichung Bisher: Form von „F,g und f“ nicht spezifiziert Obige Form soll dazu dienen die Ableiungsterme für  und t in zwei Gleichungen zu entkoppeln. Ableiten obiger Gleichung führt zu: Linearkombination: Wenn  und ‘unabhängige Lösungen sind, finden wir: Noch keine spez…. Ableiten führt auf…. Die gleichungen haben ähnliche Struktur zu….aber noch nicht als lsg benutzen… Bilden eine linearkombination… Konstante…. Ableiten:

Die Sine – Gordon - Gleichung  Muß eine Konstante sein !!! Betrag von  ist nicht so wichtig wie sein Vorzeichen: Mit: Die funktionen g und f erfüllen die Gleichungen… Nehmen lambda gleich eins…. Mit…. In die Orginal-Gleichung…. Haben also die zwei lösungen in Beziehung gesetzt… L =-1 führt zu sinus hyperbolikus L= 0 …….Klein – Gordon - gleichung folgt: Sine – Gordon = NLKG + Bäcklundtransformation

Die Sine – Gordon - Gleichung Sei eine Lsg. gegeben: 2-parametrige Familie von verwandten Lsg. Einfachste Lösung: Einsetzen + Integration: Entspricht der Single – Kink – Lösung ! Dank … können wir bei gegebenen … ein 2-paramt…lsg angeben… Setzen … ein erhalten zwei sehr einfache p.d.e. … welche man noch integrieren muß ….erhält… Nun eine weitere lsg. Konstruieren…. Starten mit …. Konstruieren gleichen Typ… Einziger Unterschied… Dritte lösung erhlält man wenn…kommutiert… Weitere Lösungen durch geometrische Konstruktion: 0 a2 a1 Kommutativ !!! 1 2 a2 a1 3

Die Sine – Gordon - Gleichung Insgesamt erhält man also: Mit den Single-Kink-Lösungen: Und der Lösung:

Die Nichtlineare-SGLN  Entspricht einer komplexen Funktion Fortschreitende Wellenlösung: wenn Außerdem: Gemeinsame Eigenschaften mit: KDV MKDV Sine - Gordon Ziel: Wollen 2 – Solitonen – Lsg. berechnen mit Cole – Hopf -Type Def: Mit:

Die Nichtlineare - SGLN So dass: Einsetzen in …. Zeigt, dass die Terme mit höherer Ordnung als zwei verschwinden. 1- Parametrige Lösung ist.

Grundprinzipien für lineare Wellen Elementarste lineare Welle: Dispersionsrelation: Bsp: Klein – Gordon – Gleichung: Hat die Dispersionsrelation: Phasengeschwindigkeit: Gruppengeschwindigkeit:

Grundprinzipien für lineare Wellen Wenn (k) komplex: Harmonische Lösungen wachsen dann exponentiell und: Instabil für: Zerfallen exponentiell für: Schwierig wenn: …Hierbei ist L ein linearer Operator

Grundprinzipien für lineare Wellen Bsp. Wenn Folgt: Reine Dispersionsgleichung mit: Wenn  reell und positiv, dann ist die Gleichung dissipativ mit: Obige Gleichung ist ein brauchbares Beispiel für das Anfangswertproblem

Grundprinzipien für lineare Wellen Seien die Anfangswerte gegeben durch: Ziel ist die Bestimmung von: Anfangswerte gegeben durch Fourier Für ein allgemeines lineares Gln-Sys. ist  = (k) ,wie oben, erhält man ein Lsg. Für alle t >0 durch:

Grundprinzipien für lineare Wellen Wählen nun (x,t) wie folgt: Vertauschen die Integrationen: Mit: Müssen die beiden Integrale abschätzen I2 ist ungerade deshalb: I1 kann man wie folgt abschätzen:

Grundprinzipien für lineare Wellen Also: Ableiten nach a und integrieren gibt: Mit: Folgt: Als Ergebnis erhalten wir also:

Grundprinzipien für lineare Wellen Gaussfkt. für Anfangswerte: Ergebnis ist: Wenn  reell und positiv ist dann… für Wenn: dann oszilliert  Unterschied Dissipation und Dispersion

Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Lineare Version der KDV in der Form: Mit: Ist eine rein dispersive Gleichung ! Der uxxx-Term bringt dispersive Effekte in die dispersionslose Gleichung Betrachte nun: Problem: …Entwicklung der Anfangswerte Für die dispersionslose Gleichung:

Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Analogie: Hat als Lösung: Welche sich mit der Geschwindigkeit u0 ausbreitet. Mit gegebenen Anfangswerten: Lautet die komplette Lösung:

Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Umschreiben in: Nachprüfen: und gibt Welches für Lösungen von …gilt: Für die meisten Funktionen auch nicht einfacher! Aber:…

Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Die funktionale Gleichung ist dann: Dies wird gelöst von: u t = 0,0 t = 0,5  u t = 1,0 t = 1,5  Minimale Brechzeit:

Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Mehrwertigkeit interpretieren als Diskontinuität für t >Brechzeit: Galilei-Transformation führt auf: Ersetzen die Mehrwertigkeit durch Diskontinuität !!! u X Problem: Wo fügt man die Diskontinuität ein ???

Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Fläche unter den Anfangsdaten: Flächen unter dem Dreieck: Ähnliche Dreiecke: Man erhält:

Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Ergebnis: Ohne Dispersiven-Term tritt Mehrdeutigkeit nach endlicher Zeit auf !!! Durch Einführung von uxxx-Term wird Mehrdeutigkeit verhindert Durch den Zabusky-Term wird Mehrdeutigkeit auf alle Zeiten verhindert Dispersion wirkt der Tendenz der NL Diskontinuitäten zu bilden entgegen !!!

Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Einführung von Dissipation durch: Dies ergibt die Burger-Gleichung: Kann linearisiert werden durch Cole-Hopf-Transformation Man erhält: Mit: Folgt: Schließlich:

Ausbreitung Nichtlinearer Wellen KDV ist die einfachste dispersive Erweiterung von Burger ist die einfachste dissipative Erweiterung von Einfachste Lösung der Burger-Gleichung ist von Taylor u x

Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Nichtlinearität Soliton Dispersion Wechselwirkung

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