Wahrscheinlichkeits-rechnung II Viel Drumherum

Der Plan Eine ausführliche Wiederholung Ein Steilkurs in Kombinatorik Paketlösungen Ein Ausblick Wir stoppen nach spätestens 90 Minuten, wir werden weiter über das Thema reden

Der Start: Würfeln Würfeln mit einem „fairen“ Würfel Problem 1: Einmal würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln? Problem 2: Zweimal würfeln: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine 6 zu würfeln?

Fachsprache Zufallsexperiment: Einmal würfeln Ergebnismenge M: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Zufälliges Ereignis: A = {6} Wahrscheinlichkeit: P(A) =1/6

Fachsprache Zufallsexperiment: Zweimal würfeln Ergebnismenge M: {(1,1), (1,2), , (6,5), (6,6)} Zufälliges Ereignis: B = {(1,6), (2,6),…, (6,6), (6,5),.., (6,2), (6,1)} Wahrscheinlichkeit: P(B) =11/36

Weitere Bezeichnungen Gegenereignis zu A: Anzahl der Elemente einer Menge X: |X|, z.B. |A| = 1 |B| = 12

Pascal 1623 – 1662 Theologe, Philosoph, Mathematiker, Physiker Einer der Riesen, auf dessen Schultern wir stehen

Pierre de Fermat 1601 – 1665 First Class Mathematiker, ein Superstar Zahlentheorie, ohne ihn gäbe es keine asymmetrischen Verfahren in der Kryptologie Der große Fermat: Ende der 80ger Jahre bewiesen

Jakob Bernoulli 1654 - 1705 Äusserst vielseitiger Mathematiker, Gesetz der großen Zahlen 1713: Ars conjectandi: „Wahrscheinlichkeit als messbarer Grad der Gewissheit“

Pierre Simon Laplace 1749 – 1827 Physiker und Mathematiker Mechanik, Kosmologie 1812: Théorie analytique des probabilités

Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Voraussetzungen: „Faire Würfel“ Man kann schmerzfrei dividieren, also M ist endlich Sie hatten bis jetzt sicher keine Probleme!

Laplace-Wahrscheinlichkeiten Einfaches Konzept Strikte Voraussetzungen Probleme: Wie ermittelt man |M|? Wie ermittelt man |A|? Da fängt der Ärger an!

Kombinatorik: Die Wissenschaft der Anzahlen Ziel: Bestimmung der Anzahl von Anordnungen oder Auswahlen mit oder ohne Wiederholung mit oder ohne Reihenfolge

Kombinatorische Probleme 1 (P1): 10 Läufer Z = Anzahl der Reihenfolgen (P2): 10 Läufer, 5 D, 2 F, 2 B, 1 S Z = Anzahl der Reihenfolgen, nationale Variante

Kombinatorische Probleme 2 (P3): 10 Läufer, olympisch Z = Anzahl der Reihenfolgen (P4): Wortproblem Z = Anzahl der Wörter der Länge 4 über dem deutschen Alphabet

Kombinatorische Probleme 3 (P5): 6 aus 49 Z = Anzahl der Möglichkeiten (P6): Obstproblem: 6 Sorten, Auswahl von 4 Früchten Z = Anzahl der Auswahlen

Klassifikation Problem Reihenfolge Wiederholung Auswahl Name (P1) ja nein Permutation (P2) Permutation mit W (P3) Variation (P4) Variation mit W (P5) Kombination (P6) Kombination mit W

Vollständige Klassifikation Problem Reihenfolge Wiederholung Auswahl Name (P1) ja nein Permutation (P2) Permutation mit W (P3) Variation (P4) Variation mit W (P5) Kombination (P6) Kombination mit W   (Anzahl 1)

Kombinatorische Probleme 4 (Q1): 10 Cent Z = Anzahl der Darstellungen (Q2): Eulers Rencontre-Problem

Permutationen =10! = 3 628 800 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Platz ·9 ·8 ·7 ·6 ·5 ·4 ·3 ·2 ·1 =10! = 3 628 800

Exkurs: Fakultäten 1! =1 2!=1·2=1!·2 =2 3!=1·2·3=2!·3 =6 4!=3! ·4 =24 1! =1 2!=1·2=1!·2 =2 3!=1·2·3=2!·3 =6 4!=3! ·4 =24 5!=4! ·5 =120 7!= ? (n+1)!=n! ·(n+1)

Fakultäten: 100! = 93326215443944152681 69923885626670049071 59682643816214685929 63895217599993229915 60894146397615651828 62536979208272237582 51185210916864000000 000000000000000000

Fakultäten 1000! = 402387260077093773543702433923003985719374864210714632543799910429938512398629020592044208486969404800479988610197196058631666872994808558901323829669944590997424504087073759918823627727188732519779505950995276120874975462497043601418278094646496291056393887437886487337119181045825783647849977012476632889835955735432513185323958463075557409114262417474349347553428646576611667797396668820291207379143853719588249808126867838374559731746136085379534524221586593201928090878297308431392844403281231558611036976801357304216168747609675871348312025478589320767169132448426236131412508780208000261683151027341827977704784635868170164365024153691398281264810213092761244896359928705114964975419909342221566832572080821333186116811553615836546984046708975602900950537616475847728421889679646244945160765353408198901385442487984959953319101723355556602139450399736280750137837615307127761926849034352625200015888535147331611702103968175921510907788019393178114194545257223865541461062892187960223838971476088506276862967146674697562911234082439208160153780889893964518263243671616762179168909779911903754031274622289988005195444414282012187361745992642956581746628302955570299024324153181617210465832036786906117260158783520751516284225540265170483304226143974286933061690897968482590125458327168226458066526769958652682272807075781391858178889652208164348344825993266043367660176999612831860788386150279465955131156552036093988180612138558600301435694527224206344631797460594682573103790084024432438465657245014402821885252470935190620929023136493273497565513958720559654228749774011413346962715422845862377387538230483865688976461927383814900140767310446640259899490222221765904339901886018566526485061799702356193897017860040811889729918311021171229845901641921068884387121855646124960798722908519296819372388642614839657382291123125024186649353143970137428531926649875337218940694281434118520158014123344828015051399694290153483077644569099073152433278288269864602789864321139083506217095002597389863554277196742822248757586765752344220207573630569498825087968928162753848863396909959826280956121450994871701244516461260379029309120889086942028510640182154399457156805941872748998094254742173582401063677404595741785160829230135358081840096996372524230560855903700624271243416909004153690105933983835777939410970027753472000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Fakultäten 0! = 1 Rainer Roos an Richard Kunz (1957): Warum gilt 0! = 1? Antwort: Dazu musst du Mathematik studieren.

Die Antwort:

n=3: Der Integrand

Gamma-Funktion

Gamma-Funktion

James Stirling 1692 – 1770, Schotte, wichtige Beiträge zur Analysis.

Permutation mit Wiederholung

Eine Tabelle der Permutationen: Z = 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Herleitung der Formel a1 a2 a3 b1 b2

Herleiten einer Formel a1 a2 b1 a3 b2

Herleiten einer Formel

Analog:

Allgemein:

Variationen, ganz einfach (P3) Z = 10·9·8 (P4) Z = 26·26·26·26 = 264

Variationen, ganz einfach

Variationen, allgemein

Lotto: Kombinationen Gesucht: Anzahl der Auslosungen bei 6 aus 49. Allgemein: Gegeben: n Objekte, Auswahl von k (ohne Wiederholung) Gesucht: Anzahl der Auswahlen

Bezeichnungen

Berechnung 1:

Berechnung 2: Codierung von Auszahlungen durch Nullen und Einsen mit 49 Fächern: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …… Fächer 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 Code 4, 6, 10 wurden gezogen, die anderen nicht.

Berechnung 2:

Insgesamt:

Allgemein:

Eigenschaften

Einige Beispiele

Pascalsches Dreieck 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

Pascalsches Dreieck

Pascalsches Dreieck

Binomische Formeln:

Pascals Glanztat

Problem:

Binomische Reihe

Lottoproblem: 6 aus 49 (ohne Zusatzzahl) A4 = {4 Richtige, 2 Falsche} P(A4) = ? Allgemein: Ai = {i Richtige, 6-i Falsche} P(Ai) = ?

Lösung des Lottoproblems

Lösung des Lottoproblems

Lottoproblem i P(Ai) 0,44 1 0,41 2 0,13 3 0,02 4 0,001 5 0,000 02 6 0,000 000 07

Lotto

Offene Fragen Mittlere Anzahl der Richtigen? Verallgemeinerungen?

Verallgemeinerung: Situation: N (49) Objekte, M (6) mit der Eigenschaft E; n (6) Objekte werden zufällig ausgewählt. Ai = {i Objekte mit E, n-i nicht mit E}

Verallgemeinerung: P(Ai) : H(N,M,n)-Verteilung Hypergeometrische Verteilung Lotto: H(49,6,6)-Verteilung Viele Anwendungen, z.B. in der Qualitätskontrolle, bei Wahlprognosen

H(N,M,n)

H(50,20,10), H(200,80,40)

H(400,160,80) H(400,80,80)

Vermutungen und Probleme Glockenkurve! Wie berechnet man Binomialkoeffizienten bei großen Zahlen?

400 über 200 10295250013541443297 29758803204019867572 10925381077648234849 05957592333237265195 85983365955189764929 51564048597506774120

2000 über 800 6772337945548003672599629661178701151496220858753005052304299911930737937455424376933545504480474404776308895889643443967774401532706648539008110483972824969074405597794986264263731437832301015449760920356496030603331246787986451397433261049579303551602165886202730724260758996348243530648487456376857688842115590066917891783479376089158861941617866791193875044377245201841770828356351094158688395216476131502756757833841878379165947863300002507248020094756520392844166809946517561039939629720125491422807150172470138975160963221992258092070515657175370393132712347670509186901897550

Das Problem (P6) 6 Fruchtsorten Auswahl von 4, mit möglicher Wiederholung, ohne Reihenfolge Z = Anzahl der Auswahlen

Die Lösung von (P6) Apfel Birne Orange Banane Kiwi Melone   O O O Code

Lösung von (P6)

Das Problem (Q1) Z = Anzahl der Darstellungen von 10 Cent

Lösung: Brute Force Keine Tricks: Man notiert alle Möglichkeiten und zählt sie. Wichtig: Systematik Buchhalter: Listen Künstler: Bäume

Buchhalterlösung: Z =11 10 5 5 5 2 2 1 5 2 1 1 1 5 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Künstlerlösung: Baum, Z=11

Prolog-Lösung a([W],X,A):-X>0,!,XX=X-W,a([W],XX,A). a([_],0,1):-!. a([K|R],X,A):-a(R,X,AA), XX=X-K,XX>=0,!, a([K|R],XX,AAA), A=AA+AAA. a([K|R],X,A):-XX=X-K,XX<0,!, a(R,X,A).

(Q2): Sexparty n Ehepaare En = Anzahl der heterosexuellen Paarbildungen, bei denen kein Paar zusammenbleibt Ein wichtiges Problem!

(Q2): Sexparty Wichtig bei Sortierproblemen Nicht ganz einfach Problem hätte einen eigenen Vortrag verdient

(Q2): Sexparty: Lösung

Der weitere Plan Kennzahlen für Verteilungen Gesetz der großen Zahlen Normalverteilung Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten

Haben Sie noch Fragen?

Literaturtipps Von Randow: Das Ziegenproblem rororo 2004 7,90 € Monk u.a.: Gewinnen mit Wahrscheinlichkeit rororo 2002 Vergriffen Basieux: Die Welt als Roulette rororo 1995 8,50 € Büchter/Henn Elementare Stochastik Springer 2005 24,95 € Szekely: Paradoxa Harri Deutsch 2001 24,80 €

Wenn Sie mehr wissen wollen www.wickipedia.de: Da werden Sie geholfen. Geschichte der Mathematik: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/