Diese Fragen sollten Sie morgen beantworten können Was ist das Ziel der Vorlesung - Rechner zur Unterstützung der Berechnung technischer Vorgänge Was ist ein Modell - Abstraktion Was sind die mathematischen Grundbeziehungen technischer Modelle - Erhaltungsgleichungen in integraler und differenzieller Form Drei Auswirkungen der Endlichkeit von Rechnern Rundung, Diskretisierung, Abbruch Was bedeuten Kondition, Konsistenz und Konvergenz Rundungsfehler, Diskretisierungsfehler, Abbruchfehler beherrscht Wie diskretisieren wir Funktionen Was ist ein iteratives Verfahren Nullstellensuche nach Newton

Interpolation mit Lagrangefunktionen heißen Lagrange-Polynome. Es gilt analog der linearen und der quadratischen Interplation für i  j, für i = j Ihre allgemeine Form lautet

Numerische Integration 1. Unterteile Integrationsgebiet a, b in Teilgebiete ai, bi 2. Nähere Funktion in Teilgebiete durch bekannte Funktionen 2.1 Lagrange 2.2 Gauß 3. Integriere Näherungslösung unter Verwendung der Vorschriften von Newton - Cotes oder Gauss

Numerisches Differenzieren Strategie zur Bestimmung von Ableitungen diskretisierter Funktionen. 1. Stelle Tailor-Reihen-Entwicklung bis zur n-ten Ableitung auf. 2. Ist n größer 1, so müssen n-1 Ableitungen niederer Ordnung eliminiert werden. Dazu sind n-1 weitere Tailor-Entwicklungen an der selben Stelle xi aufzustellen (z.B. yi-1, yi+2, yi-2, ...). 3. Eliminiert man die Ableitungen niederer Ordnung, so erhält man Das erste vernachlässigte Glied Allgemein gilt: Zur Approximation eines Differentialquotienten der Ordnung n sind mindestens Funktionswerte an n+1 Maschenpunkten nötig. Der Abbruchfehler ist von der Ordnung xn+1 und der Diskretisierungsfehler hat die Ordnung x

Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen Integriert man so erhält man Das Intervall tn bis tn+1 heißt Zeitschritt n+1 für einen Zeitschritt gilt:

Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen Möglichkeiten yn+1 zu bestimmen: 1. Integration der rechten Seite nach dem Newton-Verfahren  Euler- und Runge-Verfahren. 2. Entwicklung der rechten Seite nach Lagrange-Funktionen und anschließende Integration  Adams-Verfahren. 3. Näherung der Ableitung (linke Seite) durch eine Approximation der Ordnung n  Gear-Verfahren ( Spezialfall n = 1 Differenzenverfahren ) Wir haben kennengelernt: Euler, Runge Kutta und Differenzenverfahren

Kondition als Beispiel einer Kennzahl Die Kondition einer Matrix ist ein weiteres Maß für ihre Rechneranpassung. Konditionszahlen können - ähnlich den Normen - verschieden gebildet werden. Gebräuchlich ist das Verhältnis von Normen oder von größtem zu kleinstem Eigenwert.

Lösung von linearen Gleichungssystemen - Grundlagen Zu Lösen ist ein Gleichungssystem: A x = b dabei sind A eine n*n Matrix, x der Vektor der Unbekannten und b der Vektor der rechten Seite. Lösung ist wo die Inverse von A ist Bei den Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen unterscheiden wir zunächst zwischen direkten und iterativen Verfahren. Direkte Verfahren lassen sich in der Regel in zwei Schritte unterteilen. Im ersten erfolgt eine Transformation der Systemmatrix derart, dass die neue Matrix leicht invertierbar wird. Leicht invertierbare Matrizen sind etwa Diagonalmatrizen oder Dreiecksmatrizen. Im zweiten Schritt erfolgt die eigentliche Inversion. Bei iterativen Verfahren wird die Systemmatrix aufgespalten in einen Teil, der leicht invertierbar ist und einen Rest, der im Gleichungssystem der rechten Seite zugeschlagen wird. Die rechte Seite kann daher nur näherungsweise bestimmt werden. Die Näherung ist in den verschiedenen Iterationsschritten zu verbessern. In diesem Kapitel werden direkte Verfahren vorgestellt.

Leicht invertierbare Matrizen Leicht invertierbare Matrizen sind a) Diagonalmatrizen, b) tridiagonale Matrizen, c) blockdiagonale Matrizen, d) Dreiecksmatrizen. Im Skript werden Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen, deren Systemmatrix eine dieser Formen hat, angegeben.

Iterative Lösung von Gleichungssystemen Die Matrix wird aufgespalten in einen Anteil , der leicht invertierbar ist, und einen Rest mit dem iteriert wird: Dann gilt mit Die zugehörige Iterationsvorschrift lautet heißt Iterationsmatrix, ist der Startvektor. Beispiele: Jacobi M = D; N = L + U Gauss-Seidel M = D - L; N = U

Gauß-Seidel Iteration und SOR b) Gauß-Seidel Schon bekannte Werte xi werden berücksichtigt: c) SOR - Iteration (Successive Overrelaxation) Der Wert (xi)k+1 wird verbessert unter Berücksichtigung der Konvergenzeigenschaften des Verfahrens. Wo der unter dem Gauß-Seidel-Verfahren berechnete Wert ist.

V 12: Numerik im Internet Teil V: Lösungen Kap. 12: Numerik im Internet Inhalt: Adressen Rechte beim Verwenden und Publizieren Pflichten beim Verwenden und Publizieren Übung Suchen nach numerischen Bibliotheken zum Pendelproblem, zum Heun - Verfahren und zu Matlab

Das sollten Sie heute lernen Wie findet man weitere Informationen im Internet Wie geht man fair damit um Alles was Sie sonst noch über Numerik wissen wollen

Adressen Die hier aufgelisteten Adressen geben einen momentanen Stand wieder. Da das Netz sich dynamisch weiterentwickelt ist davon auszugehen, dass Adressen nicht mehr zur Verfügung stehen oder veraltete Informationen enthalten. Es ist wichtig eigenständig suchen zu können und sich eigene Sammlungen anzulegen.

Gesichtspunkte, die im Rahmen einer Nutzungsrechtseinholung zu beachten sind Für die Einholung von Nutzungsrechten sind verschiedene Punkte zu beachten. So ist es von großer Bedeutung, daß sich derjenige, der die Nutzungsrechte einholt von Anfang an im klaren darüber ist, welchen Umfang die Verwertung des von ihm erstellten Projektes haben soll. Es ist deshalb wichtig, daß die beabsichtigten Nutzungsarten “einzeln bezeichnet” werden und nicht pauschale Formulierungen verwendet werden. In der Praxis wird deshalb große Aufmerksamkeit und eine genaue Definition der beabsichtigten Nutzung gelegt. Hierbei werden teilweise umfassende Kataloge der einzuräumenden Rechte aufgestellt. Grund für diese sogenannte “Spezifizierungslast” des Rechteerwerbers ist die Tatsache, daß § 31 Abs. 5 UrhG den sogenannten “Zweckübertragungsgrundsatz” statuiert. Hierbei handelt es sich im Kern um eine Auslegungsregel. Diese besagt, daß im Zweifel davon auszugehen ist, daß der Urheber nur Rechte in dem Umfang überträgt, der für die Erreichung des Vertragszwecks erforderlich ist. Dies führt in der Praxis dazu, daß das Urheberrecht immer dann beim Urheber bleibt, wenn nicht entweder genau beschrieben ist, welche Nutzungsmöglichkeiten übergehen sollen oder durch eine Auslegung des Zwecks des Vertrages nicht (eindeutig) möglich ist, den Umfang der Nutzungsrechtsübertragung festzulegen

Gesichtspunkte, die im Rahmen einer Nutzungsrechtseinholung zu beachten sind Aufgrund der Unsicherheiten, die eine Auslegung des Vertragszweckes im Streitfall mit sich bringt ist deshalb dringend zu raten, so detailliert wie möglich zu beschreiben, welche Nutzungsrechte eingeräumt werden sollen. Eine solche Beschreibung des Nutzungsrechts kann sich an der räumlichen, zeitlichen, persönlichen oder inhaltlichen Ausgestaltung orientieren. Weiterhin ist wichtig, daß zu erstellende Werk so genau wie möglich beschrieben wird. Wird das zu erstellende Werk nämlich nicht näher oder nur der Gattung nach bestimmt, so bedarf eine Nutzungsrechtseinräumung gemäß § 40 UrhG der Schriftform gemäß § 126 BGB. Das bedeutet, daß der Austausch von Briefen für die Nutzungsrechtseinräumung nicht ausreicht. Vielmehr müssen beide Parteien auf der gleichen Urkunde unterschrieben haben. Auch eine Versendung durch e-mail reicht in diesem Fall, mangels Unterschrift nicht aus. Im weiteren ist es nicht ratsam aus taktischen Gründen anfänglich nur ein beschränktes Nutzungsrecht zu verlangen um dann im nachhinein dieses Nutzungsrecht auszuweiten. So ist es erfahrungsgemäß schwierig das Nutzungsrecht nachträglich beispielsweise für eine kommerzielle Nutzung zu erhalten, wenn diese vorher nicht ausdrücklich in den Vertrag mit aufgenommen wurde. Vor allem bei der Überlassung von Nutzungsrechten an Hochschulen ist darauf hinzuwirken, daß, sofern eine kommerzielle Nutzung geplant ist, diese auch ausdrücklich in die Nutzungsrechtsüberlassung aufgenommen wird. Bei Fehlen einer solchen Nennung wäre sonst, durch Anwendung des Zweckübertragungsgrundsatzes, bei Universitäten davon auszugehen, daß keine kommerzielle Nutzung beabsichtigt ist. Die Universität oder öffentliche Einrichtung würde deshalb derartige Nutzungsrechte nicht erwerben.

Rechte und Pflichten bei Softwareentwicklung Das Urheberrechtsgesetz gewährt automatisch Schutz für Computerprogramme in jeder Gestalt, einschließlich des Entwurfmaterials, wobei jedoch die zugrundeliegende Ideen und Algorithmen nicht geschützt sind. Nur mit Zustimmung des Rechtsinhabers dürfen Computerprogramme kopiert, bearbeitet und vertrieben werden. Da Urheberrechte in der Regel nicht registriert werden, empfiehlt es sich, den Anspruch auf Urheberschaft im Programm, z.B. während der Startprozedur, kenntlich zu machen. Entsteht ein Computerprogramm im Rahmen eines Arbeits- oder Dienstverhältnisses, so liegen die Nutzungsrechte beim Arbeitgeber. Diese Bestimmung gilt im Unterschied zu Erfindungen auch für Hochschullehrer. Wieso gibt es Patentschriften, in denen Software geschützt wird, obwohl das Patentgesetz dies ausschließt? Nicht jede Schrift, die das Patentamt herausgibt, stellt tatsächlich ein erteiltes Patent dar. In fast allen Staaten werden die eingereichten Patentanmeldungen nach 18 Monaten offengelegt und zählen dann zum Stand der Technik. Diese Offenlegungsschrift enthält aber nur die unkommentierte Anmeldung in der Fassung des Anmelders. In Deutschland können darüber hinaus Programme dann patentiert werden, wenn der damit gesteuerte Computer unmittelbar, d. h. ohne die Zwischenschaltung von Verstandeskräften, in eine technische Umgebung eingreift. Diese notwendige Voraussetzung ist in jedem Einzelfall zu prüfen. Ein Beispiel für eine in Deutschland patentierte Software ist das Antiblockiersystem für Fahrzeugbremsen.

9 Gebote bei der Erstellung und Verwertung von Multimedia-Produkten 1. Definieren Sie Ihre Verwertungsziele! 2. Regeln Sie die Rechte der Mitarbeiter! 3. Prüfen Sie, ob die Fremdbeiträge „frei“ sind! 4. Lassen Sie sich bei Fremdbeiträgen Nutzungsrechte einräumen! 5. Überprüfen Sie den Nutzungsumfang Ihrer Softwarelizenzen! 6. Schließen Sie Kooperationsvereinbarungen, wenn Sie mit Firmen oder anderen Universitäten zusammenarbeiten! 7. Klären Sie die Haftungsfragen eines Providers! 8. Definieren Sie genau und abschließend die Nutzungsrechte, die Sie dem Kunden/Endnutzer einräumen wollen! 9. Schützen Sie Ihr Produkt vor Ideenklau! Details unter: http://www.uni-stuttgart.de/100-online/material/rechte_links/9Gebote.pdf