Die Poincaré-Vermutung und ihre Geschichte Thilo Kuessner 23.4.2008

Beispiele von Flächen Torus Brezel Doppelbrezel Sphäre

Karte einer Sphäre Stereographische Projektion : Sphäre ohne Nordpol  Ebene

Wie unterscheidet man Flächen? Euler-Charakteristik Fundamentalgruppe Hyperbolisches Volumen

Euler-Charakteristik E-K+F E= Anzahl der Ecken K= Anzahl der Kanten F= Anzahl der Flächen

Eulerscher Polyedersatz I E=12,K=30,F=20 E-K+F=2 E=8,K=12,F=6 E-K+F=2 E=20,K=30,F=12 E-K+F=2

Eulerscher Polyedersatz II E=60, K=150, F=92 E-K+F=2 Satz (Legendre, 1794): Jede Zerlegung der Sphäre in Polygone erfüllt E-K+F=2.

Euler-Charakteristik eines Torus E=160,K=320,F=160 E-K+F=0

Euler-Charakteristik von Flächen Satz (Lhuillier, 1817): Für jede Zerlegung einer kompakten, orientierbaren Fläche mit g Henkeln gilt: E-K+F = 2-2g.

Fundamentalgruppe Geschlossene Kurven

Stetige Deformation von Kurven F ist einfach zusammenhängend < === > Jede geschlossene Kurve läßt sich stetig in einen Punkt deformieren.

Einfacher Zusammenhang I Die Sphäre ist einfach zusammenhängend.

Einfacher Zusammenhang II Der Torus und die Brezel sind nicht einfach zusammenhängend.

Einfacher Zusammenhang III Satz (Poincaré, 1896): Eine kompakte Fläche ist genau dann einfach zusammenhängend, wenn sie homöomorph zur Sphäre ist.

Krümmung und Flächeninhalt Geometrie von Flächen Krümmung und Flächeninhalt

Krümmung von Flächen Eine Fläche sei in lokalen Koordinaten als Graph einer Funktion h(u,v) gegeben. Dann ist die Krümmung definiert als:

Krümmung Hyperboloid: K=-1 Zylinder: K=0 Sphäre: K=1

Krümmung und Winkelsumme K>0 : Innenwinkelsumme > 180 Grad K<0: Innenwinkelsumme < 180 Grad

Modellräume Modell für K=1: Einheitssphäre Modell für K=0: Euklidische Ebene Modell für K=-1: Hyperbolische Ebene

Flächen konstanter Krümmung Hyperbolische Ebene : K=-1

Geometrisierung von Flächen Satz (Riemann, 1851): Jede kompakte, orientierbare Fläche trägt Metriken konstanter Krümmung: - die Sphäre mit K=1, - der Torus mit K=0, - Flächen höheren Geschlechts mit K=-1.

Torus mit K=0

Fläche mit drei Henkeln : K = -1

Hyperbolischer Flächeninhalt Auf einer Fläche mit g Henkeln hat jede hyperbolische Metrik den Flächeninhalt -2pi (E-K+F) also -2pi mal die Euler-Charakteristik.

Konstruktion von 3-Mannigfaltigkeiten

Poincaré-Vermutung Die Whitehead-Mannigfaltigkeit ist das Komplement des Durchschnitts der ineinander geschachtelten verknoteten Tori. W ist einfach-zusammenhängend und nicht-kompakt, aber nicht homöomorph zum euklidischen Raum.

Allgemeine 3-Mannigfaltigkeiten Zusammenhängende Summe: A#B:= A-D U B-D

Zerlegungen von 3-Mannigfaltigkeiten

Ricci-Fluß - Singularitäten Gebiete mit höherer (positiver) Krümmung bilden während des Ricci-Flußes einen „neckpinch“, d.h. einen immer dünner und länger werdenden Hals.

Weeks (2004): „Observational data suggest the observable universe either is flat or has a small curvature that is more likely positive than negative.“ Messungen der Masse-Energie-Dichte: 1.02 x Dichte eines flachen Universums Meßgenauigkeit: 0.02 x Dichte eines flachen Universums