Eulerscher Polyedersatz

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 Präsentation transkript:

Eulerscher Polyedersatz am Beispiel des Dodekaeders 5 – 5 + 1 = 1 Für eine Fläche gilt: E – K + F = 1 RF 11/12

Eulerscher Polyedersatz 8 – 9 + 2 = 1 Für 2 Flächen gilt: E – K + F = 1 RF 11/12

Eulerscher Polyedersatz 11 – 13 + 3 = 1 Für 3 Flächen gilt: E – K + F = 1 RF 11/12

Eulerscher Polyedersatz 14 – 17 + 4 = 1 Für 4 Flächen gilt: E – K + F = 1 RF 11/12

Eulerscher Polyedersatz 17 – 21 + 5 = 1 Für 5 Flächen gilt: E – K + F = 1 RF 11/12

Eulerscher Polyedersatz + 4 Analyse: + 3 + 4 + 1 20 – 25 + 6 = 1 Für 6 Flächen gilt: unverändert E – K + F = 1 RF 11/12

Eulerscher Polyedersatz von der Ebene in den Raum RF 11/12

Eulerscher Polyedersatz 19 – 24 + 6 = 1 Es gilt: E – K + F = 1 RF 11/12

Eulerscher Polyedersatz 18 – 23 + 6 = 1 Es gilt: E – K + F = 1 RF 11/12

Eulerscher Polyedersatz Analyse: - 1 - 1 + 0 17 – 22 + 6 = 1 Es gilt: unverändert E – K + F = 1 RF 11/12

Eulerscher Polyedersatz Analyse: - 2 - 2 + 0 15 – 20 + 6 = 1 Es gilt: unverändert E – K + F = 1 RF 11/12

Eulerscher Polyedersatz 15 – 20 + 6 = 1 20 – 30 + 12 = 2 15 – 20 + 6 = 1 ? E – K + F = 1 RF 11/12

Eulerscher Polyedersatz In der Ebene gilt: E – K + F = 1 In einem Körper gilt: E – K + F = 2 RF 11/12

Eulerscher Polyedersatz im Raum E – K + F = 2 Hier nun ein mathematisch anderer Zugang: RF 11/12

Eulerscher Polyedersatz im Raum Überlegen Sie: Ecken = Kanten = Flächen = 23 dieser Körper hat 34 12 23 – 34 + 12 = 1 Es gilt folglich: E – K + F = 1 der Eulersche Polyedersatz in der Ebene RF 11/12

Eulerscher Polyedersatz im Raum Beschreiben Sie, wie sich Ecken, Kanten und Flächen verändern, wenn man den „Deckel“ schließt. Ecken = Kanten = Flächen = 20 30 12 23 – 34 + 12 = 1 20 – 30 + 12 = 2 RF 11/12

Eulerscher Polyedersatz im Raum E – K + F = 2 RF 11/12