Vorlesung Regelungstechnik 2 Einführungsvorlesung 21. April 2004 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr. 40 66117 Saarbrücken Version 1.0 vom 15. August 2002 April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.1

Klausur-Nachbesprechnung Klausur Regelungstechnik Klausur Prozessanalyse Einsicht April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.2

Regelungstechnik 2 Inhalte Vorlesung Regelungstechnik 2 Digitale Regelung Beschreibung kontinuierlicher / digitaler Signale Grundfunktionen von digitalen Regelkreisen Elemente in digitalen Regelkreisen (DA-Wandler, AD-Wandler, Halteglieder) Gleichungen, Differenzengleichungen für digitaler Regelelemente P, I, D und Kombinationen hiervon PID-Regelalgorihtmen Einstellregeln für digitale Regelkreise z-Transformation und Beschreibung von digitalen Regelkreisen im Frequenzbereich Stabilität von digitalen Regelkreisen April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.3

Regelungstechnik 2 Inhalte Vorlesung Regelungstechnik 2 Zustandsregelung Einführung in die Zustands(-raum)-Beschreibung Mathematische Grundlagen (Matrizen und Rechenverfahren= Methoden zur Berechnung von Übertragungssystemen mit Zustands- variablen Lösungen derZustandsgleichung im Zeit- und Frequenzbereich Normalformen von Übertragungssystemen (Beobachternormalform, Regelungsnormalform) Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit von Übertragungssystemen Transformationen auf Regelungs- und Beobachtungsnormalform Regelung durch Zustandsrückführung April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.4

Einführung in digitale Regelungstechnik Kontinuierliche (analoge) Systeme Kennzeichen analoger Systeme beliebiger Werte- und Definitionsbereich Hohe Datenmenge bei Speicherung von analogen Signalen Darstellung von analogen Signalen in ausgedruckter Kurvenform (Linienschreiber) Erzeugung von analogen Signalen aus digitalen Signalen über DA-Wandlung möglich Digitale Systeme Kennzeichen digitaler Systeme begrenzter Werte- und Definitionsbereich Binäre Signale Wertebereich besteht aus 2 Werten Reduzierte Datenmenge bei Speicherung von digitalen Signalen Darstellung von digitalen Signalen in Tabellen oder Kurvenform Erzeugen von digitalen Signalen aus analogen Signalen über AD-Wandlung möglich April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.5

Wie kommt man von analogen zu digitalen Signalen? Digitalisierung erfolgt in Zwei Schritten: Abtastung Quantisierung Abtastung: Zu definierten Zeitpunkten äqui- distante Abstände) wird von s(t) ein Signalwert erfasst. Abtastzeit T Quantisierung: Kontinuierliche Signalwerte werden definierten Wertebereich zugeordnet. Reihenfolge der Schritte ist tauschbar! April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.6

Übergang von kontinuierlicher Regelung auf digitaler Regelung Regelung bedeutet Rückführung von Informationen (Istwert der Regel- größe wird auf Vergleicher mit Sollwert geführt). Bei kontinuierlicher Regelung wird ständig – permanent – dieser Vergleich durchgeführt. Zeitdiskrete Regelung beschränkt die Informationsinhalte der Sensor- signale und der gewünschten Einflussnahme durch das Stellsignale auf diskrete Zeitpunkte t = kT. Heutige Systeme arbeiten nicht nur in der Regelungstechnik digital. Hardwareregler Siemens SIPART DR 22 ist ein DDC-Regler. DDC steht für Direct Digital Control und zeigt damit an, dass der Regler intern mit digitalisierten Signalen arbeitet und für die Regelung analoger Größen genutzt wird. April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.7

DDC-Regler Siemens April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.8

Übergang vom zeitkontinuier-lichen zum zeitdiskreten Signal Kontinuierliches Signal wird über Abtaster und A/D-Wandler in ein zeitdiskretes digitalisiertens Signal gewandlet x(t) -> x(kT) April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.9

Übergang vom zeitdiskreten zum zeitkontinuierlichen Signal Zeitdiskretes Signal wird über Halteglied und D/A-Wandler in ein kontinuierliches Signal gewandelt y(kt) -> y(t) April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.10

Erzeugung digitalisierter Signale Güte der Abtastung ist von der Quantisierung des Wertebereiches Abhängig. Je höher die Auflösung gewählt wird, umso kleiner wird die Quantisierungsstufe (12 bis 16 bit) April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.11

Fehlerbetrachtung 12 bit Auflösung: 2^12 = 4096 Wertebereich von 0 bis 1000: Quantisierungsfehler q = 1000/4096 = 0,24414 Wertebereich {0, 0.24, 0.48, 0.72, 0.96, 1.2, 1.4, ......} 16 bit Auflösung: 2^16 = 65536 Quantisierungsfehler q = 1000/65536 = 0,01525 Wertebereich {0, 0.015, 0.03, 0.045, 0.06, 0.075, ....} Werte innerhalb dieser Werte sind nicht auflösbar. Informationsverlust vorhanden. Akzeptanz ist von der Aufgabenstellung abhängig. Quantisierungsfehler ist für uns vernachlässigbar. Der Fehlereinfluss kann durch die Bitanzahl für die Wahl der Auflösung beeinflusst werden. April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.12

Digitaler Regelkreis Im digitalen Regelkreis müssen analoge Größen digitalisiert werden. Die Regelstrecke wird meistens mit analog arbeitenden Stellgeräten beeinflusst. Hier ist entsprechend die Umwandlung der digitalen Größen in analoge Größen vorzunehmen. Digitaler Regler ermittelt nach einer Berechnungsvorschrift die Folge der Stellwerte y(kT) aus der Folge e(kT). April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.13

Digitaler Regelkreis Leistungsfähigkeit des digitalen Reglers: Regelalgorithmus Programm / Software Flexible Reglerauslegung mit hoher Leistungsfähigkeit Die Stellgröße ist aufgrund der D/A-Wandlung ein treppenförmig wirkendes Signal April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.14

Digitaler Regelkreis Linearitätsprinzip: Lineare Systeme bleiben auch unabhängig von der Abtastung weiter linear. So können die Rechenregeln der LTI-Systeme auch für digitalisierte Regelkreise greifen und angewendet werden. Behandlung digitaler Systeme wie kontinuierlich arbeitende Systeme Bei digital arbeitenden Regelkreisen werden alle Kenngrößen nur zu den Abtastzeitpunkten kT betrachtet. Damit ergeben sich alle analogen Größen zu reinen Zahlenfolgen y(k) = { 0, 1, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 3, .....} April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.15

Grundlagen der mathematische Behandlung digitaler Regelsysteme Bild 2.2.1 Unbehauen II, S.104 Euler-Verfahren: Approximation der Differential- quotienten April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.16

Grundlagen der mathematische Behandlung digitaler Regelsysteme System 1. Ordnung April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.17

Interpretation Differenzengleichung ist rekursiv lösbar aus der Eingangsfolge und den Anfangsbedingungen lösbar. Allgemeiner Fall der Differenzengleichung n-ter Ordnung: Beispiel: y(k+1) + 4y(k) = u(k) y(k+1) = u(k) – 4y(k) Folge u(k) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,.....} und y(0) = 10 April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.18

Interpretation Die Folge y(k) oder y(k+1) berechnet sich rekursiv. Für die Bestimmung Der aktuellen Werte für den Zeitpunkt k fließen die zurückliegenden Werte von y(k) der Ein- und Ausgangswerte mit ein. Die Größe n beschreibt die Ordnung der Differenzengleichung. Die Anfangswerte werden wie bei einer kontinuierlichen Dgl für k=0 berücksichtigt. Gewichtsfolge g(k) beschreibt die Systemantwort, wenn die Diracstoß- folge auf das System aufgegeben wird. d(k) = 1 für k=0, sonst 0 April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.19

Folgenbeschreibung y(k) y(m) = Σu(k)g(m-k) u(k) k=m y(k) u(k) g(k) G(s) y(m) = Σu(k)g(m-k) K=0 Die Eingangsfolge und Ausgangsfolge sind bekannt. Gesucht ist die Gewichtsfolge des Übertragungssystem! Rückschluß der gemessenen Folge y(k) und u(k) auf die Gewichtsfolge. Alternative Lösung durch Einführung und Anwendung der z- Transformation April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.20

Beispiel Differenzengleichung 1. Ordnung y(k+1) = ay(k) + u(k) k = 0,1,2,3,.... Für k=0: y(1) = ay(0) + u(0) y(0) muß bekannt sein. Anfangsbedingung, unabhängig von Eingangssequenz u(k) Für k=1: y(2) = ay(1) + u(1) = a2y(0) +au(0) +u(1) Für k=2: y(3) = a3y(0) +a2u(0) + au(1) + u(2) Allgemein: y(k) = aky(0) + Σu(j)ak-1-j Die Lösung besteht aus 2 Anteilen: aky(0) Anfangsbedingung / homogener Teil Σu(j)ak-1-j Erzwungener Anteil, abhängig von Eingangssequenz j=k-1 j=0 April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.21

Beispiel System 1. Ordnung Anregung mit u(k) = Δ(k) = 1 für k=0, sonst 0 y(k) = ak-1 für k>= 1 Gewichtsfolge für System 1. Ordnung Σu(j)ak-1-j Die Summe entspricht der zeitdiskreten Faltung von Eingangssequenz und Stoßantwort g(k) = ak-1. vgl. y(m) = Σu(k)g(m-k) j=k-1 j=0 k=m K=0 April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.22

Mathematische Betrachtung des Abtastvorgang April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.23

Digitaler Regelkreis Bild 2.2.3 Bild 2.2.4, S.108 April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.24

Basisalgorithmen für digitale Regelungen Proportionalalgorithmus Y(t) = KRe(t) Y(kT)= KR e(kT) April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.25

Basisalgorithmen für digitale Regelungen Integralalalgorithmus Die Integration kann verschieden durch diskrete Algorithmen appro- ximiert werden (Rechteck, Trapeznäherung) April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.26

Basisalgorithmen für digitale Regelungen April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.27

Basisalgorithmen für digitale Regelungen April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.28

Basisalgorithmen für digitale Regelungen Rekursive Algorithmen: April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.29

Literatur Regelungstechnik Literaturliste: Lutz, H.; Wendt, W.: Taschenbuch der Regelungstechnik, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt, 1998 ISBN 3-8171-1552-0 (Bibliothek HTW) Unbehauen, H.: Regelungstechnik II, Vieweg-Verlag, Braunschweig, 2001, ISBN 3-528-01332-X Schlüter Gerd.: Digitale Regelungstechnik interaktiv, Fachbuchverlag Leipzig, 2000, ISBN 3-446-21477-1 Merz, Jaschek: Regelungstechnik, Vorlesung Universität Saarbrücken April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.30